III. Mouvement de la sonde Pioneer

MÉCANIQUE

CALCULATRICES AUTORISÉES

I. Collisions de deux pendules

I.1. Pendule seul

On considère un point matériel M de masse m accroché à un point fixe O par l’intermédiaire d’un fil inextensible de longueur ` et de masse nulle.

L’ensemble est situé dans le champ de pesanteur terrestre~g=g~u_z (avecg= 9,81 m.s⁻²). Le mouvement a lieu dans le planOxz. On utilise les coordonnées polaires et la base polaire avecθ=(~u\z;~ur) et −−→

OM =`~ur. Le plan est orienté de telle sorte que le sens positif est anti-horaire.

1. Etablir l’équation du différentielle du mouvement vérifiée parθ.

2. Donner la forme simplifiée de cette équation, notée (E), pour des angles θ petits.

En déduire l’expression de la pulsation propreω₀et de la période propre T0 du mouvement.

3. Résoudre (E) en considérant queθ(0) =θ0 et ˙θ(0) = 0.

4. En considérant les mêmes conditions initiales, calculer la vitesse du point matériel M quand il passe par sa position d’équilibre.

I.2. Système de deux pendules

On considère deux pendules P₁ et P₂ constitués respective- ment de deux points matérielsM1 etM2 de massem1etm2, accrochés au même point fixe O à l’aide de deux fils iden- tiques, inextensibles, de masse nulle et de longueur`(figure ci-contre). On repère la position de P1 par l’angle orienté θ₁ = (O_z,−−→

OM₁), et celle de deP₂ par θ₂ = (O_z,−−→

OM₂). Donc dans le cas représenté sur la figure on aθ1 >0 etθ2 <0. Les mouvements des deux pendules ont lieu dans le plan (O_xz).

On se placera dans le cadre de l’approximation des anglesθ₁ etθ2 petits.

On suppose qu’à l’instantt = 0 on lâche les deux pendules sans vitesse initiale, avecθ₁(0) =θ₁₀ etθ₂(0) =θ₂₀=−θ₁₀.

5. A quel instant t1 a lieu le premier choc entre les deux points matérielsM1 etM2 et en quel point ? 6. On note −→v1 =v1~ux et−→v2 =v2~ux les vitesses de M1 etM2 juste avant le choc. De même, on note

−

→v₁⁰ =v⁰₁~u_x et−→v₂⁰ =v₂⁰~u_x les vitesses deM₁ etM₂ juste après le choc.

a) Donner l’expression de v₁ etv₂ en fonction des conditions initiales.

b) On admet que lors d’un choc, la quantité de mouvement totale du système de deux points matériels est conservée. En déduire une relation (1) entre v1,v2,v₁⁰ etv⁰₂.

c) De plus le choc est supposéélastique, c’est-à-dire que l’énergie cinétique totale du système de deux points matériels est elle aussi conservée. En déduire, en utilisant la relation (1), que

v₁+v₁⁰ =v₂+v₂⁰ .

d) En déduire les expressions de v₁⁰ etv⁰₂ en fonction de θ₁₀ et des constantes du problème.

Que se passe-t-il dans le cas particulier où m2m1?

e) On se replace dans le cas général de masses quelconques. En déduire finalement les élongations angulaires maximalesθ₁₀⁰ etθ⁰₂₀ des deux pendules après ce choc.

7. A quel instant t₂ a lieu le deuxième choc, et en quel point ?

8. On note−w→₁ =w₁~u_xet−w→₂ =w₂~u_xles vitesses deM₁ etM₂juste avant le second choc, et−w→₁⁰ =w⁰₁~u_x et −w→₂⁰ =w₂⁰~u_x les vitesses juste après.

a) Donner l’expression de w₁ et w₂ en fonction de v⁰₁ etv₂⁰.

b) On suppose de nouveau que le choc est élastique. En utilisant une démarche similaire à celle de la question 6., déterminer w⁰₁ etw₂⁰ en fonction de w1 etw2.

c) En déduire w₁⁰ etw₂⁰ en fonction de v1 etv2.

d) En déduire que les élongations maximales après le second choc sont θ⁰⁰₁₀=θ10et θ₂₀⁰⁰ =θ20. 9. Décrire qualitativement l’évolution ultérieure du système.

10. Tracer sur le même graphique les évolutions de θ1 et θ2 en fonction du temps pour 0 ≤ t ≤ 3s, dans le cas où : `= 25 cm, θ01= 10^◦, θ02=−10^◦, m₁ = 1 kg et m2 = 3 kg.

II. Looping dans un parc d’attraction

Le looping que nous étudions, représenté ci-dessous, est constitué d’une gouttière de lancement dont le point le plus haut, A, est situé à une hauteur h au-dessus du sol (z = 0). Elle permet de guider un chariot vers un rail circulaire de rayonR < ^h₂. Dans notre modélisation, la liaison entre le chariot et le rail est unilatérale, c’est-à-dire qu’elle interdit le rapprochement de deux corps au-delà du contact, mais n’empêche pas leur éloignement.

Le chariot et ses occupants totalisent une massem= 10×10³kg. L’ensemble formé du chariot et de ses occupants est assimilé à un point matériel C. Le champ de pesanteur est uniforme, vertical et orienté vers le bas, de norme g = 9,81 m.s⁻². L’étude du mouvement sera toujours menée dans le référentiel terrestreR₀, considéré galiléen.

Dans un premier temps, le modèle adopté pour la liaison entre le rail et les roues du chariot est celui de la liaison sans frottement solides. De plus, les frottements de l’air sur les passagers et le wagon sont négligés.

1. Gouttière de lancement.

Le chariot est abandonné sans vitesse initiale au point A. Exprimer sa vitesse lorsqu’il arrive en B, en fonction deh et de la norme du champ de pesanteur g.

À quelle altitude h le chariot devrait-il démarrer pour atteindre les 120 km/h enB? 2. Mouvement dans le rail circulaire.

Pour la deuxième partie du mouvement du chariot, à partir du point B, le chariot est repéré par ses coordonnée polaires R etθ. On utilise la base polaire (−→ur,−→uθ).

a) En utilisant un théorème énergétique, exprimer la vitesse angulaire ˙θ du chariot sur le rail circulaire en fonction de θ,g,h, etR.

b) Exprimer la normeN de la réaction−→

N exercée par le rail sur le chariot, en fonction uniquement de l’angle θ auquel se trouve le chariot dans le rail circulaire, dem,g h et deR.

c) Quelle est la condition sur N pour que le looping soit effectué ? En déduire la relation que doit satisfaire h/R pour cela.

Prise en compte des frottements.

Désormais, les hypothèses simplificatrices d’absence de frottements fluides et solides sont abandonnées.

Une simulation numérique du mouvement permet d’obtenir les courbes suivantes. Sont représentées (dans le désordre) : l’évolution au cours du temps de l’énergie cinétiqueE_cdu chariot, de son énergie potentielle E_p, de son énergie mécanique E_m, et l’évolution de la réaction normale N du rail sur le chariot. Les énergies sont représentées en unité MJ, et la force en 10⁵N. À l’instant t= 0, on abandonne le chariot sans vitesse initiale.

3. Associer à chaque courbe la grandeur représentée, en justifiant chacune des réponses.

4. Utiliser les courbes pour déterminer les grandeurs suivantes.

a) Mesurer la vitesse maximale v_max atteinte par le chariot.

b) Mesurer également la hauteur initiale h. Comparer à la situation sans frottement étudiée précédemment.

c) Déterminer à quelle date le mobile quittera le rail.

d) Déterminer combien de tours complets a effectué le chariot dans cette simulation avant de décrocher.

5. a) Pour un mouvement circulaire, exprimer l’accélération radiale ar subie par les passagers du chariot en fonction de l’énergie cinétiqueEcet des constantes nécessaires.

b) Pour des questions de sécurité et éviter des pertes de connaissances dues à de trop fortes accélérations, la loi internationale fixe à 5×g l’accélération maximale le long du corps d’un passager dans un grand huit.

Déduire des courbes fournies la valeur maximale atteinte par l’accélération radiale (en valeur absolue) que subissent les passagers du chariot. À quel moment cela se produit-il ? Dans la simulation envisagée ici, les passagers risquent-ils de perdre connaissance (voile noir) ?

III. Mouvement de la sonde Pioneer

Les sondes Pioneer 10 et 11, lancées par la NASA en mars 1972 et décembre 1973, étaient destinées à explorer le système solaire lointain. Après être passées près de Jupiter (et Saturne pour Pioneer 11), les sondes s’éloignent actuellement du Soleil sur des trajectoires hyperboliques. La mesure de leurs vitesses durant plus de dix ans a montré que ces sondes subissent, en plus de la gravitation usuelle, une petite accélération résiduelle constantea_p= (8,87±1,33)×10⁻¹⁰m.s⁻² dirigée vers le Soleil. On se propose ici d’établir l’évolution attendue de l’accélération de la sonde pour la comparer aux résultats expérimentaux trouvés¹.

Données générales :

Constante de gravitation universelle . . . .G= 6,6738×10⁻¹¹kg⁻¹.m³.s⁻² Masse du Soleil . . . .M_S = 1,9891×10³⁰kg Célérité de la lumière dans le vide . . . .c= 2,9979×10⁸m.s⁻¹ Unité astronomique = distance Terre-Soleil . . . 1UA = 149,60×10⁹m Données pour la sonde Pioneer 10 :

Masse de la sonde . . . .m= 260,00 kg Distance du Soleil au 01/01/2005 . . .rA= 87,060 unités astronomiques (UA) Vitesse radiale par rapport au Soleil au 01/01/2005 . . . . .v_A= 12,240 km.s⁻¹ Fréquence de l’onde envoyée pour les mesures Doppler . . . .f = 2,2950 GHz

III.1. Modèle du mouvement de la sonde

Le point O représente le centre du Soleil et le point P représente la position de la sonde Pioneer. Dans tout le problème, on raisonne dans le référentiel héliocentrique notéR, considéré galiléen. Pour simplifier l’étude, on supposera que la sonde :

— se déplace sur une ligne droite (O,−→uz) fixe dansRpassant par le Soleil ;

— est uniquement soumise à l’attraction gravitationnelle du

Soleil. Repérage de la sonde

On note z = OP la distance Soleil-Sonde. Les notations à utiliser et leurs valeurs numériques sont données en introduction. Les énergies potentielles seront prises nulles pourz→+∞.

1. Donner l’expression de la force de gravitation subie par la sonde Pioneer.

2. Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle, dont on donnera l’expression.

3. Quelle propriété possède l’énergie mécanique durant le mouvement de la sonde ?

Si l’on veut que la sonde puisse s’éloigner suffisamment du Soleil pour « s’affranchir de son in- fluence » (c’est-à-dire être capable de s’en éloigner indéfiniment), quelle énergie minimale faut-il lui communiquer ?

Cette condition est-elle réalisée avec les données proposées ?

4. Déterminer la vitesse v de la sonde lorsqu’elle se trouve à une distance z en fonction de G, M_S, z et des données zA etvA, vitesse et position de la sonde au point noté A où elle se trouvait au 1^er janvier 2005.

5. Compléter les 2^èmeet 3^èmecolonnes du Tableau fourni en annexe à rendre avec la copie en calculant la vitesse et l’accélération théorique attendue suivant le modèle choisi ici.

III.2. Mesure de l’accélération de la sonde

Les grandeurs cinématiques de la sonde sont mesurées par effet Doppler : on envoie depuis la Terre un signal périodique de fréquencef vers la sonde. Ce signal se réfléchit sur la sonde et revient sur la Terre

1. Dans un deuxième temps, le sujet original propose de tester deux hypothèses visant à expliquer les écarts aux valeurs attendues.

avec une fréquence fr différente de f. Pour simplifier, compte-tenu des distances en jeu la position de la Terre est supposée confondue avec celle du centre du Soleil. La relation entref etf_r permet alors de remonter à la vitessev = ^dz_dt.

Si l’on suppose que la vitesse de la sonde v(t) est faible devant la vitesse de la lumière dans le vide (notéec), on montre que la relation entre le décalage en fréquence et la vitesse d’éloignement de la sonde s’écrit :

f_r−f

f =−2v(t)

c . (1)

6. En déduire une relation entre l’accélération mesurée ames(t) et la dérivée ^df_dt^r(t).

7. Remplir la cinquième colonne du tableau de l’annexe. Le modèle étudié en première partie est-il valable ?

8. Estimer l’accélération supplémentaire moyenne que subit la sonde. Comparer à la valeur annoncée en introduction.

* * * Fin de l’épreuve * * *

(pensez à détacher et rendre votre annexe avec votre NOM et Prénom)

Découper ici... Découper ici...

Annexe - Tableau de mesure des vitesses de la sonde Pioneer

NOM - Prénom :

TOUTES LES VALEURS DU TABLEAU DEVRONT ETRE DON- NEES AVEC 5 CHIFFRES SIGNIFICATIFS.

Distance Vitesse Accélération attendue ^df_dt^r Accélération mesurée

au soleil de la sonde mesurée (Partie I)

20 UA 2,2704×10⁻⁴Hz.s⁻¹

40 UA 5,6770×10⁻⁵Hz.s⁻¹

60 UA 2,5239×10⁻⁵Hz.s⁻¹

87,060 UA 12,240km.s⁻¹ 1.1995×10⁻⁵Hz.s⁻¹

Tableau de vitesses.