FICHE DE TRAVAUX DIRIGES DU 20-11-2019

Cours de soutien Scolaire de l’Excellence Feuille de TD du 20-11-2019 Niveau T^leC Par Olivier TIAGHO Page 1

FICHE DE TRAVAUX DIRIGES DU 20-11-2019 EXERCICE 1 :

Calculer les limites suivantes :

EXERCICE 2 :

1. Soient 𝑓 et 𝑔 les fonctions définies par : a) Déterminer une primitive 𝐹 de 𝑓 sur 0; ^𝜋

2 . b) Déterminer une primitive 𝐻 de 𝑘 + 𝑔 sur 0; ^𝜋

2 avec 𝑘 𝑥 = 1 + 2 sin 𝑥 𝑓 𝑥 . c) En déduire une primitive 𝐺 de 𝑔 sur 0; ^𝜋

2 qui prend la valeur 1 en . 2. Déterminer les primitives de 𝑓 sur 𝐷 dans chacun des cas suivants :

EXERCICE 3 :

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . Soient les points 𝐴 3; −2; 2 , 𝐵 6; 1; 5 , 𝐶 6; −2; −1 et 𝐷 0; 4; −1 .

1. Calculer le produit vectoriel 𝐴𝐵 ∧ 𝐴𝐶 et en déduire que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont non alignés.

2. a) Montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴.

b) Ecrire une équation cartésienne du plan 𝑃₁ orthogonal à la droite 𝐴𝐶 passant par 𝐴.

Cours de Soutien Scolaire de L’Excellence

Contact : 694 22 60 38 BP : 81 EDEA

Année Scolaire : 2019-2020 Niveau : Terminale C

Prof : Olivier TIAGHO

𝑎) lim

𝑥⟶0

1 − sin 𝑥 − cos 𝑥

1 − cos 𝑥 + sin 𝑥; 𝑏) lim

𝑥⟶^𝜋 3

3 − tan 𝑥

3𝑥 − 𝜋 ; 𝑐) lim

𝑥⟶0

𝑥

1 + 𝑥² − 1 + 𝑥 𝑑) lim

𝑥⟶+∞

𝑥

1 + 𝑥² − 1 + 𝑥; e) lim

𝑥⟶0

1 + 𝑥 − 1 + 𝑥²

𝑥 ; 𝑓) lim

𝑥⟶+∞

1 + 𝑥² − 1 + 𝑥 𝑥²

𝑓 𝑥 = cos 𝑥

1 + 2 sin 𝑥 ² et 𝑔 𝑥 = sin 2𝑥 1 + 2 sin 𝑥 ²

𝜋 4

𝑎) 𝑓 𝑥 = tan⁴𝑥; 𝐷 = ℝ − ^𝜋

2 + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

𝑏) 𝑓 𝑥 = sin³𝑥 cos²𝑥 ; 𝐷 = ℝ 𝑐) 𝑓 𝑥 = cos⁴𝑥 sin²𝑥 ; 𝐷 = ℝ.

Cours de soutien Scolaire de l’Excellence Feuille de TD du 20-11-2019 Niveau T^leC Par Olivier TIAGHO Page 2

c) Vérifier que le plan 𝑃₂ d’équation 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 est orthogonal à la droite 𝐴𝐵 et passe par 𝐴.

3. a) Ecrire une équation cartésienne de la sphère 𝑆 de centre 𝐵 et de rayon 𝑅 = 5 3.

b) Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble 𝐿 = 𝑆 ∩ 𝑃₂ . 4. a) Calculer les produits scalaires 𝐴𝐷 . 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 . 𝐴𝐶 . En déduire que la droite 𝐴𝐷 est orthogonale au plan 𝐴𝐵𝐶 .

b) Calculer alors le volume 𝑉 du tétraèdre 𝐴𝐵𝐶𝐷.

EXERCICE 4 :

1. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 est un cube tel que 𝐴𝐵 , 𝐴𝐷 , 𝐴𝐸 est une base orthonormée directe.

Soit 𝐼 le milieu de 𝐸𝐹 et 𝐽 le centre de gravité du carré 𝐴𝐷𝐻𝐸.

a) Vérifier que 𝐼𝐺 ∧ 𝐼𝐴 = 𝐵𝐽 . En déduire l’aire du triangle 𝐼𝐺𝐴.

b) Calculer le volume du tétraèdre𝐴𝐵𝐼𝐺 et en déduire la distance du point 𝐵 au plan 𝐼𝐺𝐴 .

2. 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de sens direct de l’espace E .

a) Déterminer l’ensemble Γ des points 𝑀 de l’espace tels que : 2𝑀𝐴 − 𝑀𝐶 = −𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵 − 𝑀𝐶 .

b) Déterminer l’ensemble E des points 𝑀 de l’espace tels que : 8𝑀𝐴 − 4𝑀𝐶 = 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 + 𝑀𝐷 .

EXERCICE 5 :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct 𝑂, 𝑢 , 𝑣 , on considère les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 𝑖 et 3𝑖. Soit 𝑓 l’application qui à tout point 𝑀 du plan d’affixe 𝑧 distinct de 3𝑖, associe le point 𝑀^′ d’affixe 𝑧^′ telle que : .

1. Vérifier que : .

2. Déterminer et construire l’ensemble 𝐸 , image des points de la droite d’équation 𝑦 = 2 par 𝑓.

𝑧^′ = 𝑧 − 𝑖 𝑖𝑧 + 3 𝑂𝑀^′ = 𝐴𝑀

𝐵𝑀 et que 𝑢 , 𝑂𝑀 = 𝑀𝐴^′ , 𝑀𝐵 −𝜋

2+ 2𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ

Cours de soutien Scolaire de l’Excellence Feuille de TD du 20-11-2019 Niveau T^leC Par Olivier TIAGHO Page 3

3. Déterminer et construire l’ensemble 𝐹 , image des points du cercle de diamètre 𝐴𝐵 différents de 𝐴 et de 𝐵 par 𝑓.

EXERCICE 6 :

Soit 𝐸 l’équation 𝑧⁴+ 4𝑧² + 16 = 0 d’inconnue complexe 𝑧.

1. Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧² + 4𝑧 + 16 = 0. Ecrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

2. On désigne par 𝑎 le nombre complexe de module 2 et dont un argument est égal à a) Calculer 𝑎² sous forme algébrique.

b) En déduire les solutions dans ℂ de l’équation 𝑧² = −2 + 2𝑖 3.

3. Démontrer que si 𝑧 est solution de 𝐸 , alors 𝑧 l’est aussi.

4. En déduire toutes les solutions de l’équation 𝐸 . EXERCICE 7 :

Le plan complexe 𝒫 rapporté au repère orthonormé direct 𝐴, 𝑢 , 𝑣 , unité graphique : 1cm. On considère les points 𝐵,𝐷 définis par : 𝐴𝐵 = 2𝑢 , 𝐴𝐷 = 3𝑣 et 𝐶 tel que 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Déterminer l’affixe 𝑍_𝐸 de 𝐸, image de 𝐵 par la translation de vecteur 𝐷𝐵 .

2. Déterminer les réels 𝑎 et 𝑏 tels que le point 𝐹 d’affixe 𝑧_𝐹 = 6 − 𝑖 soit le barycentre du système 𝐴, 𝑎 ; 𝐵, 𝑏 ; 𝐶, 1 .

3. On considère la similitude directe 𝒔 qui transforme 𝐴 en 𝐸 et 𝐵 en 𝐹. A tout point 𝑀 d’affixe 𝑧, on associe le point 𝑀^′ d’affixe 𝑧^′, image de 𝑀 par 𝒔.

a) Montrer que 𝑧^′ = 1 + 𝑖 𝑧 + 4 − 3𝑖.

b) Déterminer le centre Ω, l’angle 𝜃 et le rapport 𝑘 de la similitude 𝒔.

c) Déterminer 𝒔 𝐶 et 𝒔 𝐷 .

d) Calculer l’aire de l’image par 𝒔 du rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷.

4. Déterminer l’ensemble Γ des points 𝑀 du plan tels que 6𝑀𝐴 − 10𝑀𝐵 + 𝑀𝐶 = 9.

5. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques, l’image de Γ par 𝒔.

EXERCICE 8 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur 0;^𝜋

2 par .

𝜋 3 .

𝑓 𝑥 = 1 cos 𝑥

Cours de soutien Scolaire de l’Excellence Feuille de TD du 20-11-2019 Niveau T^leC Par Olivier TIAGHO Page 4

1. Montrer que 𝑓 admet une réciproque 𝑓⁻¹ .

2. Ecrire une équation cartésienne de la tangente 𝑇 à la courbe de 𝑓⁻¹ au point d’abscisse 2.

3. Déterminer l’ensemble 𝐷 de dérivabilité de 𝑓⁻¹ et montrer que pour tout 𝑥 ∈ 𝐷, on a : .

EXERCICE 9 :

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 . On considère les plans 𝑃 et 𝑄 d’équations respectives : 10𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = 73 et 𝑧 = 3.

1. Soit 𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑃 ∩ 𝑄 . On suppose que 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont des entiers relatifs.

a) Montrer que les entiers 𝑥 et 𝑦 sont solutions de l’équation 𝐸 : 2𝑥 + 3𝑦 = 11.

b) Vérifier que le couple 7; −1 est solution de 𝐸 , puis résoudre 𝐸 dans ℤ².

c) Déterminer tous les points 𝑀 dont les coordonnées sont des entiers naturels.

2. Soient 𝑥, 𝑦 et 𝑧 des entiers naturels tels que 10𝑥 + 15𝑦 + 6𝑧 = 73.

a) Montrer que 𝑦 est impair et que 𝑥 ≡ 1 3 .

b) On pose alors 𝑥 = 3𝑝 + 1, 𝑦 = 2𝑞 + 1 et 𝑧 = 5𝑟 + 3 où 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ ℕ.

Montrer que 𝑀 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ 𝑃 si et seulement si 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 1.

c) Déterminer tous les points de 𝑃 dont les coordonnées sont des entiers naturels.

EXERCICE 10 :

1. On donne une fonction 𝑔 telle que 𝑔 𝑥 = 4𝑥³+ 𝑥² + 1.

a) Etudier les variations de 𝑔 et dresser son tableau de variations.

b) En déduire que l’équation 𝑔 𝑥 = 0 admet sur ℝ une unique solution 𝛼 et vérifier que .Déterminer un encadrement de 𝛼 d’amplitude 10⁻².

c) Déduire suivant les valeurs de 𝑥, le signe de 𝑔 𝑥 .

2. On considère la fonction 𝑓 telle que . 𝒞 est sa courbe.

a) Etudier les limites de 𝑓 au bornes de son domaine de définition.

b) Calculer 𝑓^′ 𝑥 et justifier que 𝑓^′ 𝑥 et 𝑔 𝑥 ont le même signe.

c) Dresser le tableau de variations de 𝑓.

d) Montrer que 𝒞 admet une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées.

e) Etudier les branches infinies de 𝒞 et construire 𝒞 pour 𝛼 = −0,72.

𝑓^{−1 ′} 𝑥 = 1 𝑥 𝑥² − 1

𝛼 ∈ −3 4; −1

2

𝑓 𝑥 = −1

𝑥+ 2 ln 1 + 𝑥²