4.1 Formule de d’Alembert

4 Equation des ondes

Ce paragraphe est consacr´e `a l’´etude de l’´equation des ondes

∂²u

∂t² −a²∆u=f(t, x), t∈R, x∈R^d, (4.1) o`ua >0 est un param`etre etf est une fonction donn´ee. Nous allons obtenir des formules explicites pour des solutions dans le casd= 1 ou 3 et ´etablir l’unicit´e de solution en utilisant l’estimation d’´energie.

4.1 Formule de d’Alembert

Consid´erons le probl`eme de Cauchy pour l’´equation (4.1) : u(0, x) =u0(x), ∂u

∂t(0, x) =u1(x), x∈R^d, (4.2) o`uu0, u1 sont des fonctions donn´ees.

Th´eor`eme 4.1 (formule de d’Alembert). Soitd= 1,u0∈C<sup>2</sup>(R),u1∈C<sup>1</sup>(R) etf ≡0. Alors le probl`eme (4.1),(4.2)poss`ede une unique solutionu∈C²(R²), qui est donn´ee par la relation

u(t, x) = 1

2 u0(x+at) +u0(x−at) + 1

2a Z x+at

x−at

u1(y)dy. (4.3) D´emonstration. On obtient d’abord une formule pour la solution g´en´erale. Soit u∈C²(R²) une solution de l’´equation (4.1) avecf ≡0. On fait un changement de variables

x+at=ξ, x−at=η ⇐⇒ x= 1

2(ξ+η), x= 1

2a(ξ−η).

Alors ∂_t = a(∂ξ −∂_η), ∂_x = ∂_ξ +∂_η, et la fonction v(ξ, η) = u(t, x) v´erifie l’´equation∂_ξ∂_ηv= 0 pour (ξ, η)∈R². Cette ´equation implique

v(ξ, η) =ϕ(ξ) +ψ(η), o`uϕ, ψ∈C²(R). On voit que

u(t, x) =ϕ(x+at) +ψ(x−at). (4.4) Montrons maintenant l’unicit´e. Si u(0, x) = 0, alors ψ(x) = −ϕ(x). Si, en plus,∂_tu(0, x) = 0, alorsϕ^′(x) = 0, d’o`u on conclut queϕ(x) =c=−ψ(x) pour tout x∈Ret doncu≡0.

On ´etablit maintenant (4.3). Les conditions initiales (4.2) et la formule (4.4) impliquent que

La solution de ce syst`eme est donn´ee par les formules ϕ(x) =1

2u0(x) + 1 2a

Z x

0

u1(y)dy+C, ψ(x) =1

2u0(x)− 1 2a

Z x

0

u1(y)dy−C,

o`u C ∈ R est une constante. En reportant ces relations dans (4.4), on ob- tient (4.3).

Exercice 4.2. R´esoudre le probl`eme

∂_t²u−a²∂_x²u= 0, t∈R, x >0, u(0, x) =u0(x), ∂tu(0, x) =u1(x), x >0,

u(t,0) = 0, t∈R,

o`u u0 ∈ C²(R), u1 ∈ C²(R) sont des fonctions donn´ees v´erifiant la condition u0(0) =u^′′₀(0) =u1(0) = 0.

4.2 Formule de Kirchhoff

On consid`ere maintenant l’´equation des ondes dans le casd= 3. Pour toute fonctiong∈C(R³), on pose

Srg(x) = 1 4πr²

Z

∂B(x,r)

g(y)dσ= 1 4π

Z

∂B

g(x+ry)dσy, (4.5) o`uB⊂R³d´esigne la boule unit´e de centre z´ero.

Th´eor`eme 4.3. Soit u0 ∈ C<sup>3</sup>(R<sup>3</sup>) et u1 ∈ C<sup>2</sup>(R<sup>3</sup>). Alors le probl`eme (4.1), (4.2)avec f ≡0 poss`ede une solution u∈C²(R⁴)donn´ee par

u(t, x) = ∂

∂tt Satu0(x) +t Satu1(x). (4.6) D´emonstration. Montrons d’abord que

∆xSrg(x) = 1 r

∂²

∂r² rSrg(x)

. (4.7)

En effet, on a

1 r

∂²

∂r²(rSrg) =2 r

∂

∂rS_rg+ ∂²

∂r²S_rg. (4.8)

En utilisant la formule d’int´egration par parties, on calcule les d´eriv´ees de la

fonctionS_rgenr :

∂_r(Srg) = 1 4π

Z

∂B 3

X

k=1

∂g

∂xk

(x+ry)ykdσ_y= 1 4πr

Z

∂B

∂

∂νy

g(x+ry)dσ_y

= 1

4πr Z

B

∆yg(x+ry)dy= r 4π

Z

B

(∆g)(x+ry)dy,

∂_r²(Srg) = 1 4π

Z

B

(∆g)(x+ry)dy+ 1 4π

Z

B 3

X

k=1

yk∂k(∆g)(x+ry)dy

=− 1 2π

Z

B

(∆g)(x+ry)dy+ 1 4π

Z

∂B

(∆g)(x+ry)dσ_y. En combinant ces relations avec (4.8), on obtient (4.7).

Soitv(t, x) =tSatu1(x). En utilisant la relation (4.7), on v´erifie que

∂_t²v=a∂_r²(rSru1)

r=at=a²t∆(Sru1)

r=at=a²∆v, v(0, x) = 0, ∂_tv(0, x) = (S0u1)(x) =u1(x).

On voit quev(t, x) est solution du probl`eme (4.1), (4.2) avecu0≡0. En d´erivant par rapport `at, on conclut que siu0∈C³(R³), alorsw(t, x) =∂_t(tSatu0) v´erifie les ´equations

∂_t²w=a²∆w, w(0, x) =u0(x), ∂tw(0, x) =a²∆(tSatu0)

t=0= 0.

Par lin´earit´e, on voit que la somme u=v+w est solution du probl`eme (4.1), (4.2) avec f ≡0.

Th´eor`eme 4.4 (sans d´emonstration). Pour toutes fonctionsu0, u1 ∈C<sup>∞</sup>(R<sup>d</sup>) le probl`eme (4.1),(4.2)poss`ede une solution u∈C^∞(R^d+1).

Pour la d´emonstration de ce r´esultat, voir§2.4 dans [Eva02].

4.3 Estimation d’´ energie et unicit´ e

Pour toute fonctionu∈C¹(R^d+1), on pose Eu(t, x) = ∂tu(t, x)²

+

∇u(t, x)

2.

Th´eor`eme 4.5. Soitu∈C²(R^d+1)une solution de l’´equation(4.1). Alors pour touty∈R^d et toutes constantes T >0et r >0on a

Z

B(y,r)

E_u(T, x)dx≤ Z

B(y,r+at)

E_u(0, x)dx. (4.9) D´emonstration. On d´efinit le domaine

d+1

Multiplions l’´equation (4.1) par 2∂tuet int´egrons surD. En utilisant la formule d’int´egration par parties, on obtient

0 = 2 Z

D

(∂_t²u−a²∆u)∂tu dtdx

= 2 Z

D

∂t (∂_t²u)²+a²|∇u|²

dtdx−2a² Z

Γ

∂tu

d

X

k=1

νk∂ku dσ

= Z

B(y,r)

E_u(T, x)dx− Z

B(y,r+aT)

E_u(0, x)dx+ Z

Γ

Q_u(t, x)dσ, (4.10)

o`u Γ ={(t, x)∈R^d+1: 0< t < T,|x−y|=r+a(T−t)},ν = (νt, ν1, . . . , νd) d´esigne le vecteur normal ext´erieur de Γ,

Qu(t, x) = ((∂²_tu)²+a²|∇u|²)νt−2a²∂tu

d

X

k=1

νk∂ku.

Comme

νt= a

1 +a², νk= xk−yk

√1 +a², k= 1, . . . , d,

on voit que Q_u(t, x) ≥ 0 sur Γ. En combinant cette in´egalit´e avec (4.10), on obtient (4.9).

Corollaire 4.6. Soitu∈C²(R^d+1)une solution du probl`eme (4.1),(4.2)avec f ≡0 etu0≡u1≡0. Alorsu≡0.

Exercice4.7. Montrer que le probl`eme (4.1), (4.2) avec des donn´eesf ∈C<sup>1</sup>(R<sup>d+1</sup>), u0∈C<sup>2</sup>(R<sup>d</sup>) etu1∈C<sup>1</sup>(R<sup>d</sup>) poss`ede au plus une solution u∈C²(R^d+1).

4.4 Formule de Duhamel

Pour tout fonctions u₁ ∈ C^∞(R^d), on note (Ru1)(t, x) la solution du pro- bl`eme (4.1), (4.2) avec f ≡0 etu0≡0.

Th´eor`eme 4.8. Pour toutf ∈C^∞(R^d+1)la fonction u(t, x) =

Z t

0

(Rf(s,·))(t−s, x)ds (4.11) appartient `a l’espace C^∞(R^d+1) et v´erifie les ´equations (4.1), (4.2) avec u0 ≡ u1≡0.

D´emonstration. Pour simplifier, nous n’allons consid´erer que le casd= 3. Dans ce cas, on a

(Rf(s,˙))(t−s, x) = (t−s)Sa(t−s)f(s,·),

o`u l’op´erateur S_r est d´efini par (4.5). Cette relation implique imm´ediatement que la fonction (4.11) est infiniment diff´erentiable surR^d+1. En d´erivant (4.11), on obtient

∂_tu(t, x) = Z t

0

∂_t(Rf(s,·))(t−s, x)ds,

∂_t²u(t, x) =f(t, x) + Z t

0

∂_t²(Rf(s,·))(t−s, x)ds,

∆u(t, x) = Z t

0

∆(Rf(s,·))(t−s, x)ds.

Il s’ensuit queu(t, x) v´erifie les ´equation (4.1), (4.2) avecf ≡0 etu0≡0. Ceci ach`eve la d´emonstration dans le case d= 3.

Exercice 4.9. Utiliser les formules de d’Alembert et de Kirchhoff pour r´e´ecrire la relation (4.11) d’une mani`ere explicite.