MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 5 pour le vendredi 28/11/14 29 juin 2019
Et si j'en achète plusieurs ? Combien pour chaque ?
I. Suites sous-additives
On dira qu'une suite (u n ) n∈
N de nombres réels est sous-additive 1 si et seulement si :
∀(m, n) ∈ N 2 : u m+n ≤ u m + u n
1. Quel est le rapport entre les suites sous-additives et la phrase citée au début de l'énoncé ?
2. Montrer que l'ensemble des valeurs d'une suite qui converge ou qui diverge vers +∞
est minoré.
3. Soit (a n ) n∈
N une suite sous additive. On note A = n a n
n , n ∈ N ∗ o
a. Soit n , q , r trois éléments de N, montrer que a qn+r ≤ qa n + a r .
b. Soit N ∈ N ∗ xé. Pour tout n ∈ N, notons q n le quotient de la division entière de n par N . Justier la convergence des suites
max(a 0 , a 1 , · · · , a N ) n
n∈N
∗,
q n N n
n∈N
∗et préciser les limites.
c. On suppose que A n'est pas minoré.
Montrer que, pour tout réel E , il existe un entier n E tel que a n
En E < E − 1 Montrer que a n
nn∈ N
∗diverge vers −∞ .
d. (lemme de Feteke) On suppose que A est minoré, on note α sa borne inférieure.
Montrer que, pour tout ε > 0 , il existe un entier n ε tel que a n
εn ε
< α + ε 2 Montrer que a n
nn∈ N
∗converge vers α .
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D'après Problems and Theorems in Analysis. Pólya Szeg® Chapt 3 n 98-99
4. Soit (a n ) n∈N une suite de nombres réels strictement positifs telle que
∀(m, n) ∈ N 2 , a m+n ≤ a m a n Montrer que
a
1
n
nn∈ N
est convergente. Préciser sa limite.
II. Pentes de A'Campo
Pour toute fonction λ de N dans N, on dénit une fonction d λ de N 2 dans Z par :
∀(m, n) ∈ N 2 , d λ (m, n) = λ(m + n) − λ(m) − λ(n)
On appelle pente 2 toute fonction λ de N dans N telle que l'ensemble D(λ) = d λ ( N 2 ) des images par d λ soit ni.
1. Montrer qu'une fonction λ de N dans N est une pente si et seulement si d λ est une fonction bornée.
2. Soit j ∈ N, on dénit une fonction j de N dans N par j(n) = jn pour tout n de N.
Montrer que j est une pente. Que vaut D(j) ?
3. Pour tout réel y > 0 , on dénit de manière unique dye ∈ N par dye − 1 < y ≤ dye . Pour tout réel x > 0 , on dénit la fonction x de N dans N par :
∀n ∈ N , x(n) = dnxe
Montrer que D(x) est inclus dans un ensemble ni très simple à préciser. En déduire que x est une pente et que (x(n)) n∈
N est sous-additive.
4. On dénit la fonction ρ de N dans N par :
∀n ∈ N , ρ(n) = min
k ∈ N tq 2n 2 ≤ k 2 Montrer que ρ est une pente.
5. On dénit la fonction polynomiale p dans R par p(x) = x 5 + x − 3 et la fonction α de N dans N par
∀n ∈ N , α(n) = min
k ∈ N tq p( k n ) ≥ 0
Montrer que α est une pente.
2
d'après A natural construction for the real numbers A'Campo
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1405EMPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 5 pour le vendredi 28/11/14 29 juin 2019
III. Opérations et limites
1. Soit (u n ) n∈
N une suite de nombres réels pour laquelle il existe des réels A et B tels que
∀(m, n) ∈ N 2 : A ≤ u m+n − u m − u n ≤ B On note
U = n u n
n , n ∈ N ∗ o
U − =
− A + u n
n , n ∈ N ∗
U + =
B + u n
n , n ∈ N ∗
a. Montrer que les suites (B + u n ) n∈N et (−A − u n ) n∈N sont sous-additives.
b. Montrer que U + est minoré. On note u = inf U + . c. Montrer que u n
nn∈ N
∗converge vers u . 2. Soient λ une pente.
a. Montrer que λ(n)
n
n∈N
∗converge. On note l(λ) sa limite.
b. Montrer que l(λ) ≥ 0 , montrer que si l(λ) > 0 alors (λ(n)) n∈N diverge vers +∞ . 3. Soient λ et µ deux pentes. Montrer que λ + µ est une pente. Préciser l(λ + µ) . 4. Soient λ et µ deux pentes.
a. Pour (m, n) ∈ N 2 , exprimer d λ◦µ (m, n) à l'aide de trois termes : chacun étant une image par d λ ou une image par λ .
En déduire que λ ◦ µ est une pente.
b. Préciser l(λ ◦ µ) .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
