OCV.RAGES DU MÊME AuTEUr..
TRAITÉBE MÉCANIQUE ,secondeedition, rousidérahlsmsuraugmentée;2vol.
in_S", 1833. Prix ,.... .. tSfr.
NOIWLLLL TIIÉOl!lE DE L'ACTIO:'i'" C.APILLAIRE; lvol.in-~", 1831. Prix 15fr,
TIIÉORIE
ll'IA'l'HÉ1UA.TIQiJE
PAR S. D. POISSON,
Membre de .l'Institnt , du Bureau des Longitudes et de PUniversitfl de France , d(,s Sociétés royales de Londresttd'Édimbourg; desAcadémiescie Berlin, de Stockholm, de Saint-Pétersbourg, de Boston, de Turin, de~aples, et de p lusieurs antres' villes d'Italie; de J'Université de Wilna; des Sociétés italienne, astronomique de Londres, 'philomatiques de Paris et de Varsovie, et de la Société des Sciences d'Orléans.
--~"'''?''===--
---_._----~- j,'t1PftIMERII': DEnAUlEUER,
rue du Jardlnet, n(jD.
PARIS,
BAC HE LI ER, Il\lPH. Il\lE UR - L l:BR.AIRE
POUR LES MATHÉMATIQUES, LA PHYSIQUE, ETC.,
QUAI DES .AUGUSTINS, NO55.
1835
TABLE DES :M.ATIÈRES.
PP.ÉA.MDULE J)1I, I} I)UVRAGE, .
CHAPITRE 1". Notions préliminaires. 7
CHAPITRE II. Lois de. la chaleur ra)ünJlantc. 24
CHAPITRE Tll, Loisdu r-efroidiss ëmentdes corpsqui untlamèrnetellIpè·
rature nn tau.'IctU5point". . . . . ,. 6[;
CHAPITBE IV. Mou,ementclelachaleur dans Fintér-ieurdesC01'P"solides
Ouliquides.: . • . . 83
CHAPITRE V. Mou,emwt de 1" cl>a1C111' à la surface d'un COl')lS d"
forrue quel-eonqn-ft.. . . 119-
CHAPITllE VI. Digression sur les întégralcs (les équations:lUX-djrr8rPlHY.~
parti elles. . . . ]?,~)
CHAPITRE VII. DigressionSUL'la mnnièm d'exprimer les fonctions "l'l>i- traires par des séries dequantités per-iodiques. . . ,H:) CHAPITRE VIII. SL11Le de la digression sur la mun ic-c del~~pl'és8I1tûr let:
fonctions arbitrau-cs pflr des séries de quantités pél'io-
diques. . . . . '),12
CHAPITRE IX. Di ah-ibution del a chaleur dans une harre dont les dimen- sions transversales sont très pctll'CS. . . ).33 CHAPITRE X, Distr-ibution cie lachaleurdans les Co"l" Sp)H"';IjUC:S.. ' " 285 CHAPITRE XI. Distribut.iou de la chaleur dans quelques corps,d speciale-
mnntr'lnus une '''1111ère homogèneprimitivcmoutecbani- fée d'une manière quelconque. • . . . , " . , J'17 CHAPITRE XJI. Mouvement deJ"chaleur dam l'il1tr\rielll"et il lasui-ince
deJ. terr-e. . . . ' . . , . . . . 408 NOTE pc. llelath'c LI. l'equation du mouvement de laclmlcul'dans Pinté-
rieur' des corps. . . ~ . . . 52.5
NOTE II. Sur le rayonnement molécu'aire . 529
NOTE I'lf . Relative au n"1152.. • • • • . 533
Errata.
THf:ORIE
l\UTHÉJUA.TIQUE
;=
DE LA CHALEUR.
LaPJ'rométrie de Lambert contient les premièresapplications que l'on a faites du calcul àla théorie de la chalcur; elles ont pour objet la distribution de la chaleur dans une barre, et la comparaison des quantités de chaleur rayonnante que le soleil envoie àla terre et aux planètes pendant leurs révolutionsentièresou des parties de chaque révolution. L'auteur fait voir que ces quantités sont liées à la pre- mière loi de Képler, suivant laquelle les aires décrites autour du so- leil, pal' le rayon vecteur de chaque planète, sont proportionnelles au temps employé 11 les décrire. Relativement aux températures des points d'une barre soumise à des sources constantes de chaleur, il montre comment elles peuvent être exprimées pal' des formules qui satisfont aux expériences. Mais Lambert n'a pas cherchéà déduire ces formules de l'équation différentielle d'où dépend la température d'Un point quclconque , quand la harpe est parvenueà un étal permanent.
La forme de cette équation~et celle de l' équa tion aux différences par- tielles qui a lieu pendant que la barre s'échauffe ou se refroidit , ont été indiquées par M. Biot, en 1504, dans l'extrait d'unmémoieesut' la propagation de la chaleur(*). M. Biot les a déduites du principe de Newton, surla communication dela chaleur entre des corps juxta- posés~ qu'il a étendu aux tranches contiguës et infiniment urinees de la bane. Il intègre l'équation relativeàl'étal permanent, puis ilvél'i-
lieu L(J~ jjg.m~ \0 eu rcmontcut ,au liende pr:rTImdt, /i~ç;~oTTImrlf ,l'Ltutlieu de((p'1J,.li~e:;_q'p'pli
Jj, nu lien de norrualcJ tisezCDllI~;I\'~
~re,auiifJILde~,tises7..r
Ji~ne;'; etô en l't'mon tant , au lieu de R:'I!' ---'IL; ,LisezIR(u/ - u;·dl 3,au lieudesét-ieCt),lisez série (2)
?: rn remontent ,(H~lieu de.et) b; )"., utc., desquanuré. constantcs . tises des qn.mtités ccnsrunres al " Î"? etc.
Ii en rcmQ:lwnt1lm lieude(fig.(3),lisez.(f.ig.13bi~)
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(') BibliOlhèqlle britannique , tomeXXV II.
'L THÉorlŒ :\fATH]);MATIQUE
iie , .c:ur ses propres c\::pcirienccs ci. suI~ celles de- H..urnford , laloi des temperaturesqui nisuite de cetteintégr~de.
C;~S
premiers ossais ,et l'ingénleuseCthéorie des échangesde chaleur rayonnanteqU'Gd doitàJI. Pierre Prévost, de Genève, constituaient tonte 1r1 1hJoriematliématique de la chaleur, lorsque Fourier s'en es! occilpé dans un mémoire envoyé à l'Institut en 18°7, et., en- suir: , clans Lipièce couronnée par ce corps savant lm commence- 'l'.nt de J812 (*), Pal' le nombre ct la variété des questions que!.'outeul' a considérée.", cette théorie est devenue alors une hranche nouvelle de la Physique mathématique, Fourier a traité de 110U-
veau 11ne partie lb œs questions Jans sa Théorie analytique de la Cluiiciu: Les volumes de l'Acackmie des Sciences et ceux des An- wiLcs de Ph)"-i'Ï0'ae ct dr Clâtnie~ qui ont paru depuis cet ouvrage, ronticnncut aussi cl'D.utrH:; recherches de l'auteur- sur le môme su- jet, l'ciacil'cl Pl'illCipa!emeni
a
la chaleur rayonnante et à la chaleurr!elaterre.
Laplace s'es! occupé de la lheorie de la chaleur peu de temps apres Fourier. ihUlS urie flote imp riméc en 1810(**), il consitlère la propagation de la chaleur dans l'intérieur dcs COl'pS comme le résultat d'tm l':lyonnemcnt moleculaire qui s'étend au-dela des mo- lécules lesplus voisiucs , il des distances finies, mais insensibles; ct il montre comment cette Ilïanière nouvelle d'envisager la question peut conduirei,l'éqnation aux dilTérenccs partielles d'où dépend la loi des tempériturcs dans l'intérieur des corp5. Il indique aussi , mais fort incornplétcmcnt , un moyen de former l'équation généeale relativeillent' surface, que Fourier avait précédemment donnée sans dérnonstration. DnuslaConnaissance des Tems de 1825,et ensuite Jans le livre XI de la Jl1écwûque céleste, Laplace s'est occupé de la resolution de ces deux équatious , appliquées au cas d'une sphère homogène et dont 12 supcrIicic est partout la même, qui a été primitivement échauffée d'une manière quelconque. La solution gé- nérale qu'il a donnée de ce problème comprend celle de Fourier, qui se rapporte au caspartlculicr-où la températuredes points de la
C-lC) :.llJnzoil'cs (iel'_'!(;ad(Jm~'cdt,'), Sciences,tomeslVet V.
(~~) JIt(muùy:s de la premièrecrasse de l'Institut, armée 180S',pnt;e332,
DE LA CHAJJEUR.. 5
sphère ne dépend que de leur distance à son centre ; elle est fondée
SUl' l'analyse que l'auteur avait employée autrefois dansla question du flux et du reflux de la mer, et présenteune nouvelle application de cette analyse, dont le caractère spécial est d'exprimer lavaleurgé- nérale de l'inconnuede chaqye pl'oblème, parlasomme d'un nombre in- défini devaleursparticulières. Je suis parvenu aumè.uerésultat, Jans mon second mémoire sur laDistribution de la Chaienr dans les corps solides(*), pOl'une analyse différente ct moins simple, mais qui avait cependant quelque avantage, et que Laplace a n:g~!f(lé,-,camille une confirmation de la sienne. En appli'luant cette solution génél'ale au globe terrestre, il a été conduit àpartager l'opinion de Fourier, qui attribue à la chaleur primitive de la terre l'accl'oi,,,'eme!1t de température que l'on observe à partir de sa et .lont la O'mndeur n'estpasla mêmedans toutes les Iocalit.is. Cette hypothèse
n .
d'une température provenant de la chaleur d'OJ'i!;i,,:; ct flui devrait s'éleverà des millions de degrés dans Ies conches cçu!raics du globe, a été généralement adoptée; mais les difficultés(ju'elle pn',r:ntcm'ont paru la rendre invraisemblable; et j'ai proposé une an lrc maniere d'expliquer la température croissante que l'on a reconnue, depuis long~temps,à toutes les profondeursoù l'on li pu atteindre.
Dans cette nouvelle explication, le phénomène dépend de l'il1Bga- lité de température des région> de l'espace quelaterre traverse 5UC-
cessivewent pal" suite du mouvement de translation commun au soleil ct à toutes Ies planètes. Il serait, en effet, hors de toute: vrai- semblance que la température de l'espace fùt partout la même; les variations qu'elle éprouve, d'un point à un autrc , sép::rés par de très grandes è.stances, peuvent être fort considérables; et elles doi- vent produire des variations correspondantes dans la température de la terre, qui s'étendent jusqu'à des profondeurs dépendantes de leurs durées et de leurs amplitudes, Si l'on supp05e, par exemple, qu'un hloc de pierre soit transporté de l'équateurà notre latitude, son re - froidissement aura commencéilla surface, et se sera propagé dans son intérieur; et s'il ne s'est pas étendu11 la masse entière, parce que le
CO) Journal de l'École Polytechnique,Ig'cahier.
J ••
4
TIIÉOHIE MATHÊMATrQlJEtemps du transport aura été tl"OP court, ce COJ'ps, parvenu dans 1103
climats, présentera le phénomène d'une température croissanteàpar- tir de sa superficie, La terre est dans le cas de ce bloc de pierre; c'est un corps qui vient d'une régioll dont la température était plus élevée que celle du lieu où il se trouve actuellement; ou, si l'on veut , c'est un thermomètre mobile dans l'espace, qui n'a pas le temps, à cause deses gl'andes dimensions et d'après son degl'é de conductihilité, de prendre, dans toute sa masse, les températures des diverses régions qu'il traverse, Aujourd'huilatempérature du globe est croissante au- dessous de sa superIicic ; le contraire a eu et aura lieu dans d'autres temps; en outre,à des époques séparées par de longues suites de sièclesJ
cette température a dû être, d sera par Ia suite, beaucoup plus haute ou beaucoup plus hasse qu'elie ne l'est maintenant; ce qui ernpècheque la lCITC soit toujours hahitahle par l'espèce humaine, et apeut-être contribué aux révolutions successives dont sa couche extérieure con- ser ....e les traces. Il faut remarquer que ces alternatives de la tempé- rature de l'espace, sont des causes certaines, qui influent sans cesse sur lu chaleur du globe, du moins près de sa surface; tandis que la cha- lem d'origine de laterre , quelque lente qu'elle soitàse dissiper, n'est cependant qu'une circonstance transitoire dont on ne pourrait dé- montrer l'existence il.l'époque actuelle, etàlaquelle on ne seraitforcé de recourir, comme une hypothèse, que si les causes permanentes et nécessaires ne suffisaient pasàl'explication des phénomènes.
Daus cette indication succincte des principales recherches des géomètresSUI' la théorie de la chaleur; je ne dois pas oublier de faire mention d'un mémoire présent~ récemment à l'Institut par M. Lamé, professeur de physique àl'Ecole Polytechnique. L'auteur a déterminé, dans ce mémoire (*), la loi des températures de tous les poiuts d'un ellipsoïde homogène parvenu à un état permanent;
et il a trouvé que l'expression de cette loi dépend des fonctions elliptiques; ce qui ne s'était présenté jusque là dans aucun pro- blème relatifà la distribution de la chaleur dans un corps de forme donnée.
Je me bornerai, dans ce préambule,lices citations; elles suffiront
cl')Tome V desIdëmoires préscntës à l'Académie des Sciences,
DE LA. CHALEUR.
pour qu'on puisse.conn~ltre I~ pl'crr~ière or:~ine ùe la pa;,tie de la science que je VaIS trarter , 1extensionet I'importaucc qu elle a ac- quises dans ces derniers temp,s" et S~:l, ét~t a~tu.el. .le.l~isser~1 au lecteur à. comparer les prmclpes ct ou Ion etait parti Jusqu'à présent et les résultats qu:on avait obtenus, aux pril:cipes et aux résultats qui seront exposes dans cet ouvrage. En lui donnant le titre de Théorie mathématique de la chaleur, j'ai voulu indiquer qu'il s'agira de déduire, paT' un calcul rigoureux, toutes les consé- quences d'une hypothèse générale sur la communication de lacha- leur, fondée SUl' l'expérience et l'analogie.Cesconséquences seront alors une transformation de l'hypothèsemême , à laquelle le calcul n'ole et n'ajoute rien ; et leur parfaiteconformité avec les phéno- mènes observés ne pourra laisser aucun doute SUl' la vérité de la théorie. Toutefoi;;, pOUl' que celle théorie fùt cornplète , il fau- drait qu'elle comprît la détermination des mouvernens produits par la chaleu!' dans les fluides aériformes , dans les liquides, et même dans les corps solides; mais les géomètres n'ont point encore abordé cet ordre de qnestions, d'une grande difficulté, auquel se rattachent le phénomène des vents alisés , celui de certains cou- l'ans qu'on observe dans la mer, et les variations diurnes du baro- mètre. Dans l'état actuel de la science, la théorie mathématique de la chaleur a seulement pour objet la communication de la chaleur, de prochc eu proche dans l'intérieur des corps solides et des liquides, ct à distance entre des corps différens : sous ce double rapport, je n'ai rien négligé pour que cet ouvrage fût aussi complet qu'on pourra le désirer.
Les données nécessaires pOUl' reduirc , dans chaque cas, les for- mules en nombre, sont la chaleur spécifiqne, la mesure de la conduc- tibilité dans J'intérieur des corps, et celle du pouvoir rayonnant
:1
lem' surface, La chaleur spécifique a été déterminée ponr un geanll nombre de corps solides, Iiquides on gazeux, par diJ1ërens procédés qui sont exposés clans les traités de Pbysique; les notions qu'on a.ius~
qu'à présent sur la conductibilité et SUt' le pouvoir rayonnant sont beaucoup moins précises. Indépcndammeut de ces données physiques, relativesà chaque corps en particulier, la théorie emprunte encore
:1
l'expérience laloi de l'émission de la chaleuriltravers les surfaces desG THÉORIE MATHÉMATIQUE
corps. Sm' ce point, j'ai adoptéla loi générale en fonction des tem- pémtures, que MM. Dulong et Petit out donnée dans le mémoire qui a remporté le prix: de l'Académie des Sciences en L8r8 (*);ouvl'age que l'on regarde, [ljuste titre, comme un des plus remarquables de la Physique expérimentale, soit à raison de l'importance et de l'ensenrble des résultats, soit à cause de la précision des observation"
et des difficultés que les auteurs out surmontées. En vertu de cette loi, la communication de la chaleur entre deux: corps ne dépend pas sim- plem.ent de leur température relative, comme on l'avait admis pen- daut long-temps, d'après le principe de Newton, suffisamment exact dans le cas des températures ordinaires, mais qui s'écarte de plus en p1ns de l'observation à mesure que les températures sout plus élevées.
L'analogie porte à croire, et j'ai supposé, en effet, qu'il en est de mème dans l'intérieur des corps; et quoique la communication de la chaleur n'ait lieu qu'entre des molécules très voisines, dont les tem- pératures .sont très peu différentes, la considération des carrés de leurs diffé:'ences donne naissauce , néanmoins, à des termes que j'ai déterminés, et dont l'omission rendait incomplète l'équation des températures intérieures ,telle qu'on l'avait donnée jusqu'ici pour les corps homogènes,
Celte Théorie mathématique de la Chaleur formera la seconde par- tie d'un Traité de Physique mathématique) où je me propose de con- ,sidércr successivement, sans m'astreindre à aucun ordre arrêté d'avance, les diverses questions de la Physique auxquelles je pour- rai appliquer l'analyse. La première partie de ce Traité est laNou- velle théorie de l'Action capillaire, publiée eu 1831.
(") Journal de l'École Pof:ytechnique, ,S" cahier.
,-_._--
DE LA CHALEUll.
CHAPITRE
PRE~nER.J.YotiO/1S preliminaires.
(1). L'hypothèse qui fait dépendrelesphénomènesde la chaleur, des ondulations d'un fluide stagnant, n'a conduit, jusqu'à présent,ilaucun résultat précis et conforme à l'expérience; c'est pourquoi j'adopterai dans cet oUVl'age la théorie beaucoup plus féconde, qui attribueCC'i
phénomènesilunematièreimpondérable, contenue dans les pal-tics de tous les corps aussi petites que l'on voudra, et porrvaut s'en détacher et passer d'une partieil une autre, ce qui fait varier avec le tempsJe, cluantité de cette substance l'enfermée dans chaque partie.
Cellematière s'appellecalorique; on la nomme aussi matière de la chaleur, ou simplement chaleur.
On regal'de comme inépuisable la chaleur renfermée dans un corps, en sorte qu'il en contient toujours la quantiténécessairepour balancer l'attraction mutuelle de ses molécules, et les mainteniril distance les unes des autres. Nous ne pouvons doue pas connaître 1" quantité to- tale de chaleur contenue dans un corps ou dans une de ses parties;
mais il est possible de comparer entre elles, d'après les effets qu'elles produisent, les quantités de chaleur qu'un corps perd ou acquiert pen dant un temps donné; et en prenant pou-!' unité la quantité de chaleur correspondante1: un effet constant et détcnniné, cesquantitésvariahles se mesurent et s'expriment en nombres rapportés il.celte unité de Ieui espèce, comme les quantités de toute autre nature que l'on soumet au calcul.
(2). L'effet le plus général de la chaleur et le plus indépendant de nos sensations, estladilatation des corps où elle est introduite.
Si deux COrps sont en contact, ou seulement assez rapprochés , une partie de la chaleur de l'un passe dans l'autre, el réciproquement.
8 THÉORlE MATHÉMATIQUE
Celui de ces deux corps qui reçoit plus de chaleur qu'il n'en émet éprouve une dilatation, en même temps l'antre se contracte; au bout d'un certain temps ce double effet cesse, et les deux volumes demeu- rent constans- L'un de ces deuxCOI'IlS étant un thermomètre , c'est-à- dire Ull instrument formé en général d'un fluide, afin que les dilata- tions on condensations soient plus sensibles, les parties de son volume, à l'époque où il est devenu constant, marquent ce qu'on appelle la température de l'autre corps au même instant, Ainsi la température est un effet de la chaleur indiqué par les parties du volume ou les
degrés
d'un thermomètre formé d'un fluide déterminé.Les indications de plusieurs thermomètres formés de fluides diffé- reus peuvent être différentes; et cela arrivera, en effet, si ces fluides ne se dilatent pas suivant la même Joi, pour des accroissemens égaux de chaleur. Dans les températures ordinaires, depuis zéro jusqu'à cent degrés, parexernple , la marche du thermomètre à mercure est Ja même que celle du thermomètreà air; mais ces deux instrumens s'é- cartent notablement l'un de l'autre dans les hautes tempéralUl'es; et l'expérience ayant fait voir que les lois du refroidissement des corps, et généralement celles des phénomènes de lachaleur, sont plus sim- ples quandon les rapporte an thermomètreà air, nous supposerons, pour fixer les idées, que toutes les températures sont exprimées en degrésde ce thermomètre centigrade; en sorte que J'unité de tempé- rature sera le centième de l'accroissement d'un volume d'ai,' ou d'un gaz quelcomlue, qui a lieu eu passant du terme de la g13ce fondanteà celui de l'ébullition de l'eau sous la pression barométrique ordinaire de 0"',7 6 ; lequel accroissement est, comme on sait, 0,375 du volume à zéro pour tousles gaz. Au-dessus du zéro de l'échelle thermométrique les températures seront positives, et au-dessous elles seront des quan- tités négatives.
Au reste, quelle que soit la matière dont un tl1crmomètl'C est formé, s'il indique des températures égaJes pour deux ou plusieurs corps, un autre thermomètre mal'quel'a encore pour ces mêmes COl'PS des tempé- ratures égales entre elles; et si ces corps sont mis en contact ou en pré- sance les uns des autres, leurs volumes ne varieront pas; cal' alors chacun d'eux pOUlTa être considéré comme un thermomètre, par rapportil tous les autres.
DE LA CHALEUR,
'7')
P
r ' .1" . 9
l'J,' ourtarrc passer unCOl'pSde etat solide II l'état liquide cl
r
etat lqUIl' 'ùe a' ) "etat e vapem', sans quo sacl températuresoit cl1a,.,ry~a,ail e ily f~ut
introduire une certaine quantité de chaleur,variabl~'"r;~
corps a un autre , et que l'on appelle chaleur latente. Cette chaleur insensible au thermomètre n'est cependant pas détruite: elle réside dans les molécules du corps qu'elle maintient aux dis lances mu- tuelles où elles doivent êtl'c dans le nouvel état, liquide ou g<lzeux'
Il ' ' , l '
~ e,rep:l..r~Œ~mtegl'a _emenl lorsque le corps revient de l'état de vapeur a l'etat Iiquide , ou de l'état liquideàrét;)tsolide.
Ainsi, lorsqu'un poids donné de glace, amené d'abord 11 la tempéra-
ture Z8ro, es.r t réduit'cl ' en eau,aIameme' température il absorbe co' , nlme on sart , la quantité de chal eut'nécessaire pourélever de zéro à 75" la tcmp~l'atured'un même p~ids d'eau; ct PUUl'réduire en vapeuràla temperature de. " .1000 nn poids d'eau cléJ'àpal'venu" . . à cette tenlpera ure,r t
(l[:
sait ,aUSSl qn ~l y faut 1l1~rO(1,Ulrela quantité de chaleur qui serait necessaire nour élever de zero. , ' a loo"]a température n'lun pmid d'5 eau apel~pres sextuple. Des pertre. de chaleur égalesàces augmentations ont heu quand. " , la vapeur d'eau revientàl'état liquide' ct quandl'eau l~evlenta J etat de glace, sans clJaugement de température dans J'un et lautre cas. Leschange1l1en~d'état de tous los corps présentent d cc thl h
l ' - es erte s
sem a "es, ruais enpropor-tionsplus ou moins considérables.
Je prend l'ai pour unité de chaleur la quantité de cette substa
. d' 11 . . nLe
Impon eran e , necessaire pour réduire en ean àla tem pérature zéro un gl'amme de glaceà la même température,
(4),.~)epl1is long:,temps les physiciens ont aussi reconnu que les corps différens acqlllel'ent ou perdent des quantit~sinéO'ales (Je cl l ,
l ' 1 ' , , . , , , ' laieul,
orsqu1sCplauvent, sans changercletat , des variations égales de te .
, C l ' < ID
pérature. ea~lant, nous appellerons chaleur spécifique d'un corps lenomb~ed'unités de chaleur qui sera nécessaire pour élever d'un degré la température d'une unité de volume, remplie de la matière de ce corps, dans SOliétat solide ,liquiùc ou gazeux.
Nous rapportons ainsi la chaleur spécifique à l'unité de volume
:arc~
que cela,no~s :el'~~lus COI~lIDOd~ ~ans
nos calculs; mais oupeu;.lUsS~ l~rappol ter a l mute de poids. SI 1011 prend pour ces unités le c:~hmctrecube e; le gr,amme, et~uel'on désigne par cetÎ'les quan- trtés de chalem- necessarres pour elever d'un degré leur température,
.2
2 .•
(') Tm/Ii' de i"lt!cani'lue,tome1",page '76.
concevons au tour de M une partienide A, dont les dimensions soient insousil.les , et qui comprenne néanmoins un nombre immense de mo- lécules (*); au bout d'un temps quelconque t, imaginons un autre corpsB, homcgènc ,dont toutes les parties soient de la même matière que-ln, et qui aient aussi touteslamême chaleur quemàcet instant:
cet état colorifiquc deB éfant supposé invariahle , si l'on appelle u sa température, u sera aussilatempérature de A au point M et au bout du lernps t,Quelle que soitladisposition régulièreOuinégulière ries molécules dans chaque partielnde A,àcause deIeurnombre immense, on pouna considérerucomme une fonction connue ou inconnue, de
t:seulement, si la températureest lamêmedans toute l'étendue de A, ou detct des trois coordonnées de M, si la température varie d'un pointilun autre de ceCOI'pS.
La chaleur spécifique de A, qui répond au point M, sera aussi celle du corpsB, tel qu'on vient de Je définir. En la désignant par c, cette quantité sera une fom:tion de latempérature correspondanteIIet des coordonnées de M, lorsque A sera un corps hÙérogène, et simplement une fonction de l i ,dans le cas de l'homogénéité de A. Si l'on repré- sente parIl le volume deln, le produit cvdu sera U]01'Sl'augmentation de chaleur- de cette petite masse, pendant l'instantdt auquel répond l'accroissementdu de la température.
C'est de cette manière que nous exprimerons dans la suite la varia- lioninstuntanéede la chaleur d'une partie matérielle de grandeur in- sensibls , mais elle est aussi égaleàp)du, en désignant par p le poids de cette partie m , et pal'Î' la chaleur spécifique rapportée àl'unité de poids. Si A est un corps homogène partout également écha ufi"é ,et si l'on appelle P son poids entier, P
fI:
')rdu exprimera l'augmentation totale de laquantité de chaleur, pendant quelatempératureIl, com- muneil loue; ses points, s'élèvera deetIIf:.
Pour la calculer,ilfaudrait connaître')' en fonction deU; mais lorsque les températures a et ~ne sont ni Ires hautes, ni très abaissées au-desscus de zéro, on considère i'comme nne quantité constante, et l'on prendF')rCr;; - CG)pour lava- riation de chaleur de A qui répondillavariation ~- CGde sa tempéra-1J
DE 1JA CHALEUR.
c
=
t'/'.Dans les coeps solides la quantitéÎ' est sensiblement constante, tant que la température est peu élevée; elle devient croissante à de très hautes températures; en sorte qu'il fautà très peu près une égale quan- tité de chaleur pour élever la température d'un même corps solide, soit de zéroà un degré, soit de TOOOà r oro, mais nue quantité un peu plus gl'andepOUl'l'élever, par exemple, de 500· à 50ro.Si l'on considère que les liquides changent d'état pour des variations de température (lui nesout pas très gl'andes, il Y a lieu de croire que les variations de laquantitél'y sont bien plus rapides que dans les solides, et qu'elles existent même dans les basses températures; on peul aussi présumer que cette quantitél'demeure constantelitoutes les températures, dans les gaz qui sont loin dela liquéfaction;l'luisl'expérience ne nous a en- core rien appris de certainàcet égard.
(5). Il cs! important, pOUl' la suite de cetouvrage , de se former une idéeprécisede la température et de la chaleur spécifique dans les corps où ces élémens varient d'un point à un. autre et avec le temps.
Dans un corps homogène où la chaleur est distribuée uniformément entre toutes les parties, la température est aussi partout la même. Pour que le thermomètre marque exactementcettetempérature ,il faut que pendant toute la durée de son contact avec Je corps, laquantité de chaleur qu'il lui communique ou qu'il lui enlève, soit 'insensiblej ce qui exigerait q1.'l·ecet instrument filt un thermomètre idéal , dont la masse serait infiniment petite, eu égardà celle du corps: hypothèse que l'on pourrait faire, puisqu'il s'agit de définil'et non de mesurer la température. Mais on peut aussi imaginer que pendant toute la durée du contact 1 la chaleur de toutes les parties du corps 50:'t entretenue, par un meyeuquelconque , dans un état l)errnanent ;et alors la tem- pérature sera celle qu'indiquera le thermomëtre , quelles que soient la masse de cet i-nst-rument et la durée de l'expérience.
Celapesé , soit M un point d'un corps A homogène ou hétérogène;
r o THÉORIE MATHÉ~gnQUE
cetl'seront les chaleurs spécifiques rapportées a l'unité de volume et à I'unité denlasse; etpoal' un même corps , dont je représenterai parp la densité, il est aisé de voir que ces quantités seront liées entre elles pal'l'équa~ion
THÉORIE MATHÉMATIQUE
J2
ture} POlH'VUque son état solide, li'luide ou gazeux n'ait pas changé.
L'hypothèse du n° l , suicantlaqnelle la quantité inconnue de cha- leur renfermee dans un cm'ps est inépuisable, exige que la quantitéÎ' décroisse avec la température, du. moins quand u. a de très grandes valeurs négatives, ct que ce décroissementsoit tel que
i'
'Jdluait unevaleur finieà la limite (;;
=
- ; ç , de telle sorte que le produitde cette intégrale et de P soit moindre, abstraction faite dn signe, que la quan- tité de chaleur qui fait partie deil,quandu.=
a.(6). Une observation que l'on a souvent l'occasion de répéter , fait voir que les COl'PS incandescens , et même ceux dont la température est très élevée, sans qu'ils soient cependantdevenuslumineux, émet- tent continueHement de la chaleur qui se propage en ligne droite dans l'air environnant. On s'est aussi assuré que quand cette chaleur émise par un corps vient tomber sm' un autre , elle est en partie absorbée par celui-ci, et en partie réfléchie àsa surface sous un angle égal à celui de l'incidence, comme dans laréflexion de la lumière.
Cette chaleur en mouvement est proprement ce qu'on appelle la chaleur raronnante, La vitesse de sa propagation nous est inconnue;
nous savons seulementqu'elle est extrêmement grande, et peul: être comparéeàcelle des rayolls lumineux. Dans le vide, son intensité va- rierait , comme celle de toutes les émanations, en raison inverse du carré de la distance au point de départ; dans l'air et dans les gaz, elle décroît un peu plus rapidement, à cause de la petite absorption qu'elleéprouve, et qui est d'autant plus faible,pOUl'un même fluide, qu'il a été plus raréfié.
Le corps qui absorbe la chaleur rayonnante s'échauffe de plus CH
plus; celui qui l'émet sc refroidit graduellement; et ces effets subsis- tentjusqu'à ce queles températures de ces deux Clll'pS soient deve- nues égales. Mais l'émission de la chaleur par un corps ne peut être attribuée qu'à un mode quelconque d'action de ceCOl'PS SUI'lui-même, et nullement 11 l'action d'un autre corps éloigné,sur lequelcette cha- leur peut ensuite aller tomber. POUl' un même corps, et pour un même état de sa surface, la pr-oduction de la chaleur rayonnante ne doit donc dépendre que de sa propre température, Ainsi, ily li
lieu de croire que le rayonnemenl de la chaleur existe, avec une
DE LA CHALEUR.
intcn:i~é plus ou moins.~l:amle, à toutes l.~s te~pél'atUl'es; qu'il est reciproque entre les ddlercns corps; et qu Il subsiste cncor'C lors- que les températures sont égales, quoiqu'il n'y ait alors ni échauf.
fernent ,
ni
refroidisscmeut ,Si J'on considère, en outre , que les plus petits corps émettent et absorbent de la cl)~leu!' l'a~olJn;I}te, on sel:a cOlldl]~t à penser que cette double Faculte appartrcnt a leurs molecules memes et flue 1
1· d l " ,. . ' . e
l'ayonnement a ieu am mterreur des soll'\es et des liquides où il ne diffère de celui que J'on observe à travers l'ai,' ct les gaz,
~u'!t
raison d'uneabsorption beaucoup plus rapide.De plus, l'ail' ct les gaz absorbant la<:il;Ielll'rayonnann-;il.la vé"it6 en très petite proportion , soit
à
cause cie Ieur nature , soità raison de leur petite densité, l'analogie porte il supposer que leurs molécules émetlent la chaleur rayonnante, aussi bien que celles des corps solide<eldes liquides, ..
C'est ainsi que l'on a été conduità considérer les molécules de tous les corps comme des foyers de chalelll' rayonnante. Celle chaleur émise en tons sens pal' chaque molécule, se propage à travers les
p'0:es
ou e~paccs vid.es de ma,tière pondérable, jusqu'à ce qu'elle ait ete absorhée en entier par d autres molécules qu'elle vient il ren- contrerj ce qui ~ lieua
des dis,tan:es généralement très petitcs , dans les corpssolides et dans les h q llld es, et, nu contrail'e, àde très.grandes distances dans les diffërcns gaz.
(7)· ~a tl:é~l'ie ll1~thématique de la chaleur est fondée sur Celle hypothèsegcnerale clun rayonnement moléclIlai"e COtlSJ·U'(:·' , Il
, . C f . , .re , que Il
~uen S~ll la cause, comme une déduction de l'expérience et de lanaloglC.
Nous admettrons donc , danslasuite de cet onvraO'e q t t 1
• , • . . 'h , ue oucs es
parties materlClIcs•des COl'pS. ausslp,'tJles que. . , l'on voud 'a' 1 ,eme ten'Îirnet et absorbent conlmuellement de la chall'ul' Nons sup
,. , . . , ' , . , . poserons aussi
que 1enussron a lieu egalement ct sans interruption d: toi l'
- ~ " LIns Ons e~
sem autour de chaque partie prise dans l'intérielll' d'un co' .'
, , • 1ps, ou SJ-
tuee asa surface. Il en résultera des éclwll<res continuel ·1 1 1
. • , . " ' . s te claem-
entre les parties tres vorsines d'un même corps solide 0' l' , )
h · ' . li Iqt1lC.c
Ou ien e,nll'e les parlies de deux corps diffù<;-J1g, très rapproc!Jécs de leurs surfaces, Le problème consisteraà
cléte~'mincr
les vupiations de
ITmdt, laquantité de chaleur émise pal' 112 pendao.tl: l'instant dt, La quantite TIdépendra de Il et de la matière de m; elle décnoîtra avec l~ternpératuTe; etquoique nous ayons supposé inépuisablelachaleur contenue dans chaque partie matérielle, il ne s'ensuit pas que lafa- culté d'émettre la chaleur soit indéfinie, et qu'il n'y ait point une valeurnégative de u. assez grande pour rendrelaquantité 'TInulle ou tout-à-fait insensible. Acette température, si elle existe,la chaleur qui restera encore dans l'intérieur d'un corps ne sera plus employée, comme la chaleur latente , qu'à balancer l'attraction mutuelle de ses molécules, et liles maintenir aux distances où eUes seront alors les unes des autres, Une compression suffisante, exercée à la surface, pourra encore faire sortir une partie de cette chaleur sous forme ravonuante,
La chaleur émise par m pendant un tempsT quelconque. aurapOUl'
expression m!v"rrdt; mais cette quantité absolue de chaleur restera toujours inconnue; aucun phénomènenc pourrait la faire connaHre, soit pour une partie m de A, soit pour ce COrps entier: l'expé- rience et le calcul ne déterminent jamais que des diftëre~lce:;entre les quantités de chaleur émises et absorbées par un COrps pendant un même temps. Ainsi, lorsque tonte la chaleur érnis.e par A, pen- dant un certain temps, tombe sur une masse de glace,,et estem- ployée
à
eu fondre une partie, la quantité de glace fondue est seu- lement la mesure de l'excès de la chaleur émanée de A sur-cclle qui est absorbée par ce cOrps pendant le même temps, et qui lui est envoyée par la glace fondante.(g). C'est encore à raison du nombre extrêmement gmnd de mo- lécules dont la partie ln esl formée, que nous pounons supposer, comme nous l'avons dit pLnshaut, l'émission égale en lous sens autourde M, et la mêmeque si cette partie
m
était isolée. Cela étant si nous décrivons du point l\I comme ceutreet d'un rayon quel- c,onque1>
une ~urface sphérique, et si nous n'avons point égard àJabsorption qUI aura heu autour de M, cette surface recevra en entier la cbaleUl'Omdt émise pal'
m,
quise partagera entre5e.6par- ties, proportionnellemen;à.
leuc.étendue, Danscet j},uvr4ge,leN1p- pel't.de.la œirconférence au diamètre sera toujours neprésenté par'4 THÉORŒ MATHÉMATIQUE
température produites pal' ces échanges, et àen conclure les lois de la communication de la chaleur, à distance entre des corps dîfférens , ct (te procheen proche dans l'intérieur d'un même corps.
Les parties des eorps dont il s'agit dans cet énoncé sont des par- rions de matière, telles que la partielndu corps A, dont toutes les di- mensions sont insensiblcs , ct qui contiennent néanmoins des nombres immenses de molécules. C'est toujours là ce que nous entendrons do- rénavant pal' des parties matérielles de grandeurinsensible. L'échange de chaleur entre III et une autre partie semhlable m', résultera de I'emission et de l'absorption par toutes leurs molécules. Mais si l'on considérait isolément une molécule de m et une molécule de
m',
cet échange ne présenterait rien de régulier que l'on pùtsou- mettre au calcul: à certains intervalles de temps, la molécule de m pourrait ne pas émettre de chaleur vers la molécule dem',
ou celle- cine rien envoyer à la première; le contraire aurait lieu à d'autres époques;A
un même instant, les échanges de chaleur pourraientêtre très différens entre la molécule qui répond au point M et les molé- cules situées, dans diverses directions, àégales distances du pointM ; et enfin ces échanges varieraient aussi sans aucune régularité, en pas- sant de ce point M à un autre point situé à une distance insen- sible de:M.
Les nombres extrêmement grands de molécules dOI1L-sont composées les parties matérielles, telles que m et m', produi- sent, sous tous ces rappol'ts, la régularité indispensable dans les échanges de chaleur, pOUl' que l'on puisse calculer les variations de température qui. en résultent, et exprimer la température corres- pondante à un point quelconque M, en fonction de sestrois coor- données et du temps
t;
ce qui est l'objet général du problèmeflue nous aurons à résoudre.(8). D'après cette considération, la nature de 112 et sa tempéra- ture étant données, nous pourrons regarder la quantité totale de chaleurémiseen tous sens par cette partie matérielle, dans un temps aussi donné, comme proportionnelle il sa niasse m. et à ce temps. En désignant donc par TI 12. quantité de cbalenr qui serait émise, pen.
dant l'unité de temps, par une masse prise pour unité, de la même matière que m , et ayant une température constante, égale à la tem- pératureIl de 112au bout du temps t , nous pourrons représenter pal'
DE LA ClIAI~EUR. 15
[Jmdt, la quantité de chaleur émise par ln pendant l'instant dt. L,,, quunti lei II dépenùra de Il et de la matière de nt; elle cléCl'ûîtl'u avec I~ iernpcr'uture; et quoique nous ayons supposé inépuisable la chalern- cunienue dans chaque partie matérielle , il ne s'ensuit pas que la fa- culte d'émettre la chaleur soit indéfinie, ct qu'il n''y ait point une vuieurnégative de ilassez grande pour rendreln.quantité II nulle ou tout- a-fait insensible. A cette ternpérature , si elle existe, la chaleur qui restera encore dans l'intérieur d'un corps ne sera l'las employée, comme la chaleur latentc , qu'à balancer rnttr;i\~ti(}nmutuell e de ses molécules, età les maintenir- aux distances où elles seront alors les unes des autres. Une compression suffisante, exercée à la surface, pourra encore faire sortir une partie de cette chaleur sous forme rayonnante,
La chaleur émise par nipendant un tempsT quelconque> aurapOUl
expression mr~Ddt; mais cette quantité absolue de chaleur restera
• 0
toujours inconnue; aucun phénomène ne pourraitlu bire connaître soit pour une partie m de A, soit pour ce corp, entier : I'expé- ricnce ct le calcul ne déterminent jamais que des différences entre les quantités de chaleur émises et absorbées pal' un corps pendant un même temps. Ainsi, lorsque tonte la chaleurémise pOl'1\, pen- dant un certain temps, tombe SUl' 'une masse de glace, et est em- ployée à en fondre une partie, la quantité de glace fondue est seu- lement la mesure de l'excès de la elia leur émanée de A sur celle qui est absorbée pal' cc corps pendant le même temps, ct qui lui est envoyée p'U' la glace fondante.
(9)' C'est encore il mison du nombre extrêmement gl'3nd de mo- lécules dont la partie III est formée, que nous pourrons supposer, comme nous l'avons dit plus hant, l'émission égale en tous sens autour de M, et la même que si cette partielnétait isolée, Cela étant
si \10115 décrivons du point M comme centre et d'un rayon qucI~
c,onque
1>
une ~urfacc s~)hérique, et si nous n'avons point égard it 1absorption qUI a ura lieu autour de M., cette surface recevra en c!1tier la cba~eurnmdt ém,ise pal'.ln, quiSe
partagera entra ses par- bes, proportionnellement a leur et.endue. Dansœt ouvrage, le rap- port de la circonférence au diamètre sera toujours représenté par'1 THÉORIE MATHÉMATIQUE
température produites pHI' ces échanges, ctàen conclure les lois de la communication de la chaleur, à distance entre des corps c1ifférens, et de proche en proche dans l'intérieur d'un même corps.
Les parties des corps dont11s'agit dans cet énoncé sont des por- tious de matière, telles cpelapartielnducorpsfI.,dont toutes lesdi- mt:nsÎOl1s sont insensihles , et qui contiennent uéanmoins des nombres immenses de molécules. C'est toujours là ce que nous enteudrcus do- rén.ivant pardes parties matérielles lIe grandeminsensible.L'échangc de chaleur entre ni et une autre partie semblable nï, résultera de l'éll1is.,ion et de l'absor-ption par toutes leurs molécules. Niais
"j l'on considérait isolément une molécule de m et une molécule
·:kmi, cet échange ne présenterait riende régulier quc l'on pûtsou- mettre an calcul: il certains intervalles de temps, lamolécule de 112
pOlll'raÎlllC pas émettre de chaleur vers la molécule de ml, ou celle- cine rien envoyeràla prcmière ; le contraire aurait lieuàd'autres l'poques. Aun même iustant , les échanges de chaleur pourraient être très diffénm.s entre lamolécule qui répond au pointM et les molé- cules situées, dans diverses directions, à égales distances du pointlVI;
et enfin ces échanges varieraient aussi sans aucune régularité, en pas- sant de ce point M à nn autre point situé à une distance insen- sible de ]U, Les nombres extrêmement g]'ands de molécules don.
'out composées les parties matérielles, telles qne ln et m', produi- sent, sous tous ces rappol'ts, la régularité indispensable dans les échanges de chaleur, pour que l'on puisse calculer les variations de température qui en Tésultent, et exprime", la température corres- pondante ,~ un point quelconque Id, en fonction de ses trois coor- données et du ternps t ; ce qui est l'objet général duproblèmefjUC
nous aurons à résoudre.
(8). D'a près cette considération, la nature de III et sa tempéra- ture étant données, nous pourrons regardel' la quantité totale de chaleur émise en tous sens par cette partie matérielle, dans lin temps aussi donné, comme proportionnelle
à
sa masseli!età cc temps. En désignant donc pal'n
le. quantité de chaleur qui serait émise, pen- riant l'unité de temps, pal' une masse prise pour unité, de la même matière que lI!, et ayant une température constante, égaleàla tem- pératnreude lnau bout du temps t , ll0US l'on l'l'ons représenter par'DE LA CHALEUR. 1:)
THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA CHALEUR.
la lettre '1t; la surface sphérique entière sera donc égale à ~7Tr", ct la portion de [Jouit qui atteindra et traversera une partie . ç de
. .snrndt cette surfaceJ aura pour expre!>slOll 4..-'""
Cci:cp;lrtic , pouna;'(re auss: pCIil'e qllel'on voudra; mais sielle est d.cgT~U1Ck~1.H' in9.;'lL.:::ibie, il f~n(]1~3 toujours crue ses dimensions ré- pondent, comme «:Hes dû m, àdes nombresextrêmement grandsde 'llOlécubc'.Pour ahr,:gcl', uons appellerons alors s ou généralement
UIW;:c;nhhblep:lt'licinsensible [J'unesurface quelconque, un élémcni de cetteSUl'Caœ.Si selunélémentCv (l'une autresurface ontun point corr.muu o(ng, l'''), que la norrnulc ON à cette seconde surface et le rayon(rHJeLi<ou frlCi:> sph8!'iclue [Dssentun angle aigu
a,
ct que cesden};él,iJI,J~iY s ct Cil soient compris dans un même cône ayant son somll1e; ;'UpOIU! î\f, onaurasensiblement
{" cos
e =
s ,'" aura une grandeur iînic, maisJnsensihle. Onaura alors
el la quantité de chaleur précédente pourra s'exprimer par o-nmdt, dans toute la longueurdllcône., " .
(JO)i\iainlcn:1nt, si nous avons eg~rJ a l'absorption de J,a ch~lenr dans l'in tdricur duCOè'pSAJcette portioude chaleurunmdtemaneede
ln pendant lin-tunt dt, suil"allt une direction dcunée ,sera réduite,il ln di,t:mcc r de ln, dan" un rapport de
p
à l'unité, ct deviendra p:-[Jl1ldl; le cocIlicicntp étantune L'onctionde r qu'il s':lgira Jedéter- miner ctqui sera égale àl'uni té rom'r = o. , .POUl'cela, du pointMde cecorps, je d<icrÎs deux surfaces sphen-
quesdontIcs rUJous soront r etr
+
'~.Soientsets'leséJémens de ces surfaccs , 'tllc,'ccptés pal"]çco
ne cx trcmcment aigu qui a son so rn rnet au point]\1et cr pour ouvcrturc :nous <luronsCe l'apport est unefonction independante de l'unité linéaire que l'on appellera j'Olwerturc du cime.S'il s'agit du cône extrêmementaigu, circonscritàl'élémentv),et qui a son sommet aupoint M, la fraction Apnt décrit deux surfaces sphériques et concentriques, qui ont pourl'ayons rell'unité , si l'on représenteparset471'0'les portions de ce,Slu{aCGsJinterccptécsp~U'un même âme qui a son sommet àleur centre COJl1111Un , ou aura
i' _. /
=
q'f''llP;Supposons 'luepdevienne p' quaru]on)' met z:+.~ il laplace der;la Iracf ion Je la quantité de l'haleur JOUi/ft qui tombe SUl'l'éléments élanljJ7[Jmdi, celleqlli attciudru l'éléments' sera de mémc]J'ûOmtlt, ct conséquemment la chaleur nbsorhéc cn allantdes ;, :/ aurapour valeur
CP
-p') rlTImdt, OL', S111011,supposons crue .) soit d'unegl':1l1-de ur insensible, mais qui réponde néanmoins, comme clweune des di- mensions Je s ,il un nombre extrèrnementgl'nnd cie molécnles , nous pOUlTonsadmettre quecettechaleur absorbee cst p,'opol'tiouuellelila chaleur incidentep7nIJuitsur l'dléments, il l'épaisseur- ;)de lnmatière absorbante, el ilsa densité, que nous l'cpl'éSentel'on.spar
r'·
Dansces hypothèses, les plus simples et Ics piue; nalurcllcsqlle l'onpuisse faire sur I'olisorption de la chaleur, 1<:portion de chaleur absorhée en allant Je s à s', aura donc Hll"si pour expression le produit Cj'r\;p'JOmat, dans lequelq'
est un coefficientqui poun<J varier avec lamatière aIJ- sorbaute cl avec la tempcrnturc. En égJlant cette seconde valeur à la première, et supprimant le facteur commun uDmdi, il Cil)'f)SU!tCl'U
.,
4-;j~,·
(i =
co.r.uic SIces élémcns,itaientinfinimentpetits, pourvu toutefoisque
J,,:s !'nYO!l\ de courbure des deuxsurfaces aupoint 0 ne soient pas de gl'u!lc1cur insensible ,comme lesdimensions de o:et de s. De plus, ce seralamèmeportion de chaleurémanéede 112>qUÎtraversera les deux élémer.s ;p:1I' conséquent,la quantité Ùl) chaleur émise parln pendant l'iust:nJÎ dt, et quialkinJ/'a, àhl distancer, l'élémenttad'unesurface ({tlCkoDque, ahstrsc.ion faite de l'absorption intermédiaire, s'expri- ruera génét'aletYlcut pal'
DE LA CHALEUR.
lb 'l'HEOnIE MATHÉMATIQUE
1113]S 011 a, pdr le théorème de 'I'nvÏor ,
, a"
! d'j) "P-1)= dl'-;1
+ _.-;-
2. dr: w+
etc .:~ct quoique les coeflicicns de cette série soient tres divergens, puisquep est une fonction qui varie très rapidement avec l', on peut cependant prendre laccroisserneut11 de l'assez petit pour que la série soit tou- Jours très convergente, et qu'il suffise de conserver son premier terme;
ce qui cnangcra l'équation précédente en celle-ci;
dp 1r ( .
a,: = -
q pp. 1 )Ce sera cette équation différentielle qu'il faudra intégrer pOUl' oh- tenirla valeur demandée de p; on déterminera la constante arbi- traire qui sera contenue dans l'intégl'ale , de maniere qu'on aitp
=
1quand r=o.
(1 T). Afin de l'apporter tou tes les quantités au point M du corps A que J'on considère, je désignerai }Jar pet q ce que deviennent plct
q'
en ce point, 011 quand r=
o. La quantité q sera alors la mesure du pou mir absorbant de la matière de ln, à la tempéra- ture ici; la quantité f1 est déjà la mesure de son pouvoir émissifà la rnéme température, rapportée aussi à l'unité de masse. La den- sité de A qui répond au point 1\1 sera la quantité p, c'est-à-dire quer
exprimera, quelle que soit la distribution régulière ou irré- gulière des molécules dont m. se compose1la somme de ces molé- culcs , ou la masseln, diviséepal' le volume de cette même partie rna- térielle (*).POUl'l'homogénéité des quantités, il faut observer que si l'on faitgr = -
" sera une ligne; ce qui résulte lie ce qu'à la distance rde m,le pro- duit do
Ù'
et de la ligne~ devait être un nombre abstrait.Si A est un corps homogène, de nature quelconque, solide, li-
("") Traitede ll:Ucaniq""Jtome 1", page '16.
IP.1
quide, aérirOl'lne, et que sa température soit partout la méme , les quantités
rl
ct p'seront constantes et égales à q et p; (HI aurair,' =
2;, ct1'011 tirera dl' l'équation(1),l'étaut lahase des logari thmes népériens.
La portion de chaleur émanée de ln, qui atteindra il chaque ins- tuntl'élémentspcrpemliculairc au l':lYOIl /', sera alors
...nnuli - ;
4",1"-
eSi donc la gl'[,mknr de cet élément est constante, il recevra la même quantité de clialcur ~l distance éJ.le de 1\1,dans toutes les dircclions autour dr~ ce point; et 11 distances inégales, celte quan- tité variera en raison inverse du carré de l' et en mison directe d~
l' ,
l'exponentielle e-;. Le produit ~c- ; exprimera donc le décroisse- ment d'intensité de la chaleur rayonnante, autour de chaque point M dt: A. Cette loi comprend le cas du ville, en supposant nulle h densité p, et faisant
,=
CIJ ; ce qui donne, à celleIirnite , une varra- tion d'intensité en raison inverse du carré de la distance au point Il'Uil la chaleur est partie. Dans l'ail' ou dans un gJZ quelconque, le produit (IF sera très petit, et la ligne 1:très grande, soit à rai- son ,Je,la densité ,", soit il raison du pouvoir absorbant, ou de lit quantité q, dont lu valeur devi-ait être déterminée pal' l'expérience pour chaque gülO en particulier ct pour chaque degré de tempéra- turc. Le décroissement d'inlensit.: qui en résultern sera un peu plus rapide que dans le vida. L'observation il Fait 'Voir que lachaleur so- laire tJ'avcl'se J'ail' avec plus de facilité que celle qui émane d'un corps lion lumineux; pm conséquent, toutes choses d'ailleurs égales, c'est- 'i-dire, pour lamême densité et lamême température de "J'ail', la va- leur de • sera différente dans Je cas cie la chuleur solaire ct dam celui de la chaleur obscure , et plus gt"anded:llls le premier cas(ltle dans le scconr},5 ..
20 TllÉOlUE :,iATIJÉMATiQUE "DE L,\ CHALEUR.
Pour que je décroissemcnt d'il}t~llSi!é,Ou seulement l'absorption de lachaleur, soit très rapide dansles solides et dansles liquides, il Iaudi-n que ~
r
soit une lignc' très lK:!itc; cc qui rendra aussi très pe- tite 1., distance~l Iaquelle Iflrayonnement intérieur sera scnsihlc au-tOLII' (b chaque point. Mais il ne faut pJS confo udrc cette distanrc avec le rayon d'activité des forces moléculaires , répulsives ct allr::l.C- tiv esj provenant du calorique proprcà chaque moléculeclde sa ma- tière pondérable; les fonctions inconnues qui ex primeut les lois de leursinteusit~" ~ ditr8rentes distances, décroissent sans cloute plus rapidement qu'une exponcntidk: on suppose leur rayon d'activiré torrt-u-initinsensible tandis cIlle l'élencl1l8 du rayonnement intérieur est seulement très petite, ctil quelquefois une influence sur les phé- uomcnes , qui1;) rcur]sensible cl rucsuruhle , ainsi qu'ûn le verra pnr ln su itc.
(12) Lorsque la température varle,r" d'un pointà un autre de A, d sa matière, si ce corps est héiél'Ogène, le produit girl sera nue Ioncl iou de ,. qui ne nous est pas duunée , de SOTte fp!C l'on ne pourra plUEril'CE' de l'équation (r)lav:ile:urdep;ruais ou pourra tou jours"é- rifler que la quantité de ehalem':Ilmdt,érnanco!lein ,et qui sc pro- page, suivantchaque direction, dans un co ne dont~. estl'ouvertm-e, sera entièrement absorhécli hldistance de lnOù s'étend le rayonne- meut intérieur. In effet , la portion de cette chaleur absorbée pm-la tranche normale et cxtrèrncrncut mince du cône, silué"à ladistancer de m, et qui a 'i pourépaisseur, est q'F';p,Ilmdt; la totalité de la cha- leur ahsorhec dans une longueur quelconque1rlc cc cône, sera donc égale au produit de j),;'Illlldtetde lasomme des valeurs dei'q'plllre- lativesà toutes les tranches de cette partie du cône; Iaquellc somme pourra être remplacée par l'intégrale
/:1 (ir'pd!',
si la longneur lest comptée il partir du sommet. 0,-, en vertu de l'équation(1), et en ohsei-varrtque l'on a p=
1 quand l' ;..=0, cette intégrale a pour valent' 1 - J." en désign:mt par i'l la valeur de p qui répond àT'= l. Si donc l est l'étendue sensible du rayonnement intérieur, et quel'on ait, en conséquence, le
=
a, la chaleur absorbée dans cette longucllI'totale lsera égaleà toute la chaleur émise(J'Ill/u{t; ce qu'il s'agissait de vérifier.On peul auSSI d,;".,ontJ·cr (lue la chaleur "hsorhé" par toutes le,' trnuclrcs l.fllTle pai-Iic quclconqr,,(' du cùne que nous considérons~ cst illdépcn<hnte de l'ordre rh", lequel elles sc succcdcut ; I'absorp- 1iOT}(~ta!1ttoujours supPOSf;C, pour chaque tranche) proportionnelle
" laqualJlil~de rhaleur illCitl~lIl".Eu el1~,t, sail n.le nombre de Ccs tr.mches norrnales , appc1ùlIs <1lJ'la quanti lé LI::: chaleur ÙnllJlécde ln,
cu un h;i11p:; dOIl[I~,[luÎ tomheSlIl'la traucl.e1;,plus voisine de cette partie de A, et.d(;~igllon,; pal' «ok,la poriion de ®' qui sera absor- l,éc pOl' celle première trallehe: la chaleur incidcuto snrlaseconde sera j-C=duite il 'W(J - k,). En désignant pal' l.; ce {lue k, devient relativement 11 ccllc-ci , la C]Jaleur qu'elle ahsorho , et par "aite la chaleur- iucidcntc SUI' la troisii,mc tranche, a urout pour valeurs 'W(l-k,)!>" et@(r-k,)(I-k.). En continun-it ainsi, et dési- gnant par k«, k+,. _.f,", cc '-Illedevient TL, relativement à la lro i- sièruc , " la quau-ièrno , _ " à la il""" tranchc, la quantité de ~:ha
leur qui sortira de cette deruière nu l'a pour expression
en sorte que la chaleur sera diminuée pal' l'absorption àtravers ces fi
1'-.111(;]](';[ sucecssivcs , dans le l'apport {lu l'rOll ni [ de.'> u Iacteurs
! -k, l-k., 1 -k,J ,...1 -kn , il l'unité.01'" (13n,>l'hypothèSll 'luc l'on vient de rappelcr , chaclIne (lcs fractions k, k" />3" ..•lin , est indépendante de toutes le. autres, aussi hien 'T"8 de la quan- tité 'W' : la diminution totale de chaleur sera donc aussi iJldé- pendante de l'ordre des IL tranche- , dont le changement IlC ferai!
qu'intervertir l'ordre des racleurs précérleus , sans en c/][(ll.?:el' les
valeurs. ~
(,0-;). Il suit de lb. CJue dans l'échange ,le chaleur entre dellx parties Il! ct m' de A, si la chaleur envoyée p,w II! " m'est duni- nuee pal' I'absorption intermédiaire, dans le rapport de Pill'Imité, la chaleur envoyée par tu' 11 ni sera aussi diminuée duns le même l'3pport.
Da"5 le cène dOI!t le sommet est iYI. et l'ouverture a , je prends pour la partie m' la tranche normale et extrêmement mince, SI-
tnée ~ la distance r de ce sommet, ct qui a nPOUl- épaisseur. La
l'q'mm' ndt.
4'lï;';;
,edion dn cône étant silcette distance, le volume de cette tranche
oL'n. a tres peu pres n; et si l'on r-eprésenta toujours par
r'
sa donsité , on aura m'=
p'"s.La quantité de chaleur émanée de IIIpendant l'instantdtt et absorbée par cette rnêrnotranche m.',qui a
jJf/plv,S cl d
pou r expresslOH
4r.
r" I1mdt, d'après ce qui précè e , ev icndraJ. /:. THÉOlUE ~B.THÉMATIQUE DE LA CBALEUn.
rt
=
qFu; (5)Fu él:ü1t une fonction de la température u , 'lU! 5e1'3 touj()U1'~ b même, quel que sail le COI'pS A, solideJ liquide ou gazeux, au qucl ln nppar-ticnt. Nous donnerons dans le chapitre suivant I[i lorme de cette fonction, déduite cle l'observation.
Récipl'Oql1l~lllelJt,la quantité de chaleur émanée d,' mi, ct absorbée par ni, S81'[t
]J'lm'mn'dt
~?T1'" :1
"lj désignant pat' Ihn'dt la quantité de chaleur cnnse en tous sens
pill' m' pendant l'instant dt, et
q
étant, comme plus haut, la me- sure du pouvoir 'lhsor1nnl de 17l. Par conséqucnt., si. l'on représente pol' J' la diminution clc chaleur de ln provenant de l'échange entrë in ct Ill', on aura, en retranchant la dernière quantité de la précédente~QuellesqUi! soient les matières des partieslnet ml, de gl'andeul' insensible, si leurs températures sont égales, il faudra que J soit zero, afin que cette ég3!ité ne soit point trouhlée , de mêmequ'elle ne j'est pas entre des corps.de grandeuT quelconque (n" 6). Il fau- dra donc qu'on ait, dans ce cas,
g'n = !ln',
c'est-il-dire (IU'à égalité ~Ie tempél'ature les quantités de chaleur Il et
n';
qui mesurent les POUVOil'S émiosifs de ln ct rn'; l'apportées 3 l'unité de masse, doivent être entre elles comme les quantités q et q', qui mesurent leurs pouvoirs absorbans.n
en résulte aussi que,· pOUl' chaque partie matérielle, le l'apport de l'une de ces rue-,Hl"!'S à l'autre est indépendant de la matière et de la densité; en
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