DÉVELOPPEMENT D UN MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE POUR LA PRÉDICTION DE LA COHÉRENCE D UN JET UTILISÉ DANS LES PROCÉDÉS DE RECTIFICATION

DÉVELOPPEMENT D’UN MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE POUR LA PRÉDICTION DE LA COHÉRENCE D’UN JET UTILISÉ DANS LES PROCÉDÉS DE RECTIFICATION

Benoit St-Pierre¹, Jean-François Chatelain², Louis Dufresne²

1Pratt & Whitney Canada Inc.

2Département de génie mécanique, École de technologie supérieure, Montréal, Québec, Canada E-mail: jean-francois.chatelain@etsmtl.ca; louis.dufresne@etsmtl.ca

Received October 2011, Accepted May 2012 No. 11-CSME-79, E.I.C. Accession 3319

RÉSUMÉ

La productivité des procédés de rectification par dressage continu (Continuous Dress Creep Feed- CDCF) est principalement limitée par les marques de brûlure générées sur les surfaces usinées lorsque des pa- ramètres de coupe trop agressifs sont utilisés. Ce problème peut être résolu en améliorant l’application du fluide de refroidissement dans la zone rectifiée en utilisant des buses à jet cohérent. Afin d’étudier l’influence des paramètres de conception d’une buse sur la cohérence du jet de refroidissement tout en diminuant les coûts et le temps associé à une approche expérimentale, le présent travail illustre comment élaborer un mo- dèle semi-empirique qui permet de prédire la cohérence physique d’un jet de fluide de refroidissement à base d’eau produit par une buse de type Webster en utilisant principalement des résultats de dynamique des fluides numérique (CFD). Un minimum de résultats expérimentaux est requis pour définir ce modèle qui utilise l’ouverture des profils de vitesse numérique pour faire sa prédiction. Nos résultats ont montré que le modèle semi-empirique développé, en utilisant notre approche, permet de prédire la cohérence d’un jet de fluide de refroidissement avec moins de 4% d’erreur.

Mots-clés : cohérence de jet; modèle semi-empirique; rectification par dressage continu; buse.

DEVELOPMENT OF A SEMI-EMPIRICAL MODEL BASED ON CFD RESULTS FOR THE PREDICTION OF COOLANT JET COHERENCY FOR GRINDING APPLICATIONS ABSTRACT

The productivity of Continuous Dress Creep Feed (CDCF) grinding processes is mainly limited by the burning marks that appear on the machined surfaces if too aggressive cutting parameters are selected. This issue can be solved by improving coolant application in the grinding zone by using coherent coolant nozzle.

To study the effects of design parameters of a nozzle on the coherency of the cooling jet while diminishing costs and times related to an experimental approach, the present work demonstrates how to elaborate a semi- empirical model that predicts the physical coherency of a water-based coolant jet produced by a Webster type nozzle using mainly computational fluid dynamic (CFD) results. In order to establish this semi-empirical model, a minimum of experimental results are required. The model uses the opening of the numerical velocity profiles to make the predictions. Our results demonstrate that the model developed, using our approach, can predict the physical coherency of the water-based coolant jet with less than 4% of error.

Keywords: jet coherency; semi-empirical model; continuous dress creep feed grinding; nozzle.

1. INTRODUCTION

La productivité des procédés de rectification par dressage continu (Continuous Dress Creep Feed- CDCF) est principalement limitée par les marques de brûlure qui apparaissent sur les surfaces usinées lorsque des paramètres de coupe trop agressifs sont utilisés. Une solution simple à ce problème consiste à améliorer l’application du fluide de refroidissement dans la zone rectifiée en utilisant des buses capables de générer un jet concentré, soit plus cohérent, sur une longue distance.

Cui et Webster [1] ont développé avec succès un nouveau concept de buse, lui-même basé sur le concept de Rouse et al. [2], qui permet d’augmenter de plus de 300% la cohérence du jet produit pour un nombre de Reynolds de 10⁵comparativement à une buse classique opérant avec un fluide de refroidissement à base d’eau. Mindek et Webster [3] ont démontré que ce gain de cohérence peut se traduire en un gain de durée de vie de l’outil de l’ordre de 27% et cela sans influencer la qualité des pièces produites.

Ghassemieh et al. [4] ont démontré que la géométrie interne de la buse agit directement sur certains mécanismes qui influencent la cohérence du jet. Ces mécanismes sont la cavitation, la turbulence, la stabilité du profil de vitesse, les effets de couche limite et l’interaction entre le jet de fluide et l’air ambiant. Yuan et al. [5] ont développé un modèle qui simule l’écoulement de fluide à l’intérieur d’un injecteur de diesel.

Leur modèle utilise une combinaison de la méthode pour écoulements multiphasesVolume of fluid(VOF) et d’équations pour simuler le changement de phase et qui permet la simulation de la cavitation. Pour modéliser la turbulence, ils ont utilisé le modèlek-ω de Wilcox [6]. Leurs résultats ont mis en évidence l’influence que joue la géométrie intérieure sur la cavitation. En fait, ils ont montré que la cavitation diminue lorsque le rayon à l’entrée de la sortie de la buse augmente. De plus, l’ajout d’un rayon important peut permettre de contenir la cavitation à l’intérieur de la buse et ainsi diminuer les perturbations que cette zone de fraction de vapeur va causer sur le jet libre. Yuan et Schnerr [7] ont repris leur modèle précédemment développé pour simuler le comportement du jet produit par ce même injecteur de diesel. Leurs résultats ont mis en évidence l’influence de la cavitation sur la fragmentation du jet produit par la buse. Il est important de noter que tous ces résultats ont été obtenus dans le cas de très petites buses, soit d’un diamètre de sortie de l’ordre de 120 à 170µm (0.0047 à 0.0067 po). Les mécanismes qui influencent le comportement du jet produit, tel la cavitation, peuvent avoir une influence tout à fait différente à plus grande échelle, c’est-à-dire dans le cas de buses pour les procédés de rectification (Fig. 1).

Afin d’étudier l’influence des paramètres de conception d’une buse pour procédé de rectification sur la cohérence du jet qu’elle produit, l’utilisation de simulations numériques est préconisée afin de diminuer les coûts et le temps associé à des approches expérimentales. Cette recherche présente donc une méthode permettant la prédiction de la cohérence de jet d’une buse par simulation numérique. Dans un premier temps, la cohérence du jet d’une buse donnée est mesurée expérimentalement afin de vérifier la capacité de reproduire le comportement observé à l’aide des outils de simulation existants. Afin de pallier aux lacunes existantes et connues quand à ces outils (e.g. interaction du jet de fluide avec l’air), une nouvelle approche référant à l’ouverture du profil de vitesse obtenue numériquement est présentée, de même que le modèle semi-empirique développé à l’aide de l’analyse dimensionnelle. Ce dernier permet en fait de prédire l’ouverture physique du jet de fluide à partir de l’ouverture du profil de vitesse obtenue numériquement.

2. MESURES EXPÉRIMENTALES DE LA COHÉRENCE

Les essais expérimentaux de mesure de la cohérence ont été réalisés chez Pratt & Whitney Canada (P&WC) avec une rectifieuse multi-axes (Mägerle). Cette machine-outil est équipée d’un système de filtration et de distribution de fluide de refroidissement de marque HydroFlow modèle HVF-16A dont la pompe princi- pale est une Grundfos CR30-40U capable de fournir 100 gpm (378.5 Lpm) de fluide de refroidissement à une pression de 100 psi (689.5 kPa). Cette machine est également équipée d’un compresseur frigorifique

de marque Koolant Koolers modèle AFD7500WC-SST qui maintient la température du fluide à 68 ±4 ºF (20 ± 2.2 ºC) pendant la durée des essais. Le fluide de refroidissement à base d’eau utilisé est composé d’une proportion eau/huile de 70 pour 1.

2.1. Montage expérimental et méthodologie

Les essais expérimentaux de mesure de la cohérence sont effectués pour une buse de type “Webster”

(Fig. 1) [8]. Le ratio de contraction,Cr, se définit par l’équation suivante : Cr=Di

D_o, (1)

oùDi etDoreprésentent respectivement les diamètres d’entrée et de sortie de la buse. Des essais internes chez P&WC ont montré qu’un ratio égal ou supérieur à 2.67 était préférable pour ce type de buse. Étant donné que le diamètre interneDi de la tuyauterie présente sur la machine-outil est de 1 po (25.4 mm), le diamètre de sortieDoest donc de 3/8 po (9.525 mm). Cette buse est fixée sur une section droite qui assure

Fig. 1. Schéma de la section intérieure de la buse de “Webster” à l’essai.

le lien entre la buse à tester et la tuyauterie existante sur la machine-outil (Fig. 2). À l’intérieur de cette section droite, un conditionneur d’écoulement, tel que développé par Cui [8], est installé. Ce dernier a montré expérimentalement que ce conditionneur d’écoulement permet d’accélérer la stabilisation du profil de vitesse de l’écoulement et d’obtenir un profil pleinement établi à une distance de 7.5Disuivant la position du conditionneur. À cette distance, soit de 7.5 po (190.5 mm) dans notre cas, un manomètre (0–200 psi, 0–1380 kPa) est fixé sur la section droite. Ce manomètre ayant une précision de ±1% est remplit de silicone afin d’obtenir une lecture stable qui ne sera pas influencée par les vibrations causées par la machine-outil. En fait, le débit de fluide de refroidissement est contrôlé avec la pression mesurée. Cette technique de contrôle du débit a été sélectionnée car elle est plus simple qu’un débitmètre et plus représentative de la façon dont le débit est contrôlé en usine. La lecture de pression obtenue avec le manomètre est considérée comme étant la pression moyenne de l’écoulement au point de lecture. Le contrôle de la pression est assuré par une valve de détente. Finalement, une barre de référence est fixée à l’assemblage afin d’indiquer la distance de référence de 6 po (152.4 mm) lors de la prise des mesures de la cohérence du jet (Fig. 3). Cette distance a été choisie, car c’est la distance typique que le jet doit parcourir pour atteindre la zone rectifiée dans un procédé de rectification CDCF.

La méthodologie expérimentale utilisée est similaire à celle de Webster [9] et Cui [8], cependant la mesure de la cohérence du jet est prise à l’aide d’une caméra numérique haute résolution. Cette méthode a été proposée par Webster et elle permet d’éliminer des équipements accessoires à la prise de mesure (système de montage/fixture avec vernier et axe pour déplacement transversal). La caméra numérique utilisée pour capturer l’ouverture du jet est une Sony Cyber-Shot DSC-H5 de résolution 7.2 méga pixels et de zoom optique égal à 12x. Trois pressions ont été testées, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kPa). Ces

Fig. 2. Schéma du montage utilisé lors des essais expérimentaux pour obtenir des mesures physiques de cohérence de jet.

pressions représentent un éventail assez complet des pressions normalement retrouvées sur une rectifieuse de type CDCF qui utilise un fluide de refroidissement à base d’eau. Pour chacune de ces pressions, 60 photos ont été prises afin de s’assurer de la répétabilité des mesures. Ensuite, à l’aide du logiciel AutoCAD 2005, qui permet le traitement d’images, le diamètre du jet à la sortie de la buse,D_o, et celui à une distanceLde la buse,DL, est extrait (Fig. 3). Ces deux mesures nous permettent d’évaluer la cohérence du jet en référant au ratio d’ouverture de jetDr:

D_r=D_L

D_o. (2)

Fig. 3. Exemple de prise de mesure pour déterminer la cohérence du jet produit par la buse.

2.2. Résultats

La procédure décrite ci-haut a été utilisée pour le calcul de la cohérence du jet produit par la buse “Web- ster” pour des distances Lde 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) à partir de la sortie de la buse, et cela pour chacune des pressions testées, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kPa). Ces distances ont été choisies car elles correspondent aux distances normales qu’un jet de fluide de refroidissement doit franchir pour atteindre la zone usinée par une rectifieuse. Les pressions choisies correspondent aux pressions normalement utilisées dans les procédés de rectification qui utilisent des meules en oxyde d’alumine (AlOx).

La Fig. 4 représente graphiquement la distribution des résultats expérimentaux (quartiles 1 à 4 et la moyenne) sous la forme de diagramme de Tukey (Box-plot) pour chacune des distancesLoù la cohérence du

jet a été mesurée et la Table 1 donne les résultats moyens et les écarts-types obtenus. Ces résultats montrent bien qu’il y a une ouverture du jet de fluide de refroidissement qui se produit en fonction de la distanceLet que celle-ci est non négligeable. Ces résultats sont en conformité avec la littérature [1,3,8,9]. Les sections suivantes présentent la modélisation et la simulation de ce comportement.

Fig. 4. Distribution du ratio d’ouverture (Min, Q1, Q2, Q3, Max) avec courbe moyenne en fonction de la pression de la buse à l’essai pour les différentes distances.

Distance, L (po) Pression (psi) 60 80 100

6 Moyenne 1.2490 1.3168 1.4073

Écart-Type 0.0386 0.0439 0.0444

4,5 Moyenne 1.2028 1.2401 1.2976

Écart-Type 0.0224 0.0336 0.0406

3 Moyenne 1.1391 1.1588 1.1676

Écart-Type 0.0269 0.0262 0.0250

Table 1. Résultats des tests de mesure de cohérence du jet d’une buse de type “Webster”.

3. MODÈLES MATHÉMATIQUES ET MÉTHODES NUMÉRIQUES

Les modèles mathématiques et méthodes numériques utilisés dans ce travail sont ceux disponibles avec le logiciel de CFD FLUENT (v 6.3.26). Étant donné que l’on désire simuler le jet de fluide de refroidisse- ment qui entre dans l’air, un modèle numérique pour écoulements multiphases est requis. Le modèle choisi est celui deMIXTURE[10], car il permet d’avoir un écoulement avec des phases inter pénétrantes (inter- penetrating) afin d’améliorer la représentation numérique de l’ouverture du jet produite par la buse qui est un mélange de fluide de refroidissement et d’air. De plus, la cavitation devrait être prise en compte afin d’améliorer la représentation du jet. Toutefois, FLUENT est limité de ce côté, car il permet seulement

l’utilisation des deux phases d’un même fluide et, dans notre cas, trois phases sont requises; eau liquide, eau vapeur et air. Donc, la cavitation ne peut être utilisée dans nos modèles mathématiques. L’omission de ce phénomène significatif pour l’ouverture du jet [7], est corrigée par notre modèle semi-empirique.

3.1. Équations de conservation

L’équation de conservation de la masse pour le mélange est la suivante :

∂

∂t(ρm) +∇·(ρm~vm) =m˙ , (3) oùρmreprésente la masse volumique du mélange,~v_mla vitesse moyennée par la masse (mass-averaged) et

˙

mle transfert de masse (e.g. la cavitation). La vitesse moyennée par la masse~vm est calculée de la façon suivante :

~vm=

n

∑

k=1

αkρk~vk

ρm

. (4)

La masse volumique du mélangeρmest calculée à partir de l’équation suivante : ρm=

n

∑

k=1

αkρk, (5)

oùαkreprésente la fraction de volume de la phasek,ρkla masse volumique de la phaseketnest le nombre de phase.

L’équation de conservation de la quantité de mouvement pour le mélange est la suivante :

∂

∂t(ρm~vm) +∇·(ρm~vm~vm) =−∇p+∇·

µm ∇~vm+∇~v^T_m

+ρm~g+~F+∇·

n

∑

k=1

αkρk~v_dr,k~v_dr,k

! , (6) où preprésente la pression statique,µm la viscosité du mélange,ρm~gla force gravitationnelle par unité de volume,~F les forces extérieures (e.g. celles dues à l’interaction avec la phase dispersée) et~v_dr,k la vitesse de dérive (drift velocity) de la phasek. La viscosité du mélangeµmest calculée de la façon suivante :

µm=

n

∑

k=1

αkµk. (7)

Étant donné qu’il est possible que les phases secondaires ne se déplacent pas à la même vitesse que la phase principale, le concept de vitesse de glissement (slip velocity) ou vitesse relative doit être établi. Ainsi, par exemple, la vitesse de glissement~vpq de la phase secondaire p par rapport à la vitesse de la phase primaireqest donnée par l’équation suivante :

~v_pq=~v_p−~v_q. (8)

Pour faire le lien entre la vitesse de dérive~v_dr,p et la vitesse de glissement~v_pq, l’équation suivante est utilisée :

~v_dr,p=~vpq−

n

∑

k=1

αkρk

ρm

~vqk. (9)

Pour résoudre la vitesse de glissement, une formule algébrique doit être utilisée. La formulation utilisée est celle de Manninen et al. [10] qui est définie de la façon suivante :

~vpq=(ρp−ρm)d²_p 18µqfdrag

~a, (10)

oùρpreprésente la masse volumique de la phase secondaire p,dple diamètre des gouttelettes et/ou bulles de la phase secondaire p,~al’accélération de celles-ci, µp la viscosité de la phase primaireq et f_drag une fonction de trainée. Cette fonction de trainée f_dragest résolue par la méthode diteSymmetric. Cette méthode est recommandée pour les cas où la phase secondaire d’une partie du problème devient la phase principale et vice-versa. Elle est un dérivé de la méthode de Schiller et Naumann [11].

Pour déterminer la fraction du volume occupé par les phases secondaires, l’équation de continuité suivante est utilisée :

∂

∂t(αpρp) +∇·(αpρp~vm) =−∇· αpρp~v_dr,p

. (11)

Finalement, l’équation de conservation de l’énergie est omise car le problème est à température constante.

3.2. Modèle de turbulence

Pour modéliser la turbulence présente dans l’écoulement, les équations de Navier-Stokes moyennées sont utilisées (Reynolds-Averaged Navier-Stokes- RANS) en combinaison avec un modèle de turbulence afin de compléter ces équations. Le modèle sélectionné pour ce travail est le k−ε tel que proposé par Launder et Spalding [12]. L’énergie cinétique de turbulence k et le taux de dissipation de la turbulence ε sont respectivement définis par les Éqs. (12) et (13) :

∂

∂t(ρk) + ∂

∂x_i(ρkui) = ∂

∂x_j

µ+µt

σk

∂k

∂x_j

+G_k+G_b−ρ ε+YM+S_k (12) et

∂

∂t(ρ ε) + ∂

∂x_i(ρ εui) = ∂

∂x_j

µ+ µt

σ_ε ∂ ε

∂x_j

+C1ε

ε

k(Gk+C3εG_b)−C_2ερε²

k +S_ε, (13) oùρreprésente la masse volumique,kl’énergie cinétique de turbulence,u_ietu_jla composante de la vitesse en directioniet jrespectivement,µ la viscosité dynamique, µt la viscosité turbulente,σketσ_ε le nombre de Prandtl pourket pourε respectivement,Gkla production d’énergie cinétique de turbulence causée par le gradient moyen de vitesse,G_bla production d’énergie cinétique de turbulence causée par la flottaison (buoy- ancy),ε le taux de dissipation d’énergie par unité de masse,YM la contribution de la dilatation fluctuante dans le cas de turbulence compressible, Sk etS_ε des termes sources définis par l’utilisateur si nécessaire, C_1ε,C_2ε etC_3ε sont des constantes. Dans le cadre de cette recherche, le nombre de Prandtl utilisé pour le calcul de l’énergie cinétique est fixé à 0.85 et les constantes du modèle de turbulencek−ε utilisées ont les valeurs suivantes :C_1ε = 1.44 ;C_2ε = 1.92 ;C_µ= 0.09 ;σk= 1.0 etσε = 1.3.

Pour déterminer l’énergie cinétique de turbulencek, l’équation de Yuan et Schnerr [7] est utilisée :

k=6×10⁻⁴V_i², (14)

oùVireprésente la vitesse à l’entrée de la buse. Pour déterminer la vitesse à l’entrée de la buseVi, l’équation suivante, qui provient de l’équation de Bernoulli, est utilisée :

Vi=Ao

s 2Pi

ρ 1

A²_i +A²_o, (15)

oùP_ireprésente la pression à l’entrée de la buse,A_ietA_ol’aire à l’entrée et à la sortie de la buse respective- ment. Cette équation est similaire à celle utilisé par Cui [8], cependant nous ne négligeons pas la vitesse à l’entrée de la buse. Pour déterminer le taux de dissipation turbulent à l’énergie cinétique de turbulenceε, l’équation proposée par Ferziger et Peric [14] est utilisée :

ε≈k^3/2 Di

. (16)

3.3. Discrétisation des équations

Les équations principales à résoudre sont celles de continuité (Éq. 3), de quantité de mouvement (Éq. 6), de turbulence (Éqs. 12 et 13) ainsi que celles de la fraction de volume occupé par la phase secondaire (Éq. 11). Afin de pouvoir les résoudre numériquement, la méthodeSecond Order Upwind[14] a été util- isée pour la discrétisation requise à la résolution des équations de quantité de mouvement et de turbulence alors que la méthode de QUICK, similaire à la méthode du deuxième ordre [15], a été utilisée pour la dis- crétisation de la fraction de volume. Le problème est simulé en utilisant lesegregated solver. Le schéma d’interpolation de la pression utilisée est celui de PRESTO! (pressure staggering option) et l’algorithme de couplage pression-vitesse utilisé est celui de SIMPLE (semi-implicit method for pressure linked equations).

Ce schéma d’interpolation et cet algorithme de couplage sont très courants dans le domaine CFD et ils sont très bien décrits aux références [16] et [14] respectivement.

3.4. Discrétisation du domaine

La discrétisation du domaine est réalisée à l’aide du logiciel GAMBIT. Le problème est considéré comme étant axisymétrique. La section considérée débute à l’endroit où le manomètre est fixé sur la section droite (Fig. 2) et se termine à une distance de 6 po (152.4 mm) à partir de la fin de la buse (Fig. 5). Ainsi, la longueur considérée pour la buse est de 2.15 po (54.61 mm) alors que la hauteur de l’extrémité de la buse est fixée à 1 po (25.4 mm), ce qui correspond au rayon extérieur de la buse testée lors des essais expérimentaux.

La section à mailler est divisée en sept zones, identifiées de A à G, afin de faciliter l’explication du maillage utilisé. La distribution des éléments du maillage dans chacune de ces zones est définie dans la Table 2. Le maillage obtenu est représenté à la Fig. 5.

Le maillage ainsi formé est composé d’un total de 49 800 éléments. Il est important de souligner qu’avant d’arriver à ce maillage, une étude de convergence du maillage a été réalisée pour l’écoulement à l’intérieur de la buse afin de s’assurer que les résultats numériques ne dépendent pas de celui-ci. Le critère de convergence utilisé était un résidu maximal de 10e⁻³et le résidu maximal obtenu était de 1.9e⁻¹⁴.

Nombre de divisions

Direction Y Zone A, B, C, D & E 60

Zone F 100

Zone G 20

Total 180

Direction X Zone A 30

Zone B 20

Zone C 20

Zone D 40

Zone E, F & G 240

Total 350

Ratio de distribution des divisions

Direction Y Zone A, B, C, D & E 1

Zone F : de bas en haut 1.015

Zone G 1

Direction X Zone A 1

Zone B 1

Zone C : de gauche à droite 0.84

Zone D : Double – de gauche à droite 1.125 1.125 Zone E, F & G : Double – de gauche à droite 1.029 1 Table 2. Nombre et ratio de distribution des divisions de chacune des zones.

Pour compléter la discrétisation du domaine, on doit définir les différentes conditions aux frontières.

L’entrée en pressionPi|eauest à pression constante et elle est composée seulement d’eau. L’entrée en pression P_i|_air est elle aussi à pression constante et elle est composée seulement d’air. Pour simuler les conditions d’air ambiant, une paroi avec des contraintes de cisaillement nulles est utilisée. Une condition de sortie de pressionPoest fixée à pression constante et composée d’un mélange eau-air. Finalement, la paroi de la buse est considérée comme imperméable et la condition de non-glissement pour la vitesse est appliquée. De plus, les conditions de paroi standard de Launder et Spalding sont utilisées pour la turbulence [13].

Fig. 5. Domaine maillé et conditions aux frontières du modèle 2D axisymétrique de la buse. Seulement¹/₄de tous les éléments sont illustrés.

3.5. Résolution du problème

Les calculs sont effectués en double précision et en régime stationnaire (Steady state). Le mode station- naire est utilisé, car les mesures expérimentales ont été prises seulement une fois l’écoulement établi. Les facteurs de relaxation (Under-relaxation factors) sont tous fixés à 0.2. Le résidu minimal à atteindre est de 1E-3 pour toutes les équations résolues lorsqu’un plateau stable est atteint pour chacun des résidus mis à l’échelle (voir Section 3.6 pour les valeurs).

Pour cette simulation on utilise les propriétés de l’eau pure pour le fluide de refroidissement étant donné que le ratio eau/huile de celui-ci est de 70 pour 1. Les propriétés de l’eau et de l’air utilisées sont à 20 ºC (68 ºF) et à pression atmosphérique de 101.325 kPa (14.7 psi). La température de 20 ºC (68 ºF) est la même que celle du fluide de refroidissement utilisé lors des essais expérimentaux. Ainsi, les propriétés de l’eau sont : masse volumique de 998.2 kg/m³ (1.936 slug/ft³)et viscosité dynamique de 0.001002 Ns/m² (2.423×10e⁻⁵ lb-s/ft²). Les propriétés de l’air sont donc : masse volumique de 1.204 kg/m³ (2.338×10e⁻³slugs/ft³)et viscosité dynamique de 1.82e⁻⁵Ns/m²(3.806×10e⁻⁷lb-s/ft²).

Les paramètres liés aux différentes conditions frontières (i.e. Pi|eau,Pi|air,Po)doivent être établis. Trois simulations numériques sont réalisées, soit une pour chacune des trois pressions testées, i.e. P_i|_eau= 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kPa). Pour déterminer les paramètres de turbulence de cette condition, on doit d’abord convertir la pression à l’entréePi|eauen vitesse moyenneVi à l’aide de l’Éq. (15). Avec cette vitesse moyenneV_i, les Éqs. (14) et (16) permettent de déterminer l’énergie cinétique de turbulenceket le taux de dissipation turbulentε. Les conditions de turbulence de l’entrée d’airPi|airet de la sortie du mélange eau-airPosont arbitrairement fixées à 0.001. De plus, les pressions de ces deux conditions sont nulles, car les calculs sont effectués en pression relative. La Table 3 résume les conditions aux frontières pour les trois cas.

Cas 60 psi 80 psi 100 psi Entrée

(i) Sortie

(0) Entrée

(i) Sortie

(0) Entrée

(i) Sortie

Eau Air Mél. Eau Air Mél. Eau Air Mél. (0)

P (Pa) 413686 0 0 551581 0 0 689476 0 0

V (m/s) 4.009 - - 4.629 - - 5.176 - -

k (m²/s²) 9.644e^-3 0.001 0.001 1.286e^-2 0.001 0.001 1.607e^-2 0.001 0.001 (m²/s³) 3.729e^-2 0.001 0.001 5.741e^-2 0.001 0.001 8.023e^-2 0.001 0.001

Table 3. Conditions aux frontières pour chacun des cas.

3.6. Résultats

Tel que mentionné précédemment, le problème est résolu pour les trois mêmes pressions que lors des es- sais expérimentaux, soit 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kPa). Pour chacune de ces trois simulations, environ 70 000 itérations sont requises pour stabiliser sous forme de plateau les résidus mis à l’échelle. Le résidu maximal est obtenu par l’équation de continuité et c’est stabilisé à 4.06E-4.

La méthode originalement anticipée pour prédire l’ouverture du jet à partir des résultats numériques aurait été de déterminer, pour une distanceLdonnée de la buse, le ratio du mélange eau-air obtenu numériquement qui correspond à l’ouverture moyenne du jet observé lors des essais expérimentaux (i.e. Dr). Cependant, car le mélange entre les deux phases est strictement limité aux deux rangées de cellules qui se situent de chaque côté du rayon de sortie de la buse. Afin de vérifier que ce problème n’est pas causé par le modèle multiphasique deMIXTURE, le même cas a été solutionné à l’aide du modèle multi phase VOF, mais le même résultat a été obtenu. Ceci est probablement dû au fait que l’entrée du système, c’est-à-dire la direction du profil de vitesse (qui provient de la condition à la frontière de pression constantePi|eau), est purement horizontale. Ce problème pourrait possiblement être évité avec l’utilisation d’un modèle de cavitation ce qui introduirait des composantes verticales dans les profils de vitesse qui composent l’écoulement du jet de fluide.

En étudiant les résultats numériques, nous avons remarqué que l’évolution du champ de vitesses (Fig. 6), qui compose le jet, affiche un comportement assez similaire à l’ouverture du jet observée expérimentalement (Fig. 3). Les profils de vitesses correspondant aux distances de 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) dans le jet sont illustrés à la Fig. 7. Il est observé que le profil de vitesse s’ouvre de plus en plus en fonction de l’éloignement de la buse. En se basant sur ce comportement, une nouvelle méthode qui exploite l’ouverture du profil de vitesse pour prédire l’ouverture physique du jet de la buse est développée. Cette méthode consiste à élaborer un modèle semi-empirique qui permet de convertir les résultats numériques en résultats physiques très similaires aux mesures expérimentales.

4. MODÈLE SEMI-EMPIRIQUE

Le modèle semi-empirique doit permettre de relier efficacement les résultats des simulations numériques aux résultats expérimentaux afin de pouvoir prédire l’ouverture physique d’un jet de fluide de refroidisse- ment. L’hypothèse de base derrière le développement du modèle semi-empirique est que l’ouverture du profil de vitesse en fonction de la distance à partir de la buseLva dépendre de la géométrie intérieure de la buse. Ainsi, si la géométrie intérieure de la buse change, l’ouverture du profil de vitesse à une distance Lobtenue par simulations numériques va aussi changer en conséquence. Toutefois, il est important que le passage du diamètre d’entréeDiau diamètre de sortieDosoit fait de façon progressive.

Fig. 6. Iso-Contours du champ de vitesse de l’écoulement et du jet de fluide de refroidissement pour une pression d’entrée de 80 psi (551.6 kPa) avec le modèle de MIXTURE.

Fig. 7. Profils de vitesse pour les trois distances étudiées (3, 4.5 et 6 po) pour une pression d’entrée de 80 psi (551.6 kPa) avec le modèle de MIXTURE.

4.1. Élaboration du modèle

Pour développer le modèle, l’analyse dimensionnelle est utilisée. Le problème ainsi que les différents paramètres considérés pour l’analyser sont schématisés à la Fig. 8, oùPi_avg représente la pression moyenne

à l’entrée de la buse,Patm la pression atmosphérique,Di le diamètre à l’entrée de la buse, Do le diamètre de sortie de la buse,Lla distance à laquelle la cohérence du jet est demandée,Dle diamètre du jet mesuré expérimentalement à la distanceL,V_maxLla vitesse maximale du jet qui provient de la simulation numérique (moyenne de la partie droite du profil de vitesse) etVR_L la vitesse à laquelle correspond l’ouverture du jet, D. On désire alors trouver une fonction qui permet de déterminer la vitesseVR_L à laquelle correspond

Fig. 8. Schéma utilisé pour l’analyse dimensionnelle afin de corréler l’ouverture du profil de vitesse avec l’ouverture du jet observé expérimentalement.

l’ouverture du jetDobservée expérimentalement. Donc, à partir des différents paramètres précédents, cette fonction recherchée s’écrit de la façon suivante :

VR_L= f ct Di,Pi_avg,Patm,Do,L, V_maxL

. (17)

À partir de la fonction deVR_L, le théorème deΠde Buckingham est utilisé pour déterminer les différents coefficients adimensionnels qui permettent de lier les paramètres entre eux. On obtient alors l’Éq. (18) :

V_RL V_maxL = f ct

D_i D_o,Pi_avg

P_atm, L D_o

. (18)

Cependant, étant donné que les cas étudiés pour développer le modèle semi-empirique ne varient qu’en fonction de la pression et non du ratio de contraction (Cr), le termeD_i

D_oest ignoré. Ensuite, les simulations numériques étant réalisées en termes de rayon, les différents diamètres de l’Éq. (18) sont remplacés par des rayons. De plus, étant donné que l’on utilise la pression atmosphériquePatm la pression moyenne à l’entrée doit être convertie en pression absolue. Après ces modifications, on obtient l’équation suivante :

V_RL

V_maxL = f ct

Pi_avg+Patm

P_atm , L R_o

. (19)

Par la suite, on doit déterminer la forme de la fonction qui relie les différents coefficients adimensionnels entre eux. Dans le cadre de cette recherche, on a émis l’hypothèse, qu’avec les bons paramètresh, la somme des trois différents coefficients adimensionnels est égale à une constante, H. Cette hypothèse provient de l’analyse de la variation des résultats expérimentaux. Ainsi, la fonction recherchée prend alors la forme suivante avec l’ajout de ces coefficients,h, les exposants,l, et de la constanteHqui doivent être déterminés :

H=h₁ V_RL

V_maxL l₁

+h₂

Pi_avg+Patm

Patm

l₂

+h₃ L

Ro

l₃

. (20)

Étant donné l’hypothèse de départ que H doit être constant, la variation de celui-ci, entre chacun des ratios d’ouvertureDr(voir Fig. 4), doit donc être minimisée. Cette minimisation de la fluctuation deHse fait par le choix des coefficientshetl. Les différents ratios d’ouvertureD_rdéterminés expérimentalement servent de point de contrôle à l’élaboration du modèle semi-empirique. En tout, neuf points de contrôle sont disponibles à partir desquelsHest calculé. Ceux-ci proviennent de la somme des trois mesures d’ouverture de jet, L = 3, 4.5 et 6 po (76.2, 114.3 et 152.4 mm) réalisées pour chacune des trois pressions à l’étude, Pi_avg = 60, 80 et 100 psi (413.7, 551.6 et 689.5 kPa).

Pour déterminer les coefficientshetl, on doit d’abord extraire des résultats des trois simulations numéri- ques, les profils de pression à l’entrée de la buse, ainsi que les profils de vitesses obtenues à chacune des trois distances où l’ouverture du jet a été mesurée expérimentalement. À partir des profils de pression, les pressions moyennes à l’entréeP_iavg sont déterminées. Des profils de vitesse, les vitesses maximales du jet V_maxLsont déterminées. Ensuite, pour chacune des ouvertures moyennes de jet observées expérimentalement (Fig. 4), les vitessesVR_L auxquelles elles correspondent sont déterminées à partir de ces mêmes profils de vitesse. Par exemple, l’ouverture moyenne du jet à 80 psi (551.6 kPa) et à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse est de 1.3168 (Table 1). Cette ouverture correspond à un rayon R de 0.247 po ou 6.271 mm (R=1.3168×Ro). À partir du profil de vitesse obtenue à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse pour une pression de 80 psi (551.6 kPa), on détermine la vitesse qui se situe à un rayon de 0.247 po (6.271 mm), c’est-à-direVR_L. Cependant, étant donné que chaque point du profil de vitesse correspond à la vitesse calculée à un nœud du maillage, il est fort probable qu’aucune vitesse ne corresponde directement au rayon R. Dans ce cas, V_RL est déterminée à l’aide d’une interpolation linéaire entre les deux vitesses les plus proches.

Donc, à partir de toutes ces informations nécessaires au calcul de chacun des neuf points de contrôle (Ro, L, Patm, Pi_avg, V_maxL, VR_L), la sélection des coefficientshetlnécessaires pour minimiser la fluctua- tion deH est effectuée. Cette sélection est essentiellement réalisée par un processus itératif. D’abord, les exposants l sont fixés à 1 pour étudier seulement le comportement des coefficients multiplicateur, h. Le coefficienth₁ est sélectionné de façon à minimiser l’écart entre lesH calculés pour les différents points de contrôle. Le coefficienth₁étant fixé, le même processus est effectué avech₂et ensuite avech₃. Lorsque les trois coefficients multiplicateurs sont fixés,h₁est revérifié afin de s’assurer qu’il minimise toujours la varia- tion deHet ainsi de suite pourh₂eth₃. Par la suite, la sélection des exposantslest effectuée. L’exposantl₁ est choisi de façon à minimiser l’écart entre les constantesHcalculées pour les différents points de contrôle.

Ayant fixél₁, le même processus est effectué avecl₂et ensuitel₃. Lorsque les trois exposants sont fixés,l₁est revérifié afin de s’assurer qu’il minimise toujours la variation deHet ainsi de suite pourl₂et ensuitel₃. Ce processus a permis d’obtenir les coefficients multiplicateurs et exposants suivants :h₁= 1.031 ; h₂= 0.033 ; h₃= 0.00607 ; l₁= 0.89 ;l₂= 0.89 et l₃= 1.01. Avec les coefficients multiplicateurs et exposants choisis, la fluctuation deHest essentiellement limitée à ±1.65% pour une valeur moyenne deHde :H= 1.12.

Ainsi, à partir de ces résultats, l’Éq. (21) est obtenue : 1.12=1.031

VR_L

V_maxL 0.89

+0.033

P_iavg+P_atm Patm

0.89

+0.00607 L

Ro

1.01

. (21)

La valeur finale recherchée étant la vitesse correspondant à l’ouverture du jet, soitV_RL, celle-ci est isolée dans l’Éq. (21) pour obtenir le modèle semi-empirique préliminaire suivant :

V_RL=V_maxL ( 1

1.031

"

1.12−0.033

Pi_avg+Patm

P_atm

0.89

−0.00607 L

R_o

1.01#)_0.89¹

. (22)

4.2. Validation

Étant donné que H provient de la moyenne des neuf points de contrôle et que l’ouverture du jet R ne sera pas connue à l’avance lors de l’utilisation de ce modèle semi-empirique, les ouvertures prédites par ce modèle doivent donc être vérifiées en les comparants aux ouvertures expérimentales sur lesquelles il est basé. Ainsi, pour les trois cas à l’étude (60, 80 et 100 psi ou 413.7, 551.6 et 689.5 kPa), les profils de pression à l’entrée de la buse et les profils de vitesses obtenues à chacune des trois distancesL(3, 4.5 et 6 po ou 76.2, 114.3 et 152.4 mm) où l’ouverture du jet a été mesurée expérimentalement sont extraits. À partir des profils de pression, les pressions moyennes à l’entréeP_iavg sont déterminées. Des profils de vitesse, les vitesses maximales du jetV_maxL sont déterminées. Ensuite, les vitessesVR_L sont calculées à partir de ces informations et à l’aide du modèle semi-empirique préliminaire (Éq. 22) pour chacun des neuf points de contrôle. Pour chaque vitesseV_RL, les ouvertures de jet préditsR_pred auxquelles elles correspondent sont déterminées à partir de ces mêmes profils de vitesse. Par exemple, pour une pression moyenne d’entréePi_avg

de 80 psi (551.6 kPa) à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse où la vitesseV_maxL est de 98.56 ft/s (30.04 m/s), on peut calculer la vitesseV_RL, soit 69.29 ft/s (21.12 m/s). À partir du profil de vitesse à une distance de 6 po (152.4 mm) de la buse pour une pression de 80 psi (551.6 kPa), on détermine le rayonR_pred auquel correspond la vitesseVR_Lde 69.29 ft/s (21.12 m/s) calculée précédemment.

À partir des ces ouvertures de jetR_pred, les prédictions du modèle semi-empirique sont comparées aux résultats expérimentaux d’ouverture de jetR. Ensuite, chacun des coefficients multiplicateurshet des ex- posantslsont encore une fois vérifiés, l’un après l’autre, afin de s’assurer que les écarts entre les ouvertures prédites et les ouvertures expérimentales soient minimisés. Cette dernière étape de vérification du modèle a permis d’obtenir de légères modifications de la constanteH, des coefficients multiplicateurs et des expo- sants :H=1.1104 ;h₁= 1.03 ;h₂= 0.033 ;h₃= 0.0062 ;l₁=0.95 ;l₂= 0.88 et l₃= 1.01.

Ainsi, la version finale du modèle semi-empirique utilisé pour prédire l’ouverture du jet de fluide de refroidissement à partir des résultats de simulation numérique est exprimée par l’Éq. (23) :

VR_L=V_maxL (

1 1.03

"

1.1104−0.033

Pi_avg+Patm

P_atm

0.88

−0.0062 L

R_o

1.01#)_0.95¹

. (23)

À partir de ce modèle semi-empirique (Éq. 23), on peut vérifier l’écart entre les prédictions réalisées par celui-ci et les mesures expérimentales d’ouverture de jet (Fig. 9). Les résultats obtenus montrent que le modèle semi-empirique développé permet de prédire l’ouverture du jet à une précision de ±2% (Table 4).

Toutefois ce modèle n’est valide que pour un intervalle de pressionPi_avgde 60 à 100 psi (413.7 à 689.5 kPa), une distance à partir de la buseLde 3 à 6 po (76.2 à 152.4 mm) et un ratio de contractionC_rde 2.667.

5. CONCLUSION

Une nouvelle méthode qui permet de prédire l’ouverture physique d’un jet de fluide de refroidissement à l’aide d’un modèle semi-empirique a été présentée dans cet article. Cette méthode permet d’établir, à partir d’un minimum de résultats expérimentaux, un modèle semi-empirique qui utilise les résultats numériques de l’ouverture du profil de vitesse pour prédire l’ouverture physique du jet de fluide de refroidissement. En effet, le modèle ainsi développé permet de prédire à ±2% l’ouverture physique du jet de fluide de refroidisse- ment à partir des résultats numériques obtenus avec le logiciel commercial FLUENT. Ce modèle peut être appliqué avec succès à un autre type de buse (e.g. un changement d’angle) tant que le ratio de contraction reste le même et que le passage du diamètre d’entréeDiau diamètre de sortieDose fait de façon progressive, car ce changement de géométrie sera capturé par les résultats numériques. D’ailleurs, ce modèle a été utilisé chez P&WC avec succès afin d’optimiser la forme de la buse de type “Webster” et en développer une plus efficace.

Fig. 9. Prédictions de l’ouverture du jet à l’aide du modèle semi-empirique VS les résultats expérimentaux.

Cas P_{i moy} (Pa)

L V _{max L}

(m/s)

V _RL (m/s)

R _préd (m)

R _exp.

(m)

% Écart- R_préd vs

R_exp.

po m

60 psi

407030 6 0.1524 26.015 19.115 6.07e^-3 5.95e^-3 1.981%

4.5 0.1143 26.026 20.482 5.66e^-3 5.73e^-3 −1.187%

3 0.0762 26.044 21.856 5.34e^-3 5.42e^-3 −1.528%

80 psi

542708 6 0.1524 30.037 21.117 6.32e^-3 6.27e^-3 0.770%

4.5 0.1143 30.051 22.693 5.85e^-3 5.91e^-3 −0.904%

3 0.0762 30.070 24.274 5.48e^-3 5.52e^-3 −0.699%

100 psi

678386 6 0.1524 33.581 22.572 6.59e^-3 6.70e^-3 −1.670%

4.5 0.1143 33.596 24.329 6.06e^-3 6.18e^-3 −1.972%

3 0.0762 33.618 26.093 5.63e^-3 5.56e^-3 1.176%

Table 4. Comparaison entre les prédictions du modèle semi-empirique et les résultats expérimentaux.

REMERCIEMENTS

Les auteurs remercient le Conseil de recherche en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG), Pratt & Whitney Canada ainsi que l’École de technologie supérieure pour le financement octroyé qui a permis la réalisation de ce projet de recherche.

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