EDO et Modélisation
INSA - 3BIM
Vendredi 30 janvier 2015 - Durée : 2h
Ceci est une épreuve individuelle. Seules la calculatrice et une feuille A4 recto-verso manuscrite originale sont autorisées pendant l’épreuve.
Sans préjuger des sanctions prises ultérieurement, toute tentative de copie pendant l’épreuve sera sanctionnée par la répartition des points de la plus mauvaise copie entre le copieur etle copié.
Vous veillerez par ailleurs à soigner vos graphiques.
Lisez bien l’énoncé jusqu’au bout, certaines questions sont indépendantes des précédentes.
1 "Matching allele model " (12 points)
On s’intéresse aux interactions entre des génotypes d’hôte et de parasites. On fait les hypothèses simplificatrices suivantes : (i) les hôtes et les parasites sont haploïdes ; (ii) chaque hôte interagit avec un seul parasite ; (iii) deux allèles A et a porte l’interaction chez les hôtes ; (iv) deux allèles B et b portent l’interaction chez les parasites. On suppose enfin qu’un parasite de génotypeB (resp., b) peut attaquer avec succès uniquement un hôte de génotypeA (resp., a).
Le Matching allele model est un modèle de génétique de population qui décrit simultanément les changements évolutifs de la fréquencex(t) de l’allèleA chez les hôtes et de la fréquencey(t)de l’allèle B chez les parasites. Dans ce modèle :(i) le taux de croissance du parasite est de 1 lorsqu’il attaque avec succès un hôte ; (ii) le taux de croissance de l’hôte est de1quand il échappe au parasitisme ; (iii) un parasite qui ne réussit pas à attaquer avec succès un hôte a un taux de croissance de1−α; (iv) un hôte qui se fait infecter par un parasite a un taux de croissance de 1−β.
Les équations du "Matching allele model" sont les suivantes :
dx
dt =−βx(1−x)(2y−1)
dy
dt =αy(1−y)(2x−1)
On notera (S) ce système. On considère que les paramètresα etβ sont >0.
1. Donnez une interprétation biologique aux paramètresα etβ.
1
Bio-Informatique et Modélisation - INSA de Lyon
2. Déterminez les points d’équilibre de (S). Donnez-en une interprétation biologique.
3. Déterminez la matrice jacobienne de(S).
4. Précisez la nature des points d’équilibre. Justifiez.
Soit la fonctionh(x, y) =αln(x(1−x)) +βln(y(1−y)).
5. Montrez que la fonctionh(x, y) est une fonction intégrale première pour (S).
6. Montrez que la fonctionh(x, y) admet un maximum en (1/2,1/2).
7. Que pouvez-vous en conclure ? On considère le plan de phase(x, y).
8. Déterminez les isoclines verticales. Justifiez.
9. Déterminez les isoclines horizontales. Justifiez.
10. Précisez le sens des vecteurs vitesse le long des isoclines. Justifiez.
11. Dessinez sur le portrait de phase quelques trajectoires bien choisies.
12. Pour une condition initiale (x(0), y(0)) = (ε, ε) avec ε petit, dessinez sur un même graphe les courbes solutions x(t) et y(t) en fonction de t; pour vous aidez, vous identifierez des temps ti particuliers que vous reporterez à la fois sur le portrait de phase et sur les chroniques.
2 Un autre modèle de génétique des populations (8 points)
On considère ici un tout autre modèle dans lequel les femelles d’une espèce peuvent s’accoupler avec plusieurs mâles. Ainsi, l’intérêt des mâles pour la reproduction diffère de celui des femelles. On désigne par r(t) la variable qui décrit les traits de "résistance" des femelles pour contrer l’adaptation des mâles au multi-partenariat des femelles ; et parp(t)la variable qui décrit les traits de "persistance"
des mâles. Enfin, après simplification, on désigne par(S)le système d’équations suivant :
dr
dt =−p(p−r−θ)−r/2
dp
dt =r−p/2 On suppose que 0.4< θ <2.
1. Déterminez les points d’équilibre de (S).
2. Déterminez la matrice jacobienne de(S).
3. Précisez la nature du point d’équilibre(0,0). Justifiez.
4. Précisez la nature du point d’équilibre(r?, p?) en fonction de la valeur deθ. Justifiez.
5. Déterminez la valeur de bifurcationθ?.
6. Énoncez les conditions d’application du théorème de Poincaré-Andronov-Hopf.
7. Vérifiez que ces conditions sont réunies. Justifiez.
8. On suppose que (r?, p?) est asymptotiquement stable lorsque θ = θ?. De quelle bifurcation s’agit-il ? Dessinez le diagramme de bifurcation correspondant.
Colle EDO I - Page 2/ 2 - 1ersemestre 2014/2015
