HAL Id: jpa-00235565
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Submitted on 1 Jan 1956
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Probabilités de transition dans un champ haute
fréquence d’amplitude variable
J.P. Barrat, J.M. Winter
To cite this version:
J.P. Barrat, J.M. Winter. Probabilités de transition dans un champ haute fréquence d’amplitude
variable. J. Phys. Radium, 1956, 17 (10), pp.833-841. �10.1051/jphysrad:019560017010083300�.
�jpa-00235565�
PROBABILITÉS
DE TRANSITION DANS UN CHAMP HAUTEFRÉQUENCE
D’AMPLITUDE VARIABLE Par J. P. BARRAT et J. M.WINTER,
Laboratoire de
Physique
de l’E. N. S.Sommaire.2014 La répartition dans
l’espace
duchamp
hautefréquence appliqué
aux atomes d’un jet explique les anomalies observées par Kusch dans la variation de la largeur des raies de résonance magnétique en fonction de la grandeur de ce champ. L’intégration exacte des équationsd’évolution est effectuée dans des cas particuliers. Des méthodes
d’approximation
au voisinagedu centre ou sur les ailes de la raie de résonance permettent de généraliser les résultats et de les
interpréter
physiquement.
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
TOME 17 No 10 OCTOBRE 1956
I. Introduction. - Pour induire les transitions
hyperfines
des atomes d’unjet atomique [1],
[2],
le
jet
passe dans unerégion
oùrègne
à la fois unchamp magnétique statique
H 0
et unchamp
haute
fréquence
tournantH1. L’amplitude Hl
que voit l’atome est variable. Pour calculer les
probabilités
de transition on supposegénéra-lement
[3], [4]
queHi
estd’amplitude
constantependant
untemps
Tl (pulse rectangulaire).
FIG. 1.
’
Des
expériences
récentes[5]
ont montréqu’il
existe u,n désaccord
complet
entre les résultatsde ces calculs et
l’expérience
quand
on utilisé defortes valeurs du
champ
deradio-fréquence.
Cedésaccord
porte
entre autres sur lalargeur
de raie. La. théorieprévoit
(pour
unpulse
rectangulaire)
une
largeur
Au) variantproportionnellement
à4
l’amplitude
yHl
duchamp
hautefréquence
(y
rap-port
gyromagnétique),
sauf pour les faibles valeurs ’ de cechamp ( fig.
1).
Le détail de cette variationdépend beaucoup
de larépartition spatiale
duchamp
hautefréquence.
Nous allons montrer
qu’une
répartition qui
diffère d’un
pulse
rectangulaire
conduit à des formes de raiesqui
ont unelargeur plus
faibleque
y H 1.
Nous aborderons leproblème
de troisfaçons. 1)
Parintégration
directedes
équations
d’évolution dans des cas
particuliers.
2)
Endéveloppant
la solution ensérie,
soit aucentre,
8)it sur les ailes.3)
En utilisant le modèle du référentieltournant
[6]
et en considérant,le cas où la variationde
YH1(t)
est lente(approximation adiabatique).
I I.
équation
d’évolution. - Nous étudieronsle cas d’une transition
dipolaire magnétique
entredeux niveaux a et b.
(La
transition obéissant àla
règle
de sélection àm= ::1:
1 pour le nombrequantique magnétique
m).
L’atome est soumis àun
champ
tournantH1 perpendiculaire
àHo
d’amplitude
Hl(x)
variable d’unpoint
à l’autre dujet,
un atome de vitesse v étant soumis à unchamp
d’amplitude
variableHl(vt).
L’Hamil-tonien deperturbation
s’écrit :m
fréquence
duchamp
tournant.Posons ’
834
Les
équations
d’évolution de la fonction d’onde ifsont . - Posons ’ . Le
système
devientSupposons yH,
réel(Ceci
revient à dire queH1
vibre
enphase
dans toute larégion
de hautefréquence).
Lesystème (1)
se résoud
exactementquand yH1
est constant. Ceci donne la solutiondans le cas d’un
pulse rectangulaire
de duréeTl.
On trouve
P étant la
prcbabilité
de transition entre a et b.’
Si l’on effectue une moyenne sur les vitesses
( Tl
dépendant
de la vitesse del’atome)
des atomesdu
jet
et si(A7B
étant l’écartquadratique
de larépartition
destemps
de passage parrapport
autemps
moyende
passage)
On
obtient
La raie a une forme de Lorentz. La
largeur
Aco varieproportionnellement
àyH,.
Ceci est encontradiction avec
l’expérience
(5)
lorsque
yH 1
est trèsgrand.
III. Solutions dans des
’cas
particuliers.
--1)
RÉPARTITION EN ÉCHELONS : Larépartition
réelle de
yHl(t)
étant une courbecontinue,
onpeut
penser se
rapprocher
de la réalité en utilisant unerépartition yH,(t)
en échelons(fig. 2).
’
Fm. 2.
Les résultats du calcul sont les suivants :
si
on obtient une forme de raie au
voisinage
immé-diat de la résonance
(a
petit)
nedépendant
que deYH.2. ,
Ce sont les
régions
de faible intensité deradio-fréquence
(aile
de larépartition)
qui
déterminentla forme de la raie au
voisinage
du centre. Nous verrons d’autresexemples analogues
d’affinement.2)
RÉPARTITIONS EXPONENTIELLES: Nous feronsle calcul dans le cas de la
répartition
suivante :FIG. 3.
Le
système (1)
se ramène àCette
équation
a
pour solutionDe même
pour
solution-A_, B_,
A+, B+
étant des constantes.J,
étant la fonction de Bessel d’ordre v.Prenons comme conditions initiales :
pour .
1 Ceci -détermine A_ et
B-Nous allons calculer
Quand
t tend vers l’infiniLe
deuxième
terme tend verszéro,
doncII
ne
nous sera donc nécessaire que de connaitrela valeur de
B+. B+
se calcule enajustant
lesKb
etKb
pour t
= 0. On trouve.La valeur de
Kb
ainsiJobtenue
l’a été sans aucuneapproximation.
Si nous supposons
ce
qui
revient à dire que la valeur maximum deyHl(t)
estgrande
devant l’inverse de lalargeur
de larépartition
et
(on
ne s’intéressequ’à
la zone centrale de laraie),
on
peut
remplacer
les fonctions de Bessel par leursdéveloppements asymptotiques
pourIr
grand.
On trouve alors
r
dépend
de la vitesse des atomes et si l’on faitune moyenne sur les vitesses
donc
or
étant la valeur moyennedue
r).
Nous constatons que P > est
complètement
indépendant
deyH1
et que lalargeur
de raie Amest de l’ordre de i’. La
largeur
de raie poury H1
grand
demeure constante.z
Comme y Hl
estgrand
devant1,
le
calculprécé-dent demeure valable pour ce de l’ordre de
T’,
carsi ce - r on a a «
yHi.
La formuleprécédente
donne la forme de raie pour des a
qui
s’étendentau delà de la
demi-largeur.
Ceci est en accord avecles résultats de Kusch
[5]. __ .
’Le
calcul peut
s’étendre
au cas d’une distributioncomprenant
unpalier
de duréeTl
entre les deuxexponentielles.
On trouve alors : ,ce
qui
conduit à la même valeur de P >.Ici encore la forme de raie ne
dépend
que der,
c’est-à-dire de la manière dont
yH,
varie au coursdu
temps.
,FIG. 4.
z
3)
DISTRIBUTION EN1. 1
-Nous prenons ici la
836
a donne une idée de la
largeur
de larépartition,
k de sonamplitude (fig.
4).
Pour résoudre le
système (1)
posons,On vérifie,
que u .et v satisfont auxéquations
Dans le cas de la
répartition
actuelle et pourt 0
l’équation
(3)
s’écritElle a pour solution
Htl)
etHv2’
fonctions de Hankel d’ordre v.Ce n’est pas valable si oc = 0.
Si l’on
prend
comme conditions pour t = - ool’on
obtientPour t > 0.
Le raccord des solutions
pour t
= 0 détermine,4(1)
etÀ (2)
Pour calculer
u(t
>0)
il suffit dechanger k
en - k. Nous nous intéressons à la valeur de P pourt -*
+
00. On trouve enremplaçant
les fonctions de Hankel par leurdéveloppement asymptotique
pour ,
Supposons
k»
1
k
» 1
1 ceci revient à dire quea a
la valeur maximum de
yHl
estplus grande
quel’inverse de la
largeur
de larépartition. Supposons
aussi oc a
« k,
c’est-à-dire oc inférieur à la valeur maximum deyH 1.
Onpeut
alors utiliser pour lecalcul de
Kb
lesdéveloppements
des fonctions de Hankel pour oc a « k. ,On trouve alors
Nous voyons que P > croît avec oc mais dans
la zone où a ce «
k,
P > demeure très faible(fig.
5,
zoneII).
Il faut étudier à
part
le cas oc = 0. Defaçon
ment. On trouve ,
Dans le cas
présent -répartition
en 1)
nous nepouvons
supposer
que laperturbation
commence à - oo carl’intégrale divergerait.
Noussuppo-serons
quel’intégrale
s’étend de - T à+
T etque
T » a,
cecisignifie
que nous coupons larépartition
à une distance trèsgrande
devant salargeur. On trouve
Si l’on moyenne sur les vitesses les écarts de
k L
a
parrapport
à sa valeurmoyenne
seront
grands
devant1,
zcar k
» 1
et L(a + T)
est aussi trèsgrand
a
devant 1. On trouve alors
Pour a très
petit d’après
(6)
P > est trèspetit
(T étant supposé
infini) ;
pour- IX = 0 P >=1/2
(ceci
est aussivalable
pour Tinfini).
Dans’ce casla raie
comporte
unepointe
infiniment fine pouroc = 0.
Si T est fini la formule
(6)
n’est valable que sioc T » k
compte
tenu de la condition(4).
Sinonnous ne
pourrions
pour t = - T et t = Trem-placer
les fonctions de Hankel par leurdévelop-pement
asymptoptique.
,.En résumé la formule
(6)
n’est valablequ’entre
les limites suivantes .
(Ceci
limite la zone II de la validité de lafor-mule
(6)).
Nous donnerons dans le
paragraphe
IV uneméthode
qui permettra
de calculer P > auvoisinage
du centre.Nous pouvons
également
calculer laprobabilité
de transition dans larégion
III pour a « »k »
1.Dans ce cas nous
remplacerons
dans(5)
lesfonctions de Hankel par les
développements
asymptotiques
(ce a
grand
devantl’indice).
Il estnécessaire de pousser le
développement
jusqu’au.
terme en
(oc
a)21
tous
les termes inférieursétant nuls. On trouve
d’où
Notons que si dans les formules
(7)
et(6)
nousfaisons k = a a, nous trouvons dans les deux cas
P
1
Ceci donne une vale r m ’p =
4k2 Ceci donne une valeur maximum que P
ne
dépasse
probablement
pas. Comme k » 1 cettevaleur est très faible.
L’intégration
de cas conduit donc à une raietrès fine. Les ailes
présentent
une remontée maisdemeurent très faibles.
IV. - Solution
générale
près
du centre. - Enposant
le
système (1)
devient :Sous cette forme il est clair que les
équations
s’intègrent
quand
x =0.
,
En
adoptant
commeconditions
initialesOn en déduit
et si
AS >
1 la moyenne surles
vitesses conduit àla
probabilité
moyenne’ ’
,
L’intensité au centre ne
dépend
donc pas de larépartition
duchamp
hautefréquence.
(Ceci
est enaccord avec les résultats de
Kusch.)
, Dans le cas
général
onpeut
trouver une solutionsous la forme d’une série entière en a. Posons
En résolvant le
système (8)
parapproximations
successives on trouve838
v(t)
s’obtient enchangeant S
en - S.Cette série est
toujours
convergente
carterme
général
d’une sérieconvergeant
quel
que soit a.Choisissons
l’origine
destemps
de tellefaçon
que si T’ est letemps
où cesse laperturbation :
Nous calculerons u, v,
Ku
et Pjusqu’au
deu-xième ordre en ce et pour t = T’
,
Posons .
-.
Posons
On en déduit
On calcule de même le terme du second ordre en
séparant
lesintégrales
enintégrales
pour t
positif
et pour t
négatif.
avec
d’où
Dans le cas
important
des distributionssymé-triques.
Appliquons
cette formule à larépartition (déjà
étudiée)
formée d’unpalier
entre deuxexponen-tielles. Avec les notations
déjà
utilisées : Sion trouve
(q
constanteindépendante de-yH,).
Notons tout de suite que
d’après
le calcul exact1 la
largeur
Ow ^_’1
S1
, On trouve d’où . résultaten accord avec les calculs
précédents.
Si ,
ce
qui
revient à dire queyHl ,est plus grand
quel’inverse de la durée du
palier,
mais quey 1
estinférieur à l’inverse de la
largeur
desexponentielles
(en
dehors dupalier
larépartition
décroît trèsvite),
on trouve .
. C’est le
développement
de la solution pour unpulse
rectangulaire.
-1
Si dans ce cas
particulier
onporte S,
enfonc-tion de
yHl
ses variationsprésentent
les mêmesde
YH1
dans lesexpériences
de Kusch.Le calcul
peut
s’appliquer à
d’autresexemples.
-a)
Unpalier
complété
par deux courbesdécrois-1 1
sant en
ou
plus
généralement
en ,,n,>3
1Dans
ce- cas1 S
est constant pourY H1
trèsgrand
etP >
estindépendant
deyH18
b)
Appliquons
cette méthode auxrépartitions
1
en 1/t
calculées auchapitre
précédent.
01 trouveLe
développement
poussé
au deuxième ordre ne nouspermet
pas d’avoir lalargeur
de raie. Danstous les cas
envisagés
jusqu’ici
11
«rH1
moyen.Il en résulte
que la
raiedécroît-plus
viteprès
ducentre que dans le cas d’une raie
qui
aurait pourlargeur
yH 1" (pulse rectangulaire).
,Calculons
enfin
pour desrépartitions qui
nes’ étendent
pas à l’infini.a)
letriangule
Cette série converge
toujours
carComme
t
Y H l(t’) e-2ia.t’ dt’
tend vers zéro-T
quand
ce tend versl’infini,
plus
oc estgrand,
plus
la série est
rapidement
convergente.
Si on
calcule
Kb
en se limitant aupremier
terme,
on trouve
dans’le
cas desexemples déjà
traitésque la raie décroît
plus
vite sur les ailesqu’une
raieayant
laforme
de Lorentz. Parexemple
dans le casde la
répartition exponentielle
VI.
Interprétation
physique
de l’affinement des raies. - Lesystème
peut
êtredécrit
par le modèleclassique
d’un momentcinétique
portant
un- b)
larépartition.
On trouve dans les deux cas
Dans tous les cas
examinés,
chaque
fois que larépartition
s’étendjusqu’à
l’infini on trouve unelargeur
très inférieure àyH1
maximum etqui
tendvers une
largeur
limite(saturation)
comme l’aobservé Kusch. Le résultat pour un
pulse
ou pourune
répartition
ne s’étendant pas à l’infini donne deslargeurs
de raiequi
n’admettent pas de saturation.Elles demeurent
plus
fines queyH1
sauf pour lepulse rectangulaire.
Il estprobable
que lesrésul-tats
expérimentaux
de Kuschs’expliquent
parles’
considérationsprécédentes.
Ilsemble
que laquan-tité 1
puisse
êtreinterprétée
comme unelargeur
S1
puisse être inter.
P gde raie.
V.
Solutions
générales
sur
les ailes. - Le sys-tème(1)
peut
aussi se résoudre siyH,
= 0.et à
partir
de cette solution onpeut
résoudre(1)
par
approximations
successives On trouve :moment
magnétique
M soumis auxchamps Ho
etH1(t).
Dans unsystème
d’axesR,
tournant autourde l’axe Oz
portant
Ho
à la même vitesseangu-laire M
queHl,
le mouvement est le même que siM était soumis à un
champ
effectifHff
de
compo-santesH 0 - 2y
sur Ozet
H1 (t)
sur un axe Oxper-pendiculaire
à Oz(6)
(avec
nosnotations,
ladéfi-nition de y
4iffère
d’un facteur 2 de celleadoptée
dans la référence(6)).
Sig(t)
estl’angle
de M etde
Oz,
K.
etKb
sontrespectivement
égaux
àcos )
etsin, ] ;
la condition initialeKa
= 1 ,
Kb
= 0correspond
à p
0,
et laprobabilité
de transition de a à b est sin2
2 I.I-.flest
porté
par Oz hors de larégion
oùagit
lechamp
de840
-->
plan
xOz. S’il tourne assezlentement,
le vecteurM,
qui
lui estparallèle
avant laperturbation,
,lui
restera
pratiquement parallèle,
p(oo)
= 0et
laprobabilité
de transition serapratiquement
nulle.FIG. 6.
Une formulation
plus
précise
de la conditionimposée
à la variation deH1(t)
s’obtient enconsi-dérant un référentiel
R2,
tournant autour del’axe
Oy
perpendiculaire
auplan
xOz en même--> -->
temps
queHeu.
Soit 0l’angle
deHeff
avec Oz.Le
champ
effectifauquel
est soumis M dansR2
-->
est
la
résultante deHefl
et d’unecomposante
degrandeur
2
dO
portée
parOy.
Il se réduit à-+
2 y Tt
Heff
et a par suite. une direction fixe dansR 2
si1 dO
-->l
(9).
Dans cesconditions
-->
1
dt
« JHff
Dans
ces cond
itions,
M,
-->
parallèle,à
Hett
avantla. perturbation,
restera fixe parrapport
àR2
et suivraadiabatiquement
lemouvement de
H,,ft.
L’angle
0 estdéfinit
par :La
condition
(9)
s’écrit alors : .Une
conditionplus
restrictiveet plus
commodesera:
où
Dès que a satisfera à cette
condition,
laproba-bilité de transition sera très faible. La valeur
maximum
de doit donc êtrede l’ordre du
carré de la
largeur
de la raie. Les lar-geurs ainsi trouvées sont en accord avec celles quel’on déduit soit des méthodes
d’approximation
précédentes,
soit del’intégration
exacte dusys-tème
(1).
Ainsi pour le cas d’unerépartition
expo-r
nentielle,
lacondition (11)
s’écritoc » 7 pour
La
largeur
de raie croit donc avecyjHB quand
yH,
estfaible,
pour atteindre une limitelorsque
yH,
devient trèsgrand.
Demême,
larépartition
triangulaire déjà
étudiéeconduit
résultat
déjà
obtenu.
Étude
quantique :
Guidéspar
le modèleclassique
précédent,
nousprendrons
comme axe dequanti--->
fication la direction de
Hefl,
cequi
correspond
auchangement
de variablesLe
système
(1)
conduit à :Si la condition
d’âdiabaticité
(9)
estremplie
lesystème
seréduit
àL’intégration
de cesystème
est immédiate. Portée dans(12),
elleconduit,
avec les conditionsinitiales
6==0,
Ka = 1,
,Kb =’ 0,’
àp
= IKb (+ 00)12 = o..
Pour évaluer
l’ordre
degrandeur
de l’erreur commise ennégligeant
le terme endO
onpeut
résoudre lesystème
(13)
parapproximations
avec
En
remplaçant
8 parsa valeur,
on obtient :Séparons
l’intervalle(- T,
+
T’)
en ninter-valles dans
lesquels
la fonctionest monotone.
L’application
de la seconde formule de la moyenne(7)
dans chacun de cesintervalles
permet
demajorer
III,
cequi
conduit à:La correction du 1er
ordre
àl’approximation
d’ordre 0 est donc effectivement très faible si la condition
(10)
est satisfaite et si la variation deyHl
est assezrégulière
pour que n ne soit pastrop
grand.
VII. Conclusion. - En
résumé,
cette étudemontre le rôle très
important
quejoue
larépar-tition du
chainp
hautefréquence
sur la forme deraie.
Dans de nombreux cas la raie
présente près
ducentre une sorte de
saturation ;
salargeur
danscette
région
nedépend
pas deyH,.’Les
ailesde
la raie
dépendent
deyHl
mais restent très faibles.Les études
théoriques
faites avecl’hypothèse
derépartition
H1(t)
enpulses rectangulaires
ou avecdes
répartitions
qui
introduisent debrusques
discontinuités dans
yHl,
donnent deslargeurs
incorrectes pour les
grandes
valeurs, deyH1.
Manuscrit reçu le 3 avril 1956.
BIBLIOGRAPHIE
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MILLMAN, RABI (I.), Phys. Rev., 1940, 57, 765.[2] BROSSEL (J.), CAGNAC (B.), KASTLER (A.), J. Physique
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