Dualité de Koszul des PROPs

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Dualité de Koszul des PROPs

Bruno Vallette

To cite this version:

Bruno Vallette. Dualité de Koszul des PROPs. Mathématiques [math]. Université Louis Pasteur

-Strasbourg I, 2003. Français. �tel-00004118�

DUALITE DE KOSZUL DES PROPS

Bruno Vallette 2003

Adresse:BrunoVallette

Institut deRe her heMathematiqueAvan ee UniversiteLouisPasteuretC.N.R.S.(UMR7501) 7,RueReneDes artes

F-67084STRASBOURGCedex Fran e

Adresseele tronique:vallettemath.u-strasbg.fr

Je pense parti ulierementa mon dire teur, Jean-LouisLoday et aux nombreusesheures qu'il a passeesam'expliquer,ave unepassiontoujoursvive, ette\mathematiquebleue"quenous trou-vonssibelle.Jedoisaussibeau oupauxdierentsmembresdemonjury, notammentpouravoir lu,reluet ritique ette these.

Deux personnes m'ontsoutenu durant e travail, ommeelles l'ont fait depuissi longtemps. La pudeurm'interditde les nommeri i, mais je saisqu'elles sere onna^trontdans es mots. Cette theseest lav^otre.

quel'onsaitmaintenantque,

quandonplongeun orps dansunebaignoire, letelephonesonne."

Lebutde ettetheseestd'etablirunetheoriededualitedeKoszulpourlesPROPs, 'est-a-direles objetsquimodelisentlesoperationsaplusieursentreesetsortiessurdierentstypesdestru tures algebriques, ommelesalgebresetlesbigebresparexemple.

LadualitedeKoszuldesalgebresasso iativesest unetheoriequiaetedeveloppeeparS. Priddy [Pr ℄ dans les annees 1970 . Elle asso ie a toute algebrequadratique A une ogebre duale A

!  et un omplexede ha^nes appele omplexede Koszul.Lorsque e dernier est a y lique, on dit quel'algebreAestdeKoszul.Unetellealgebre,ainsiquesesrepresentations,ontdenombreuses proprietes( f.lestravauxdeBeilinson,Ginzburget Soergel,entre autres[BGS ℄).

Danslesannees1990,unetheoriesimilaireaetedeveloppeeparV.GinzburgetM.M.Kapranov [GK℄pourlesoperadesalgebriques.Uneoperadeestunobjetquimodeliselesoperationsd'untype d'algebredonneetles ompositionsde elles- i.LadualitedeKoszuldesoperadesadenombreuses appli ations: onstru tion d'un \petit" omplexe pour le al uldes groupesd'homologie d'une algebre,notiond'algebreahomotopiepres,modeleminimald'uneoperade.

Les operadesne tiennent ompteque desoperationsan entreeset une seulesortie. Or,dans le asdesbigebres,onadesoperationsetaussides ooperations(aplusieurssorties).Ondoitalors enri hirlanotiond'operade, 'est-a-diretravaillerave desPROPs.

Ilestnatureld'essayerd'etendreladualitedeKoszuldesoperadesauxPROPs.Plusieurstravaux existent deja dans ette dire tionpar W. L. Gan [G℄, M. Markl et A. A. Voronov [MV℄mais, danslepremier asparexemple,l'auteurnetraitequ'unesous- ategoriestri tedePROPs.

Pour tout PROP quadratique P, nous denissons i i un oPROP dual, note P <

, qui est une generalisationdes notions de ogebreduale et de ooperade duale. En outre, nous generalisons auxPROPslesnotionsde baretde obar onstru tions,notees respe tivementB et B

. Rappe-lonsque dansle adre desalgebreset desoperades deKoszul,la obar onstru tionfournitune resolutionquasi-libre de l'algebre(ou de l'operade) de depart. Nous etendons e theoreme aux PROPs.

Leprin ipalresultatde ette theseestletheoremesuivantquidonneun riterepourquela obar onstru tionsurle oPROPdualfournisseune resolutionquasi-libreduPROPdedepart.

Theor

eme (Critere deKoszul desPROPs). SoitP unPROP dierentiel quadratique. Les pro-positionssuivantessontequivalentes:

(1) Le omplexede Koszul P <

P esta y lique.

(2) Lemorphisme naturelde PROPs dierentiels graduespar unpoids  B (P < )!P est un quasi-isomorphisme.

Lorsque 'est le as, ondit que P est unPROPde Koszul et laresolution(2) fournitlemodele minimal deP.

Dans ette these, nous ommen ons par generaliser les notions relatives aux anneaux et aux algebres a toute ategorie monodale. Par exemple, on denit les notions de module, modules lineaireet multilineairesur unmonode, deproduit relatif,et d'ideald'unmonode.Notons que

esgeneralisationsne sontpasimmediates,notammentlorsqueleproduitmonodaln'estpas bi-lineaire.

Nous donnons aussi une onstru tion dumonode libre.Dans le as ou le produitmonodalest biadditif(oubilineraire, 'est-a-direlorsqu'ilpreserveles oproduitsagau heetadroite),onsait que lemonodelibresur unobjet V est donne parles motsen V. Le as generalest plus om-pliqueet aetetrespeuetudie.Nousde rivonsi ila onstru tiondumonodelibredansle asou la ategoriemonodalepreserveles oegalisateursre exifs. Notonsque ette hypothese est assez peurestri tive.Nousmontronsquelesfon teursanalytiquess indespreserventles oegalisateurs re exifs.Commetouslesproduitsmonodaux,que nousetudionsdans ette these, induisentdes fon teursanalytiquess indes, etteproprieteestverieepartousnosexemples.Onpeutdon leur appliquerla onstru tionproposeei i.

Pourdemontrerletheoremeenon epre edemment,onsepla edansla ategoriedesS-bimodules. Un S-bimoduleestune olle tionde(S

m ;S

n

)-bimodules,ou S n

est legroupesymetrique.Les S-bimodulesserventarepresenterlesoperationsanentreesetmsortiessurun ertaintypedegebre (algebre, ogebre, bigebre, et ...): P(m;n)A

n ! A

m

. Dans e adre, nous introduisons un analogue au produit tensoriel

k

des espa es ve toriels sur un orps k et au produit Æ de omposition des operades, que l'on note . Pourdeux S-bimodules Q et P, le produit QP representeles ompositionsd'operationsdeP ave ellesdeQ.Comme eproduitn'apasd'unite, onne onsiderequelapartiede elui- iquis'e rital'aidedegraphes onnexes.Leproduitengendre estunitaireetonlenote

.

Un PROP est deni omme une \algebre" pour le produit . Comme toute l'information des PROPsquenous onsideronsi is'e rital'aide duproduit onnexe 

, nousdenissonsun ana-logue onnexeauxPROPsquenousappelonslesproperades.Uneproperadeestunmonodedans la ategoriemonodaledesS-bimo dulesmunieduproduit

.Deslors,ontravailleauniveaudes properades. Ce hoixde presentation permet d'obtenir des resultatsun peu plusns et il n'est pasredu teur.Les ategoriesdesPROPsetdesproperadessontrelieesparunepairedefon teurs adjoints.Apartird'unPROP,ondenituneproperadeenoubliantles ompositionsnon onnexes. Cefon teuradmetunadjointagau heS

basesurleproduitde on atenationdesS-bimodules quiestbien onnu,notammentdupointdevuehomologique.Pouretudierleproduit,ilsuÆtde fairel'etudesurleproduitmonodal

etd'utiliser etadjointagau he.Ainsitouslestheoremes donnesdans ettetheseauniveaudesproperadesontunequivalentauniveaudesPROPs.

LadiÆ ultepourgeneraliserladualitede Koszuldes algebres auxoperadesvientdufaitque le produittensoriel

k

est bilineairealors que leproduit Æn'estlineairequ'agau heet qu'il s'ex-primeave desa tionsdugroupesymetrique.Le produit

(et) introduiti in'estlineaireni 

agau heniadroiteetils'e ritluiaussiave desa tionsdugroupesymetrique.Ande surmon-ter ette diÆ ulte, nousetudions lesproprieteshomologiquesdu produit

, en generalisantla demar he on eptuelle de B. Fresse [Fr℄ des operades auxproperades.Pour mener a bien ette 

etude,onnepeutpasse ontenterdereproduiresimplementlesdemonstrationsdu asoperadique. L'ideeprin ipalequenousajoutonsi ivientdufait queleproduitmonodal

induitdes fon -teursanalytiques.Et 'est pre isementlesgraduationsinduitespar esfon teursanalytiquesqui nouspermettentdede omposerlesdierents omplexesde ha^nesenjeu,etainside on lureles demonstrations.

Nousetendons leproduit

(et) au adredesS-bimo dulesdierentielsgraduesparunpoids. Danslem^eme hapitre,nousdenissonslesnotionsdeP-modulequasi-libreetdeproperade quasi-libreet nous enetudionsles proprietes.Nous poursuivonsave la generalisationdes notions de baretde obar onstru tionsauxproperades(etauxPROPs).Lesdenitionsde es onstru tions reposentsur des generalisationsnaturellesdesnotionsd'edge ontra tion et devertex expansion

donneesparM.Kontsevi hdansla adredela( o)homologiedesgraphes( f.[Ko℄).Nousmontrons unpremierresultatsigni atif:

Theor

eme(A y li itedelabar onstru tionaugmentee). PourtouteproperadedierentielleP, lemorphisme d'augmentation P  B(P)!I estunquasi-isomorphisme.

Nousutiliserons eresultathomologiquepour onstruiredesresolutionsauniveaudesproperades. Pour ela,ondemontrelesdeuxlemmesde omparaisonsuivants.

Theor

eme (Lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques). Dans la ategorie monodale desS-bimodules dierentiels gradues parunpoids, on onsidere : P !P

0

un mor-phisme de properades augmentees et (L;) et (L

0 ;

0

) deux modules quasi-libres analytiques sur P etP 0 de la forme L=MP etL 0 =M 0 P 0 . Soit : L!L 0 unmorphisme de P-modules analytiques, o u lastru turede P-modulesurL

0

est elledonneeparlefon teurderestri tion ! . Onpose   : M !M 0

lemorphisme de dg-S-bimodulesinduitpar.

Si deuxdes trois morphismes suivants 8 < : : P !P 0   : M !M 0  : L!L 0

sont desquasi-isomorphismes, alors le

troisieme estaussi unquasi-isomorphisme. Theor

eme (Lemme de omparaison des properades quasi-libres). Soient M et M 0

deux dg-S-bimodules gradues parunpoids etde degre superieur a1. SoientP et P

0

deuxproperades quasi-libres de la forme P = F(M) et P 0 = F(M 0 ), munies de derivations d  et d  0 provenant de morphismes  : M ! L s2 F (s) (M) et  0 : M 0 ! L s2 F (s) (M 0

) qui preservent la gradua-tion totale venant de elle de M et M

0

. Et soit, un morphisme de dg-S-bimodules : P ! P 0 qui respe tela graduation analytique de F etla graduation totale.Alors,  induitunmorphisme

  : M=F (1) (M)!M 0 = F (1) (M 0 ).

Lemorphisme estunquasi-isomorphismesietseulement si 

estunquasi-isomorphisme. CesdeuxlemmessontdesgeneralisationsauxproperadesdelemmesdonnesparB.Fresse[Fr ℄dans le adredesoperades.CommelesobjetsliesauproduitÆsede rivental'aidedesarbres,l'auteur utiliselesproprietesdes arbrespour onstruiredes suitesspe tralesdontla onvergen epermet dedemontrerlesdeuxlemmes.N'ayantpasdetellesproprietesdansle ontextedesPROPs,nous avonsraÆneleraisonnementenintroduisantunegraduationsupplementairequivientdunombre de sommetsdes graphes onsideresdans le as des properadesquadratiques.Un autre avantage de ette demar heest qu'ellein lutle asdesalgebres.

Le lemme de omparaison des modules quasi-libres analytiques joint a l'a y li ite de la bar onstru tionaugmenteepermetdemontrerletheoremesuivant:

Th  eor



eme(Resolutionbar- obar). Pourtouteproperadedierentielleaugmenteegradueeparun poidsP, lemorphismenatureld'augmentation

 B (  B(P))!P estunquasi-isomorphisme.

Enn, onpeut on lurelademonstrationdu theoremededualitede Koszuldesproperadesave lelemmede omparaisondesproperadesquasi-libres.

Th  eor



eme(DualitedeKoszuldesproperades). SoitP une properade dierentiellequadratique. Lespropositionssuivantessontequivalentes

(1) Le omplexede Koszul P <



P esta y lique.

(2) Le morphisme de properades dierentielles graduees par un poids  B (P < ) ! P est un quasi-isomorphisme.

Commelefon teurS

quirelielesproperadesauxPROPspreservel'homologieet omme,dans tousles omplexespresentsi i,ladierentielleagit omposante onnexepar omposante onnexe, ongeneralisetous esresultatsau adredesPROPs.Ce ipermetd'a heverlademonstrationdu theoremede dualitede KoszulpourlesPROPs.Enn, onmontrequ'unPROPest de Koszulsi etseulementsilaproperadequiluiestasso ieeparlefon teuroubliestdeKoszul, equijustie, 

anouveau,lefaitdetravaillerauniveaudesproperades.

Remarquonsquelesalgebresasso iativesetlesoperadessontdesexemplesdeproperades.Ainsi, lestheoremesdemontresi is'appliquenta esdeux as parti uliers.On retrouveexa tementles resultatsdeB.Fresse[Fr ℄pourlesoperades.Par ontre,lesdemonstrationsdeB.Fressen'in luent pasle asdesalgebres,alorsque ellesdonneesi ilesin luent.

Pourpouvoirmonterqu'uneproperadeestdeKoszul,ilresteamontrerquele omplexedeKoszul esta y lique.Ens'inspirantdestravauxdeT.FoxetM.Markl( f.[FM℄),onintroduitunelarge lasse de properades P denies ommeun \melange"de deux properadesA et B plus simples. Nousdemontronsquelorsque esdeuxproperadesA etB sontdeKoszul,laproperadeP est de Koszul.Ceresultatpermetd'aÆrmerquelaproperadeBiLiedesbigebresdeLie( f.V.Drinfeld [Dr ℄) et la properade "Bi des bigebres de Hopf innitesimales( f. M. Aguiar[Ag1℄ et [Ag2℄) sont de Koszul.(Elles sont onstruites a partir de deux operadesde Koszul a haque fois). En interpretantla obar onstru tionsurlesdualesdetellesproperades,onpeut al ulerla ohomo-logiede ertainsgraphesausensdeM.Kontsevit h[Ko℄.Dansles asBiLieet"Bi,onretrouve lesresultatsde[MV℄surla ohomologiedesgraphes lassiquesainsiquedesgraphesribbons.

Dans une derniere partie, nous generalisons les denitions des series de Poin are des algebres et des operades aux properades. Nous etablissons une equation fon tionnelle qui relie la serie de Poin ared'uneproperadedeKoszul a elledesa duale. Ce i nouspermetdegeneraliseraux operadesquadratiquesquel onqueslesresultatsobtenuspar[GK℄auniveaudesoperadesbinaires. Enappliquant etteequationfon tionnelleauneoperadelibreparti uliere,nousredemontronsune formuleverifeeparlaseriegeneratri edespolytopesdeStashe.

Ontravaillesurun orpsdebasekde ara teristiquenulle(saufau hapitre3).

0.1. Les dierentes ategories en jeu. Lapremiere ategoriepresente dans ette these est elle des modules sur le orps k (espa es ve toriels sur k) que l'on note k-Mod. Munie du produittensoriel

k

,elleformeune ategoriemonodale.(Lorsqu'iln'yapasd'ambigute,onnote eproduit).

SoientV,W et A desmodules sur ket f : V !W unmorphismedek-modules.L'appli ation f k id A : V k A ! W k

A sera souvent note f k

A. Et on fera de m^eme dans toutes les ategoriesmonodalespresentesi i.

Ontravailleraaussidansla ategoriedesk-modulesgradues,noteeg-Mod. Lagraduationest i i positiveet unk-modulegradueV estunmodulesurkquiadmetunede ompositiondelaforme V =

L n2N

V n

.Ondit qu'unmorphismedemodulesgraduesf : V !W est homogenededegre dsif(V

n )W

n+d

pourtoutndansN.

On onsiderela ategoriedes k-modules dierentielsgradues,noteedg-Mod.Un k-moduledi e-rentielgradueV estunmodulesurk quiadmetunede ompositiondelaformeV =

L n2N

V n

et quiestmunid'unedierentielleÆ : V

n !V

n 1

, 'est-a-direunmorphismededegre 1quiverie Æ

2

= 0. La ategorie g-Mod des modules graduesest une sous- ategorie pleinede la ategorie dg-Moddesmodulesdierentielsgradues.Elle orrespondauxmodulesdierentielsgraduesdont la dierentielle Æ est nulle. On note H



(V) l'homologie du omplexe de ha^nes denie par V et jvj = n represente le degre homologique n d'un element v de V. On dit qu'un morphisme de modules dierentielsgraduesf : V ! W est homogenede degre d si f(V

n ) W

n+d pour tout ndansN et s'il ommuteave lesdierentiellesrespe tives.Onappellequasi-isomorphisme tout morphisme homogenede degre0, f : V ! W, qui induit un isomorphismeen homologie H  (f) : H  (V)!H  (W).

Un point ru ialdans lepresenttravailest l'utilisationd'unegraduationsupplementairedonnee par unpoids . Lesk-modules V quiadmettent une de ompositionen fon tion d'un poids V = L

2N V

()

formentune ategorienoteegr-Mod.Danslem^emeesprit,onappellemoduledierentiel gradueparunpoidstoutmoduledierentielV quisede omposeenunesommedire te de sous-modulesdierentielsnotesV

()

. On note la ategorieasso iee gr-dg-Mod. Ces modules sont bi-graduesparledegrehomologiqued'unepartetparunpoidsd'autrepart.Onnotelagraduation homologiqueparV

n

et elledonnee parlepoidsparV ()

(voire V ()

).Ondit qu'unfon teurest exa tlorsqu'ilpreservel'homologie.

Touteslesin lusionsde ategoriessontresumeesdanslediagramme

k-Mod

//



g-Mod



//

dg-Mod



Toutes es ategories sont munies d'un produit tensoriel. A partir de V et W deux modules dierentiels, on asso iela produit V

k W , deni par (V k W) n = L i+j=n V i k W j et la dierentielleÆ d'un tenseur elementaire homogene v

k

w est donnee par Æ(v k w) = Æ(v) k w+( 1) jvj v k

Æ(w).Onutilisedans e adrelesreglesdesignedeKoszul-Quillen:lorsquel'on doit ommuterdeux objets (morphismes,elements,et ...)de degredet e,onintroduitunsigne ( 1)

de .

Adeuxmodules(eventuellementdierentiels)graduesparunpoidsV etW,onasso ieleproduit V

k

W donneparlaformuleanalogue(V k W) () = L s+t= V (s) k W (t) .

Ces produitsmonodauxtransformentlesin lusionspre edentesen in lusionsde ategories mo-nodales.

0.2. n-uplets. Poursimplierlese ritures,unn-uplet(i 1

;:::;i n

)seranote{.Onauraaaire i iades n-upletsd'entiersstri tementpositifs. Eton representelaquantitei

1

+


+i n

parj{j. Lorsqu'iln'yapasd'ambigutesurlesnombresdetermes,onnote



1len-uplet(1; :::;1). On se sert de la notation { pour representer des produits d'elements indi es par le n-uplet (i

1 ;:::;i

n

).Parexemple,dansle adredesk-modules,V  { orrespondauproduitV i1 k


k V in . 0.3. Groupe symetrique. On note S

n

le groupedes permutations de f1;:::;ng. On re-presente une permutation  de S

n

par la n-uplet ((1);:::;(n)). On prolonge la remarque pre edente,pourtoutn-uplet(i

1 ; :::;i n ),onnoteS  { lesous-groupeS i1 


S in deS j{j .Apartir detoute permutation deS n et detout n-uplet{=(i 1 ;:::;i n

),onasso ieune permutationde S

j{j

ditepermutationparblo sdeniepar  { = i 1 ;:::;i n = (i 1 +


+i  1 (1) 1 +1;:::;i 1 +


+i  1 (1) ;:::; i 1 +


+i  1 (n) 1 +1;:::;i 1 +


+i  1 (n) ):

0.4. Suites spe tralesasso ieesa un bi omplexe. Soit(V;Æ h

; Æ v

)unbi omplexe.A e bi omplexe,on asso iedeux suitesspe trales qui onvergentversl'homologiedu omplexetotal Æ=Æ h +Æ v . I r (V))H  (V;Æ) et II r (V))H  (V;Æ): Pluspre isement,ona (I 0 s;t ;d 0 )=(V s;t ;Æ v ); (I 1 s;t ;d 1 )=(H t (V s; ;Æ v );Æ h )etI 2 s;t =H s (H t (V ; ;Æ v );Æ h ): Etpourlase ondesuitespe trale,ona

(II 0 s;t ;d 0 )=(V s;t ;Æ h ); (II 1 s;t ;d 1 )=(H s (V ;t ; Æ h );Æ v )et II 2 s;t =H t (H s (V ; ;Æ h );Æ v ): 0.5. Gebre. Onregroupesousletermegeneriquedegebre toutslesdierentstypesd'alg e-bres,de ogebres,debigebres,et ... CetteterminologieaeteproposeeparJean-PierreSerre ( f. [S℄).

Notions Monodales

Lebutde e hapitreestd'aborddexerlesnotionsquel'onren ontredansdierentes ategories monodales.Laplusutiliseeestprobablement elledemonode.Lanotiondemonodein lut elles d'anneau, d'algebre et d'operade. L'utilisation de la notion de ategorie monodale permet de generaliserlesraisonnementsee tuesdans le adredes anneauxet desalgebres.Ondonne par exemplelesdenitionsdemodulesurunmonode,deproduitsrelatifs,demonodelibreetd'ideal d'unmonode.

Ilfaut ependantfaireattentionlorsquel'ongeneralise esnotions.Ellesviennenttoutesd'un adre tresparti ulierouleproduitmonodalest biadditif.Plusieursgeneralisationsd'unem^emenotion sontpossibles,et ertainesreposentsur equenousappelonslespartieslineairesetmultilineaires duproduitmonodal.Ladenitiond'idealquenous proposonsi ientredans e asdegure.La generalisationstri to sensu de la notion d'ideal ne permetpas de onserverla propriete que le quotient d'unmonode parunidealest munid'unestru ture naturelledemonode. Pourpallier ette diÆ ulte,nousdenissonslesideauxapartirdelanotionplusnedepartiemultilineaire. Ilenvadem^emepourla onstru tiondumonodelibre.Le asbiadditifest onnudepuislongtemps ( f.[Ma L1 ℄). Pouravoirlemonodelibresurun objet V,ilsuÆt alorsde prendrelesmots en V.Le asgeneralaetetrespeutraite.Nousdonnonsalase tion6,une onstru tiondansle as ouleproduitmonodalpreserveles oegalisateursre exifs. Cettehypothese estverieepartous lesproduitsren ontresdans ette these.

1. Categorie monodale

Onrappellei irapidementlesdenitionsusuellesdes ategoriesmonodales.Pourplusdedetails, onrenvoielele teuraulivredeS. Ma Lane[Ma L1 ℄( hapitreVII).Ladenitionde ategorie monodaleest inspireeparla ategoriedeskmodulesmunieduproduittensorielsurk.

1.1. Categoriemonodalestri te. D

efinition (Categoriemonodalestri te). Onappelle ategoriemonodalestri tetoute ategorie Amunied'unbifon teur2:AA!Aasso iatif, 'est-a-direveriantl'identite

2(2id A

)=2(id A

2) : AAA!A;

et d'un objet I, unite a gau he et a droite pour le produit monodal 2, 'est-a-dire veriant l'identite 2(I id A )=2(id A I)=id A : Onlanote(A;2;I).

Exemple: La ategoriedes endofon teurs d'une ategorieC muniede la ompositiondes fon -teurset dufon teuridentite(C

C ;Æ;id

C

)estune ategoriemonodalestri te(a ausedelastri te asso iativitedela omposition).

1.2. Categoriemonodale. Commenousvenonsdelevoir,ladenitionpre edenteesttrop rigidepourin luretous les asque nousaimerionstraiter.Pourpouvoirengloberplusde as,il fautrela herleshypotheseset onsidererl'asso iativiteet lesunitesaisomorphismepres. D

efinition (Categoriemonodale). Une ategoriemonodale estune ategorieAmunie { d'unbifon teur2 : AA!Aetd'unefamilled'isomorphismes

 a;b; : (a2b)2  = a2(b2 )

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

naturelsena;bet ,telsquelepentagonesuivant ommutepourtouta;b; ;ddansA:

(a2(b2 ))2d  a;b2 ;d

//

a2((b2 )2d) a2 b; ;d

''P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

((a2b)2 )2d  a;b; 2d

o

77o

o

o

o

o

o

o

o

o

a2b; ;d

++

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

a2((b2( 2d)) (a2b)2( 2d)  a;b; 2d

33

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

{ etd'unobjetI ainsiquedeuxisomorphismes a : I2a  =aet  a : a2I  =anaturelsen atelsquelediagrammetriangulairesuivant ommutepourtouta; dansA:

(a2I)2 a;I;

//

 a 2

%%J

J

J

J

J

J

J

J

J

a2(I2 ) a2

yytt

tt

tt

tt

t

a2 ettelsque  I = I : I2I!I: Onlanote(A;2;I;;;) voire(A;2; I).

D

efinition (Fon teursmonodaux). Toutfon teurentredeux ategoriesmonodalesquipreserve lastru turemonodaleestappelefon teurmonodal.

1.3. Exemples.

(1) La ategoriedesensembles muniedu produit artesien et d'un ensemblea unelement pouruniteformeune ategoriemonodalenotee(Ens;;fg).

(2) Surlem^ememodele,la ategoriedesespa estopologiquesformeune ategoriemonodale pourleproduitetunensemblereduitaunpointpourunite(Top;;fg).

(3) Lesgroupesabeliensave leproduittensorielsurZetlegroupeZlui-m^emeformentune ategoriemonodalenotee(Ab ;

Z ;Z).

(4) Vientensuitelafamilled'exemplesformeeparles ategoriesdek-modules.Leplussimple est eluidela ategoriedesmodulessurkmunieduproduittensoriel lassique

k ave k pourunite.Onlanote(k-Mod;

k

;k).Puis,enaÆnantladenitionduproduittensoriel ( f. Conventions), on fournit a la ategorie des k-modules gradues et a elle des k-modulesdierentielsgraduesunestru turede ategoriemonodalenoteesrespe tivement (g-Mod;

k

;k) et (dg-Mod; k

;k). On peut aussi iter l'exempledes representations ve torielssurdierentesstru turesalgebriques( f.D.CalaqueetP. Etingof[EC℄). (5) Unexempleplus omplique,inspireparlatheoriedesoperades( f.V.GinzburgetM.M.

Kapranov [GK℄ et J.-L. Loday [L3℄) , est donne par la ategorie des S-mo dules. Un S-mo duleestune olle tion(P(n))

n2N

 demodulessurS n

.Onmunit ette ategoriedu produitÆdenipar

PÆQ(n)= M 16k 6n i 1 +


+i k =n P(k) S k Q(i 1 ) k


k Q(i k )

et de l'unite I = (k;0;:::). Elle est notee (S-Mod;Æ;I). Remarquons que dans tous lesexemplespre edentsleproduitmonodalpreserveles oproduitsagau he ommea droite,alorsque etexemple- ineverie etteproprietequ'agau he.

Remarque:Danslatheoriedesgroupesquantiques,onsesertdelanotionde ategorietensorielle qui est une ategoriemonodale dont les morphismes (Homs) sont munis d'une stru ture de k-modules dedimension nie. I i,ilnous suÆra de onsidererseulement une ategoriemonodale abelienne.

1. CATEGORIEMONOIDALE

D

efinition (Categoriemonodale symetrique). Une ategoriemonodale est dite symetrique si ellepossededesisomorphismes

a;b

: a2b ! b2anaturelsena;b telsque  a;b Æ b;a =id b2a ;  b = b Æ b;I ; ettelsquelediagrammesuivant ommute:

(a2b)2 a;b;

//

 a;b 2



a2(b2 ) a;b2

//

(b2 )2a b; ;a



(b2a)2  b;a;

//

b2(a2 ) b2 a;

//

b2( 2a):

Lesexemplesde(1)a(4)sontdesexemplesde ategoriesmonodalessymetriques.

1.4. Theoremede oheren edeMa Lane. Gr^a eautheoremesuivant,onpeutsouvent sepasser desisomorphismes,et  pourne onsidererquedes ategoriesmonodalesstri tes. C'estpourquoi,onometsouventenpratiqued'e rire estroisisomorphismes.

Theor

eme1(Theoremede oheren edeMa Lane, f.[Ma L1 ℄). Toute ategoriemonodaleest 

equivalente a une ategorie monodale stri te. (La relation d'equivalen e est elle des ategories monodales).

Corollaire 2. Toutdiagramme onstruit ave lesisomorphismes , et , les identites et les produits monodauxest ommutatif.

1.5. Categories monodales abeliennes. Soit (A;2;I) une ategorie monodale ab eli-enne.Dans l'etuded'unetelle ategorie,undesenjeux fondamentauxest de omprendrele om-portementduproduitmonodalvis-a-visdu oproduit.Pour ela,onintroduitlesdeuxfon teurs suivants:

D 

efinition (Fon teurs de multipli ation). Dans une ategoriemonodale(A, 2, I), pour tout objetA,onappellefon teurdemultipli ation(oude omposition)agau heparA(respe tivement 

adroite),lefon teurdeniparL A

: N 7!A2N (respe tivement,R A

: N 7!N2A). D

efinition (Categorie biadditive). On appelle ategorie biadditive toute ategorie monodale abelienne telle que les fon teurs de multipli ationL

A etR

A

soient additifs pour tout objet A, 'est-a-direqu'ilspreserventle oproduit.

Dansune ategoriebiadditiveA,onsait onstruire ertainsobjetsimportants ommelemonode libreparexemple( f. se tion6). Par ontre, le as general est plus ompliqueet ilfaut souvent faireladistin tionentredeuxtypesdenotions.Pour ela,ondenitl'objetsuivant:

D 

efinition (Partiemultilineaire). SoientA; B;X et Y desobjetsdeA.Onappellepartie mul-tilineaireen X le onoyaudel'appli ation

A2Y2B A2i

Y 2B

!A2(XY)2B; quel'onnoteA2(XY)2B.

Exemples:

{ Dans le as d'une ategorie monodale biadditive, on a toujours A2(X Y)2B = A2X2B.

{ Dansle asdesS-mo dules,AÆ(XY) orrespondauxelementsdelaformeA(n) S n Z(i 1 ) k


k Z(i n

)ave Z =X ouY mais ave globalementaumoinsunX,d'ou la notation.

Remarque: Lapartie multilineaireen X del'expression A2(XY) montre ledefaut pour le fon teurR

A

: Z!A2Zapreserverles onoyaux.Eneet,si efon teurpreserveles onoyaux, alorsla partiemultilineaireA2(XY)sereduit aA2X.On voitpar exemple,quele fon teur Z!AÆZ lieauxS-mo dulesnepreseveengeneralpasles onoyaux.

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

Lemme3. SoientAetB deuxobjetsd'une ategorieabelienneA.Soient etideuxmorphismes

B i

//

A 

oo

tels que i soit une se tion de , 'est-a-dire Æi =id A

. Alors le noyau de  est naturellement isomorphe au onoyau de i.

D

emonstration. Comme i est une se tion de , l'objet B se de ompose sous la forme B ' imAker.Ce quimontreque okeri'ker.  Gr^a ea elemme,on peute rirelapartiemultilineaireenX ommeunsous-objetdeA2(X  Y)2B.

Corollaire4. Lapartie multilineaire enX orrespond aussiaunoyau del'appli ation

A2(XY)2B A2Y2B !A2Y2B; o u Y est laproje tion XY !Y.

Nousauronsbesoinplusloindulemmete hniquesuivant.

Lemme 5. On se pla e dans une ategorie monodale abelienne (A;2;I). Soit C = AB un objetdeA. Alors,le onoyau dei

A 2i

A

: A2A,!C2C estdonneparC2(AB)+(AB)2C. D

emonstration. Onalediagramme ommutatifsuivant:

A2(AB)

 

_//

C2(AB)

//

(C2C)=(A2A) A2C

 

i A 2C

//

OOOO

C2C

OOOO

_m

_m

m

66 66m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

// //

(AB)2C

OO

ll

A2A i A 2i A

77o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

?

A2iA

OO

 

iA2A

//

C2A

?

C2iA

OO

// //

(AB)2A

?

OO

ll

D'ou, C2C = C 2AC2(AB)

= A2A(AB)2AC2(AB)

| {z } oker(i A 2i A ): Delam^ememaniere,

C2C =A2AA2(AB)(AB)2C | {z } oker(i A 2i A ) :

Ainsi,C2(AB)+(AB)2C,!(C2C)=(A2A)etl'egalitevientdelapre edente ombineea

A2(AB),!C2(AB). 

Remarque: Le orollairepre edentmontre que le onoyau de i A

2i A

peut ^etre vu omme un sous-objetdeC2C.Pluspre isement,lelemme3montrequele onoyaudei

A 2i A orrespondau noyaude A 2 A

( 'est-a-direaC2(AB)+(AB)2C).

2. Monode

2. MONOIDE

2.1. Denition. D

efinition (Monode). Dans une ategorie monodale(A;2; I), un monode est un objet M munidedeuxmorphismes:

{ une omposition(oumultipli ation)  : M2M!M, { uneunite  : I !M

telsquelesdeuxdiagrammessuivantssoient ommutatifs

(M2M)2M 2M

xxrr

rr

rr

rr

M;M;M

//

M2(M2M) M2

&&L

L

L

L

L

L

L

L

M2M 

**

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

M2M 

ttiiii

iiii

iii

iiii

ii

M I2M 2M

//

 M

%%J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

M2M 



M2I M2

oo

 M

yytt

tt

tt

tt

tt

M Onlenotesouvent(M; ;).

2.2. Exemples. Dansle asstri t,unmonodedansla ategorie(C C

;Æ;id C

))des endofon -teursd'une ategorieC n'estautrequ'unemonade.

Dans lesexemplesde ategoriesmonodalesdonnespre edemment,lanotionde monode orres-pondauxdenitionssuivantes:

(1) Dansla ategoriedesensembles,onretrouvelanotion lassiquedemonode. (2) Dansle asdesespa estopologiques,onparledemonodetopologique.

(3) Ladenitiond'un anneauest exa tement elled'unmonodedansla ategorie(Ab , Z ,Z).

(4) Pourles ategories onstruitesapartirde k-modules,ladenitiondemonodeest elle dek-algebre(k-algebregradueeetk-algebredierentiellegraduee).

(5) Ladonneed'unmonodedansla ategoriedesS-mo dulesest elled'uneoperade. D

efinition (Morphismesdemonodes). Unmorphismede monodes estunmorphismequi om-muteave les ompositionsetlesunitesdesmonodessour eet but.

Ainsi,lesmonodesdeAmunisdeleursmorphismesformentune ategorienoteeMon A

.

Dualement,onalanotionde omonode. D

efinition(Comonode).Onappelle omonode(C;
;")dela ategorie(A;2;I),toutmonode dansla ategorieopposee(A

op ;2

op ;I).

Demanieree quivalenteun omonodeCest ladonnee

{ d'unmorphisme
: C!C2C appele omultipli ation, { etd'unmorphisme" : C!I appele ounite.

La omultipli ationest oasso iative, equiserepresente(enomettantlesisomorphismesnaturels) parlediagramme ommutatif

C

//



C2C C2



C2C
2C

//

C2C2C:

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

Etlarelationde ounites'e rit

C2I C

//

C



I2C C

oo

C2C: C2"

ccHHH

HHH

HHH

"2C

;;v

v

v

v

v

v

v

v

v

2.3. Monodeaugmente. Enn,dansdenombreux as,nousauronsaaireadesmonodes munisd'une ounite.

D 

efinition (Monodeaugmente). Un monode(M;;)est dit augmente s'ilpossedeun mor-phismedemonodes" : M!I.Celasigniequelediagrammesuivant ommute:

M2M "2"

//





I2I I=I



M "

//

I etque I 

//

M "

//

I =id I :

Si,deplus,Aestune ategorieabelienne,onposeM=ker",quel'onappelleideald'augmentation deM.

Proposition6. Dans une ategoriemonodale abelienne, toutmonode augmenteestisomorphe 

aMI. D

emonstration. Lemorphisme estunrelevementdelasuiteexa te

M

 

k er"

//

M "

//

I: 

oo



3. Modulessur unmonode

Plusieurs generalisationsde la notion de module sur une algebresont proposees i i. Elles sont toutesequivalentesdansle asd'une ategoriebiadditive.

3.1. Denition de module. D

efinition (Modulesur unmonode). Un module agau he R surunmonode(M; ;)est la donneed'un objetR deA ave unmorphismer : M2R !R telsquelesdiagrammessuivants ommutent (M2M)2R 2R

yyss

ss

ss

ss

M;M;R

//

M2(M2R ) M2r

%%K

K

K

K

K

K

K

K

M2R r

**

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

M2R r

ttiiii

iii

iii

iii

iii

i

R I2R 2R

//

R

$$I

I

I

I

I

I

I

I

I

M2R r



R : Onnotela ategoriedesmodulesagau hesurM parM-Mod.

3. MODULESSUR UNMONOIDE

La denition de module a droite (L;l)est symetriqueet on note la ategorieasso ieeMod-M. Enn,onappellerabimodule tout objetB quiestalafoisunmoduleagau heet adroiteettels quelesdeux a tions ommutent.Onnote ette ategorieM-biMod.

Exemple: Un monode (M;;) agit sur lui-m^eme par multipli ation . On parle alors de representationreguliere.

Remarque:Commelesdenitionsentrelesmodulesagau heet lesmodulesadroitesont simi-laires,onse ontenteradanslasuitedenedetaillerqu'undesdeux as.

En dualisant la denition de module sur un monode, on aboutit a elle de omodule sur un omonode.

D

efinition (Comodulesurun omonode). Soit(C ;
;")un omonode.UnobjetRdeAmuni d'un morphisme r : R ! C2R est appele omodule sur C a gau he si (R ;r) est unmodulea gau hedansla ategorieopposee(A

op ;2

op ;I).

3.2. Modulelibre. L'oublidelastru turedemoduledenitunfon teurdela ategoriedes modules(agau he)surunmonodeM versla ategorieA.

U : (R ; r)7!R :

Cefon teuradmetunadjointagau hequiestdonnedanslapropositionsuivante. Proposition7. PourtoutobjetA de A, l'objetM2Aave lemorphisme

M2(M2A)  1 M;M;A

//

(M2M)2A 2A

//

M2A

formentlemodule agau helibre surA. Delam^ememaniere,ona:

Proposition8. PourtoutobjetA de A, l'objetC2A ave lemorphisme C2A
2A

//

(C2C)2A  C;C;A

//

C2(C2A)

formentle omodule agau he olibre surA.

3.3. Modules multilineaire et lineaire. Dans le adre d'une ategoriemonodale ab eli-enne,onpeutproposerdeuxautresgeneralisationsdelanotion lassiquedemodulesurunanneau, ellesdemodulemultilineaireetdemodulelineaire.

D

efinition (Modulemultilineaire). Un objetRest unmodule multilineaireagau he s'iladmet unmorphismer : M2(MR)!Rveriantlesdiagrammes ommutatifssuivants:

(M2M)2(M R ) 2(MR)

uukkk

kkk

kkk

kkk

 M;M;(MR)

//

M2(M2(M R)M2M) M2(r+)

))

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

M2(MR ) r

,,

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

M2R r

rreeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeee

R I2R 2R

//

R

**

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

M2R

//

M2(M R ) r



R :

Onaalorslem^emetypedepropopositionpourlemodulemultilineairelibre.

Proposition9. Pour tout objetA de A, l'objet M2(M A) munidu morphisme deni par la omposition

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES M2(MM2(MA) )  1 M;M;MA ÆM2(M2+M2(MA)) !(M2M)2(MA) 2(MA) !M2(MA) forme lemodule lineaireagau he libre surA.

Laterminologiede\modulesmultilineaires"vientdufaitquel'onfaitagirM surdeselementsde M et deR maisave aumoinsunelementdeR .

Une autre notion, elle de module lineaire, aete introduite dans le adre de la ohomologiede Quillen des monodes par H. J. Baues, M. Jibladze et A. Tonks dans [BJT ℄. La denition de modulelineaireseresumeendisantqueM agitsurdeselementsdeM et deR maisave unseul 

elementdeR .

PourpouvoirdenirlapartiedeM2(M R ) quis'e ritave unseulelementdeR adroite,on lineariselefon teurR : X!M2(MX).

D 

efinition (Eet roise). Soit : A!A un endofon teur dela ategorieabelienneA. Pour deuxobjetsX et Y deA,ondenitl'eet roise (XjY)parlenoyaudel'appli ation

(XjY)=ker  (XY) (X) (Y) ! (X) (Y)  :

L'imagedel'eet roise (XjX)vial'appli ation (XjX),! (XX)

(+) ! (X);

orrespondalapartienonadditivedufon teur .IlsuÆtdon dequotienter (X)par etobjet pourobtenirunfon teuradditif.

Proposition10. Lefon teur add deni par add (X)= oker  (XjX),! (XX) (+) ! (X) 

estunfon teuradditif.

De plus,la transformationde fon teurs add : ! add

fa torise de maniereunique toute trans-formationnaturelle !,o u estunfon teuradditif.

Lorsquel'on linearisele fon teurR : X !M2(M X), onobtientlapartielineaireenX de l'expressionM2(M X).

D

efinition(Partielineaire). LapartiemultilineaireenXdel'expressionM2(MX) orrespond 

al'imageR add

(X).

Ondenitlanotiondemodulelineairegr^a ea etobjetdeA. D



efinition (Modulelineaire).Onappellemodulelineaireagau he,toutobjetRdeAmunid'un morphismer : R

add

(R )!Rquiverielem^emetypedediagrammes ommutatifsque euxdes deuxdenitionsdemodulespre edentes.

Corollaire11. Lorsquela ategorie Aestbiadditive, lesnotionsde module,module lineaire et module multilineairese onfondent.

D

emonstration. Lorsquela ategorieA est biadditive,la partielineaireet multilineaireen R deM2(M R ) orrespondaM2R . 

4. Produits monodaux relatifs

La denition du produitmonodalrelatif est la generalisation naturellede lanotion de produit tensorielrelatifsur unealgebre.

A partir de maintenant, nous nous pla erons toujours dans une ategorie monodale abelienne (A;2;I).Soit(M;;)unmonodedeA.

4. PRODUITSMONOIDAUX RELATIFS

4.1. Denition etpremieresproprietes. D



efinition (Produit monodal relatif). Soient (L;l) un M-module a droite et (R ;r) un M -moduleagau he.Ondenitleproduitmonodal relatif L2

M R parle onoyaude L2M2R l2R

//

L2r

//

L2R oker

// //

L2 M R :

Onalespremieresproprietessuivantes.

Proposition12. Pour RunM-module agau he,on aM2 M

R=R . Et pour unM-module libre adroiteA2M, ona(A2M)2

M

R=A2R . D



emonstration. Onmontrequer orrespondau onoyauvoulu.Deja,la omposition

M2M2R 2R

//

M2r

//

M2R r

// //

R

estnullepardenitiondel'a tionr.Ensuite, onsideronsf : M2R!A telleque

M2M2R 2R M2r

//

M2R f

//

A

soit nulle. L'appli ation (2R )Æ(2M2R ) est un isomorphisme de I2M2R vers M2R . On regardealorsla omposition

fÆ(2R )Æ(2M2R ) = fÆ(M2r)Æ(2M2R ) = fÆ(2R )Æ(I2r): Posons



f =fÆ(2R ).Alors,auxisomorphismesliesaI pres,f sefa toriseenf = 

fÆr.Comme restunepimorphisme(rÆ=),onen on lutqu'unetelleappli ation



f est unique.  4.2. Fon teursderestri tionetd'extension. Soitunmorphismedemonodes : M ! M

0

. On onstruit apartirdedeuxfon teursentrelesmodulessurM et euxsurM 0

. D

efinition (Fon teurderestri tion). Onappellefon teurderestri tion induitpar,lefon teur 

! : M

0

-Mod!M-Moddenipar

M2R 0 2R 0

//

M 0 2R 0 r 0

//

R 0 : LemorphismeinduitsurM

0

unea tionadroiteparM.Onpeutdenirunfon teurre iproque 

a !

. D

efinition (Fon teur d'extension). Le fon teur d'extension issu de  est le fon teur  !

: M-Mod!M

0

-Moddonneparleproduitde ompositionrelatif  ! (R )=M 0 2 M R : Proposition13. Lesdeuxfon teurs 

! : M-Mod

/

M 0 -Mod :  !

o

sont adjoints. D 

emonstration. Commen onspardenirlesdeuxtransformationssuivantes: { L'united'adjon tionu : id M-Mod ) ! Æ !

est donneepar u R : R=M2 M R7!M 0 2 M R =2 M R : { Quantala ounite :  ! Æ ! )id M 0 -Mod

,elle orrespondaupassageauquotient,pour leproduitrelatifsurM,du onoyaudenissantleproduitrelatifsur M

0 deM 0 2R 0 .Ce

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

quiseresumeainsi: M 0 2 M  ! (R 0 ) R 0

//

M 0 2 M 0 R 0 =R 0 M 0 2R 0 oker

ggggNNNN

NNNN

_NNN

oker

77 77o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

M 0 2M 0 2R 0  0 2R 0

o

77o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

M 0 2r 0

77o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

M 0 2M2R 0 : ( 0 2R 0 )Æ (M 0 22R 0 )

ggPPPP

PPPP

PPPP

(M 0 2r 0 )Æ (M 0 22R 0 )

ggPPPP

PPPP

PPPP

M 0 22R 0

ll

Onverieensuitelesrelationsvoulues: (1) La omposition  ! (R )  ! (u)

//

 ! Æ ! Æ ! (R )  ! (R)

//

 ! (R ) orrespondaumorphismeidentiteid

!(R) .

Eneet,onalediagramme ommutatifsuivant:

M 0 2 M R  ! (u)

//

M 0 2 M (M 0 2 M R )  ! (R)

//

M 0 2 M R M 0 2R=M 0 2(M2 M R ) oker

OOOO

//

oker

11

M 0 2(M 0 2 M R ) oker

OOOO

oker

// //

M 0 2 M 0 (M 0 2 M R )=M 0 2 M R M 0 2M2R M 0 2 oker

OO

M 0 22R

//

M 0 2M 0 2R oker2R

//

M 0 2 oker

OO

M 0 2R : oker

OOOO

(2) D'autrepart,ona  ! (R 0 ) u( ! )

//

 ! Æ ! Æ ! (R 0 )  ! ( R 0)

//

 ! (R 0 ) = R 0

//

M 0 2 M R 0

//

R 0 = id R 0 :  4.3. Quotientinde omposable. Lorsque(M;;I;")estunmonodeaugmente( f. sous-se tion2.3),lao unite"induit unfon teur"

!

: I-Mod=A!M-Modquifournitunestru ture deM-moduleatout objet deA.Onparlealorsd'a tion triviale oud'a tion s alaire . Enoutre, onaunfon teur"

!

: M-Mod!I-Mod=Atelque" !

(R )=I2 M

R . D

efinition (Quotientinde omposable). LeproduitrelatifR=I2 M

Rest appelequotient ind e- omposable deR .

Labije tionnaturelled'adjon tions'e ritalors Hom A (R ; A)  = Hom M-Mod (R ;" ! (A)): Et,l'united'adjon tiondevient

R=M2 M R u R ="2 M R

// //

I2 M R=R :

Remarque:Le nom (quotientinde omposable)vientdufaitque, dans un adreensembliste,il represente leselementsdumodulequine peuvent^etre obtenus omme imaged'autreselements parl'a tiondeM.

Rappelonsquelorsqu'unmonodeestaugmente,alorsona

A=A2I A2

//

A2M A2"

//

A =id A :

5. COEGALISATEURSREFLEXIFS

Ce idonnelapropositionsuivante.

Proposition14. Lorsquelemonode M estaugmente, onpeutidentier lequotientind e ompo-sable de larepresentation reguliere ave I et eluidu modulelibreM2A ave Alui-m^eme.

5. Coegalisateursre exifs

Nousavonsvuque,dansl'etuded'une ategoriemonodaleabelienne,on her haita omprendrele omportementduproduitmonodalvis-a-visdu oproduit.Plusforten ore,onpeutaussi her her 

asavoirsile produitmonodalpreserveles onoyaux.Dans le asdu produittensoriel lassique

k

, ommelesfon teursdemultipli ationR A

etL A

sontdesadjointsagau hed'autresfon teurs, ilssontexa tsadroite.Et ommeilssontadditifs,ilspreserventles onoyaux.Plusgeneralement, un fon teurpreserveles onoyaux si et seulement si ilpreserveles oproduits et qu'il est exa t 

a droite. On voit don que, dans une ategorie monodale qui n'est pas biadditive, le produit monodaln'aau une han edepreserverles onoyaux.C'est pour elaquenous avonsintroduit lanotiondepartiemultilineairequisertamesurerledefautpourlesfon teursde multipli ation 

apreserverles onoyaux( f.se tion1).

Onsaitquedansun ategorieabelienne,lanotionde oegalisateur orresponda ellede onoyau. Par ontre, il existe une notion plus ne, elle de oegalisateur re exif. Cette notion est plus fa ilementpreserveeparlesfon teurs,notammentlesfon teursdemultipli ations.Pourpreuve,le produitmonodalÆpreserveles oegalisateursre exifs( f.[GH℄).Nousverronsalase tion8que tout fon teur analytiques indepreserveles oegalisateursre exifs et que produits monodaux, quenous onsideronsdans ettethese,induisenttousdesfon teursanalytiquess indes.

5.1. Denition etpremieresproprietes.

D

efinition (Pairere exive). Unepairedemorphismes X 1 d 0

//

d 1

//

X 0

estditere exives'ilexiste unmorphismes 0 : X 0 !X 1 telqued 0 Æs 0 =d 1 Æs 0 =id X 0 . D 

efinition (Coegalisateurre exif). On appelle oegalisateur re exif tout oegalisateur prove-nantd'unepairere exive.

Proposition 15. Soit : A!A unendofon teur d'une ategorie abelienne A. Si preserve les oegalisateursre exifs alors preservelesepimorphismes.

D  emonstration. Soit B 

//

C

unepimorphisme.Commeons'est pla edans une ategorie abelienne,onsaitque orrespondau onoyaudesonnoyau(quel'onnotei)

A

 

i

//

B 

// //

C :

Le onoyau peuts'e rire ommele oegalisateurre exifdelapairesuivante

AB d0

//

d1

//

B s0

zz



// //

C ; oud 0 =i+id B ,d 1 =id B ets 0 =i B .

Comme preserveles oegalisateursre exifs, onobtientque ()est le oegalisateurde( (d 0

), (d

1

)).Entantque oegalisateur, ()estunepimorphisme.  5.2. Lienave leproduitmonodal. Nousallonsetudier ertainesproprietesverieespar unproduitmonodallorsque edernierpreserveles oegalisateursre exifs.

D 

efinition. On dit d'un produit monodal (A;2; I) qu'il preserve les oegalisateurs re exifs si pour tout objet A deA, lesfon teursde multipli ationsR

A et L

A

preserveles oegalisateurs re exifs.

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

Proposition 16. Soit A est une ategorie monodale abelienne dont le produit preserve les oegalisateursre exifs. Soient

M 1 d0

//

d1

//

M 0 s0

zz

M

// //

M et N 1 d0

//

d1

//

N 0 s0

zz

N

// //

N

deux oegalisateurs re exifs. Alors M2N estle oegalisateur de

M 1 2N 1 d02d0

//

d12d1

//

M 0 2N 0 s02s0

zz

 M 2 N

// //

M2N : D emonstration. Soit : M 0 2N 0

!Aunmorphismetelque(d 0 2d 0 )=(d 1 2d 1 ). L'hypothesequeleproduitmonodal2preserveles oegalisateursre exifsdonnequeM

0 2 N est le oegalisateurde(M 0 2d 0 ; M 0 2d 1 ).Comme (M 0 2d 0 ) = (d 0 2d 0 )Æ(s 0 2N 1 ) = (d 1 2d 1 )Æ(s 0 2N 1 ) = (M 0 2d 1 ); onaquesefa torisedemaniereuniquesouslaforme=

1 Æ(M 0 2 N ),ou 1 : M 0 2N !A. On veut montrer que 

1 (d 0 2N) = 1 (d 1

2N).Pour ela, ilsuÆt de montrer que 1 (d 0 2 N ) =  1 (d 1 2 N )par equeM 1 2 N

estun oegalisateur(re exif)et don unepimorphisme.Ona  1 (d 0 2 N ) = (d 0 2N 0 ) = (d 0 2d 0 )Æ(M 1 2s 0 ) = (d 1 2d 1 )Æ(M 1 2s 0 ) = (d 1 2N 0 ) =  1 (d 1 2 N ): Comme  M

2N est le oegalisateurde (d 0

2N;d 1

2N), on peut fa toriserde maniere unique 1 en  1 = e Æ( M 2N) ave e

 : M2N ! A. Ainsi, on a pu fa toriser  par  M 2 N , puisque = e Æ( M 2 N ). Soit= e Æ( M 2 N

)uneautrefa torisation,onaalorsque( e e  )Æ( M 2 N )=0.D'apresla proposition15,  M 2 N

apparait ommeune ompositionde deuxepimorphismes,ils'agit don d'unepimorphisme,d'ou

e =

e

. 

6. Monode libre

Dans une ategorie monodale abelienne (A;2; I), pour tout objet A, on peut onsiderer les deux fon teursdemultipli ation( omposition)a gau he et adroiteparA(L

A

: N 7!A2N et R

A

: N7!N2A).Lorsque esfon teurspreserventles oproduits, 'est-a-direqu'ilssontadditifs, alorslades riptiondumonodelibresurV estassezsimpleet estdonneeparlesmotsenV ( f. [Ma L1 ℄VII.3).

Dans le as ou seul un de es deux fon teursest additif,la onstru tion dumonode librepeut s'e rire a l'aide d'une olimite astu ieusement hoisie. ( f. [BJT ℄ Appendix B). L'exemple des operades entre dans e adre. Ainsi, l'operade libre, deja expli itee en terme d'arbres par V. GinzburgetM.M.Kapranovdans[GK℄ orresponda ette olimite.

Par ontre,le as generalaetetrespeu traite.SeulE.Dubu proposeune solutiondans ([D ℄)a l'aided'un raÆnementtransni dela onstru tionusuelle.Nousproposonsi i, une onstru tion dierenteetplus on retequis'appliqueauxexemplesquenousetudieronsparlasuite.

6. MONOIDELIBRE

6.1. Constru tiondumonodelibre. Onsepla edansune ategoriemonodaleabelienne (A;2;I)telleque,pourtoutobjetA deA,lesfon teursdemultipli ationsL

A et R

A

preservent les olimitessequentiellesainsiqueles oegalisateursre exifs.

SoitV unobjetdeA.On onsiderel'objetaugmenteV + =IV,etonpose : I ,!V + l'inje tion de I dans V + et " : V + I la proje tion deV + sur I. On note V n =(V + ) 2n (par onvention V 0 =(V + ) 20

=I)et onappelleFS(V)l'objetdenipar L

n>0 V

n .

Remarque:Cetteobjetestmunidedegeneres en es

 i : V n =(V + ) 2i 2I2(V + ) 2(n i) V i 22V n i

//

(V + ) 2i 2V + 2(V + ) 2(n i) =V n+1 : Et,lorsqueV estunmonodeaugmente,FS(



V)estmunidefa espourdonnerlabar onstru tion simpli ialesurV ( f. hapitre6).

D 

efinition (Les ategoriessimpli iales
et
fa e

). La ategorie
fa e

estunesous- ategoriede la ategoriesimpli iale
.Danslesdeux as,lesobjets orrespondentauxensemblesnisordonnes [n℄=f0<1<


<ng,pourn2N. LesensemblesdemorphismesHom

([n℄;[m℄)sontformes desappli ations roissantesde[n℄ vers[m℄.Pouri=0;:::;n,ondenitlesappli ationsfa es "

i par " i (j)=  j si j <i; j+1 si j i: Les ensemblesde morphismesde

fa e

sont formes des seules ompositionsd'appli ationsfa es (etdesidentitesid

[n℄ ). Remarque:La ategorie

fa e

estparfoisnotee
+

danslalitterature.

Dansle asouleproduitmonodalpreserveles oproduitsagau he ommeadroite,la olimitede FS(V)surlapetite ategorie

fa e

orrespondauxmotsenV etfournitainsilemonodelibresur V noteF(V).C'estle asdanslesexemplesnumerotesde(1)a(4)pre edemment( f.se tion1). Ce i expliquepourquoila onstru tiondu monode lassiquelibre( ategorieEns,exemple (1)), del'anneaulibre( ategorieAb,exemple(3))etdel'algebrelibre( ategoriek-Mod,exemple(4)) sefaitselonlem^emes hema.

Dansle as ontraire,la olimiteColim
fa e

FS(V)est unobjettropgrospour^etreunbon an-didataumonodelibre.Ditautrement,lemorphismede on atenationV

n 2V m !V n+m nepasse pasala olimite.Onquotientedon lesV

n

avantdepasserala olimitesur
fa e

.

Posons : V !V 2

lemorphismedeniparla omposition

V  1 V  1 V

//

I2V V2I iI2iV iV2iI

//

(IV)2(IV)=V 2 : Pour A;B deux objets de A, A2V

2

2B s'inje te dans A2(V 2

V)2B via le monomorphisme A2i

V 2

2B. En onsiderantlapartiemultilineaireenV del'objetA2(V 2 V)2B,ona A2(V V 2 )2B=A2V 2 2B A2(V 2 V)2B: Ondenit R A;B =im  A2(V 2 V)2B,!A2(V V 2 )2B A2(+idV 2 )2B !A2V 2 2B  : D  efinition ( e V n ). Ondenit e V n par e V n = oker n 2 M i=0 R Vi;Vn i 2 !V n ! : OnlenoteaussiV n =( P n 2 i=0 R i;n i 2 ) .

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

Remarque:Dans le asdes operades, leS-mo duleV n

orrespondaux arbresan niveaux dont les sommets sont indi espar des elementsde V. Alors que

L n

e V n

orrespond aux arbres sans niveaux. En eet, quotienter par le S-module

P n 2 i=0

R i;n i 2

revient a identier un arbre ave

poursous-arbre

A

A

}}

V I

aum^emearbre ave lesous-arbre I

@

@

I

~~

V  alapla e. Lemme 17. (1) Lesmorphismes  i entreV n etV n+1

passent auquotient pourdonner desappli ations e i de e V n vers e V n+1 .

(2) Pourtout ouple i;j, lesappli ations e i ete j sontegales. D  emonstration.

(1) IlsuÆt devoirquel'ona 8 < :  i (R j;n j 2 )R j;n j 1 si ji 2;  i (R j;n j 2 )R j+1;n j 2 si ji;  i (R i 1;n i 1 )R i 1;n i +R i;n i 1 lorsque i=1;:::;n 1: (2) Comme(e i e  i+1 )(V n )R i;n i 1 ,onae i =e i+1 .  Onpose alors, D

efinition (F(V)). Ondenitl'objetF(V)parla olimitesequentiellesuivante:

I e 

//

j0

%%K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

K

e V 1 =V 1 =V + e 

//

j 1



e V 2 e 

//

j2

yyss

ss

ss

ss

ss

ss

e V 3 e 

//

j 3

uukkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

k

e V 4


j4

sshhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

F(V)=Colim N e V n :

Lefaitd'avoirquotientelesV n

en e V n

apermisdetransformerune olimitesurla ategorie
fa e enune olimitesequentielle.L'hypothesequeleproduitmonodal2preserve etypede olimite donnei ilaproprietesuivante:

Lemme 18. Pour tout objet A de A, les fon teursde multipli ation agau he et a droite par A, L

A etR

A

,preserve la olimite pre edenteF(V). De maniereexpli ite, on a A2Colim N e V n  = Colim N (A2 e V n ) et Colim N e V n 2A  = Colim N ( e V n 2A): Onvamaintenant her heramunirl'objetF(V)d'unestru turedemonode. L'unite,notee orrespondaumorphismej

0

: I !F(V).Quantauproduit,onledenitapartir dela on atenationV n 2V m !V n+m .Posons  n;m : V n 2V m 

//

V n+m

// //

e V n+m jn+m

//

F(V): PosonsR n = P n 2 i=0 R i;n i 2

,onaalorslasuiteexa te ourte

0

//

R n

 

i n

//

V n  n

// //

e V n

//

0:

Proposition19. Ilexiste uneuniqueappli atione n;m : e V n 2 e V m !F(V)qui fa torise n;m de la manieresuivante

V n 2V m n2m

// //

 n;m

%%J

J

J

J

J

J

J

J

J

J

e V n 2 e V m e n;m



F(V):

6. MONOIDELIBRE

D

emonstration. One ritles onoyaux e V n

ommedes oegalisateursre exifssouslaforme

R n V n d0

//

d1

//

V n s0

xx

n

// //

e V n ; ave d 0 =i n +id V n , d 1 =id V n et s 0 =i V n

. L'hypothese quele produitmonodal2 preserveles oegalisateursre exifspermetd'aÆrmer,gr^a ealaproposition16,que

n 2

m

estle oegalisateur (re exif) de (d 0 2d 0 ;d 1 2d 1

). La proposition de oule de la propriete universelle veriee par les oegalisateurs.IlsuÆtpour elademontrerque

n;m (d 0 2d 0 )= n;m (d 1 2d 1

).Cetteegalitevient dudiagrammesuivant (R n V n )2(R m V m ) id2id



(in+id)2(im+id)

//

V n 2V m

//

V n+m  n+m



V n 2V m

//

V n+m n+m

//

e V n+m ; quiest ommutatifenvertudesin lusions(R

n V n )2V m ,!R n;m etV n 2(R m V m ),!R n;m . Lemme 20. Ilexiste ununique morphismee

n;

rendantlediagramme suivant ommutatif

e V n 2I e Vn2e

//

e  n;0



W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

++

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

e V n 2 e V 1 e Vn2e

//

e n; 1

zztt

tt

tt

tt

tt

S

S

S

S

S

S

S

))

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

e V n 2 e V 2


e n;2

ssggggg

gggg

gggg

gggg

gggg

gggg

gggg

gggg



F(V) e V n 2F(V)=Colim N ( e V n 2 e V m ): 9!en; 

oo

D

emonstration. Deja,lesappli ationse n;m

ommutentave les e V n 2e e V n 2 e V m e Vn2e

//

e n; m



e V n 2 e V m+1 e  n;m+1

xxqq

qq

qq

qq

qq

F(V):

Pardenitiondela olimite,ellesengendrentdon uneuniqueappli ation e  n; : Colim N ( e V n 2 e V m )!F(V)

rendantlediagrammedel'enon e ommutatif.On on luten utilisantlelemme18pourjustier queColim N ( e V n 2 e V m )= e V n 2F(V): 

Delam^ememaniere,onalelemmesuivant.

Lemme 21. Ilexiste ununique morphisme rendantlediagramme suivant ommutatif

I2F(V) e 2F(V)

//

e 0; 



X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

,,

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

e V 1 2F(V) e 2F(V)

//

e  1;

xxqq

qq

qq

qq

qq

q

T

T

T

T

T

T

T

**

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

e V 2 2F(V)


e 2; 

rrfffff

fffff

fffff

fffff

fffff

fffff

fffff

fff



F(V) F(V)2F(V)=Colim N ( e V n 2F(V)): 9!

oo

D

emonstration. Lesargumentssontlesm^emes.  Remarque:La onstru tiondeen ommen antapasserala olimitepar lagau hepuispar ladroitedonneraitlem^ememorphisme.

Proposition 22. L'objet F(V) muni de la multipli ation  et de l'unite forme un monode dansla ategorie(A;2;I).

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

D

emonstration. La relation veriee par l'identite est evidente. L'asso iativitede  vient de elledes

n;m .

Ondenitla ouniteparpassageala olimitedesappli ations

R n = P n 2 i=0 R i;n 2 i

 

_//

V n =(V I) 2n oker

// //

" 2n



e V n 9! g " 2n

wwo o

o

o

o

o

o

I 2n =I:

qui,aprespassageala olimite,donnela ounite"voulue.  Th

 eor



eme23 (Monodelibre). Dans une ategoriemonodale abelienne quiadmet des olimites sequentiellesettellequeleproduitmonodalpreserve etypede olimiteainsiqueles oegalisateurs re exifs, lemonode(F(V);; ) est libre surV.

D 

emonstration. L'united'adjon tionest deniepar

u V : V

 

_//

V I j 1

//

F(V): Quantala ounite M

: F(M)!M,pourunmonode(M; ;)deA,onladenitparpassage 

ala olimitedesappli ations f  n suivantes: R n = P n 2 i=0 R i;n 2 i

 

_//

M n =(M I) 2n oker

// //

 n Æ(M+) 2n



f M n 9! f  n

wwn n

n n

n n

n n

M; oulesmorphismes n

represententn 1 ompositionsde:M 2n  n !M.Les f  n

sontbiendenis par eque n Æ(M+) 2n (R i;n 2 i )=0,pourtout i. Onaalorsimmediatementlesdeuxrelationsd'adjon tion

F(V) F(u V )

//

F(F(V)) F(V)

//

F(V) = id F(V) et M uM

//

F(M) F(M)

//

M = id M :  Remarque:Dansle asdesS-modules,l'objetF(V) orrespondalasommedire tesurlesarbres des S-modulesobtenus en indi antles sommetsdes arbres par des elementsde V. On retrouve l'operade libredonnee par [GK℄ en termes d'arbres (sans niveau) ainsi que la onstru tion de [BJT ℄.

6.2. Comonode olibre. Onauneautredenitionequivalentedumonodelibre.Lorsqu'il existe, le monode libre sur V est l'unique objet (a isomorphismepres) quiverie la propriete suivante:pourtoutmorphismef : V !M ouM estunmonode,ilexisteununiquemorphisme demonodes

e

f : F(V)!M telquelediagrammesuivantsoit ommutatif

V e 

//

f

""D

D

D

D

D

D

D

D

D

F(V) e f



M:

Onpeutdualiser ette denitionpourobtenir ellede omonode olibre. D

efinition (Comonode olibre). SoitV unobjetdeA.Lorsqu'ilexiste,le omonode olibreest l'uniqueobjetF

7. IDEAL

ununiquemorphismede omonodes e

f : C!F

(V)rendantlediagrammesuivant ommutatif

V F (V) e "

oo

C : e f

OO

f

bbEE

EEE

EEE

_E

7. Ideal

Rappelons qu'un ideal d'une algebre A est un sous-module de J de A tel que AJ  ! J et JA



!J. LorsqueJ est unideald'unealgebreA, lemodulequotientA=J est naturellement munid'unestru ture d'algebre.

Nous avons vu pre edemment ( f. se tion 3) que le as biadditifne permettait pas de faire la dieren eentrelesdierentesnotionsdemodules.Delam^ememanierelorsquel'onveutgeneraliser lanotiond'idealdans une ategoriemonodalequel onque,sionveut onserverlaproprieteque l'objet quotientest naturellementmunid'unestru ture demonode, ilne fautpas prendrepour denition d'ideallageneralisationstri tosensu A2J



!J et J2A 

!J. Ladenitionquenous proposonsi inereposepassurleproduitA2J mais surlapartiemultilineaireA2(AJ).

7.1. Denitionetmonodequotient. PourJ,!M unsous-objetdeM dansA,onnote M=J le onoyau(quotient)deM parJ,soit

J

 

i

//

M = okeri

// //

M=J: D 

efinition (Ideal). Unsous-objetJ d'unmonode(M; ;)estappeleideal deM sila ompo-sitionÆÆker(2)estnulle

K J

 

ker2

//

M2M 

//

M 

// //

M=J :

Ladenitiond'idealest faitepouravoirlapropositionsuivante.

Proposition24. Dansune ategoriemonodaleabelienne(A;2;I)tellequeleproduitmonodal preservelesepimorphismes, lequotientM=J est munid'une stru turenaturellede monode.

D

emonstration. D'apresla onditiondel'enon esurlesepimorphismes,2estun epimorphi-sme. CommeAest une ategorieabelienne,2 = oker(ker(2)).Par denition du onoyau, ilexisteununiquemorphismerendantlediagrammesuivant ommutatif

M=J2M=J  

//

_

_

_

M=J M2M 

//

2

OOOO

M 

OOOO

K J

?

ker(2)

OO

J:

?

i

OO

CHAPITRE1. NOTIONS MONOIDALES

Ondenitl'unitepar=Æ : I



//

M 

//

M=J:Onpeutmontrerl'asso iativitedea partirde ellede: M2M2M M2

//

22

** **T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

2M



M2M 2

vvmmm

mmm

mmm

mmm

m





M=J2M=J2M=J M=J2

//

 2M=J



M=J2M=J  



M=J2M=J  

//

M=J M2M 2

55

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j



//

M; 

hhQQQQ

QQQQ

_QQQQ

QQQ

par eque22estunepimorphisme.Onpro ededelam^ememanierepourmontrerlarelation

verieeparl'unite. 

Remarque:Gra^ ealaproposition15, onaque ette propositionestvraiedanstoute ategorie monodaleabeliennequipreserveles onoyauxre exifs.

Onjustielaterminologieutiliseepourlesmonodesaugmentesparlapropositionsuivante. Proposition 25. Soit (M;;;") un monode augmente. Alors l'ideal d'augmentation M est bienunideal ausenspre edent.

D

emonstration. Pardenitionde"morphismedemonodes,ona"ÆÆker("2")= I

Æ"2"Æ

ker("2")=0. 

Maintenant,le probleme est de savoira quoi ressemblele noyauK J

= ker(2) pour pouvoir bien omprendrel'hypotheseaverier.

Proposition26. Dans une ategorie monodale abelienne(A;2;I), soit J unsous-objetde M tel que le onoyau M=J possede une se tion. Alors, le noyau ker(2) orrespond a l'image de M2(MJ)(MJ)2M dansM2M via l'appli ation M2(M+i

J )+(M +i J )2M quenous noterons K J =M2(MJ)+(MJ)2M D 

emonstration. Cette proposition est une onsequen e dire te de la remarque qui suit le

lemme5. 

Tout e i permet de donner une autre denition, equivalente dans le as s inde, de la notion d'ideal.

Corollaire27. Unsous-objet J

 

i

//

M

d'unmonodeM,telqu'ilexisteunobjetNveriant JN =M, estunidealde M sietseulement si

8 > < > : M2(MJ) M2(M+i)

//

M2M 

//

J (MJ)2M (M+i)2M

//

M2M 

//

J:

Remarque:Il estequivalentdedire queJ est unbimodulemultilineairesur M pourlarepr e-sentationreguliere.

Ce iressembleplusaladenition lassiqued'unideal.Eneet,dansle asd'unproduitmonodal biadditif, elarevientaexigerque

8 < : M2J 

//

J J2M 

//

J:

Onre onnaitbienlanotiond'idealpourunanneauouunealgebre.

Dansle asdesoperades( ategoriedesS-mo dulesmunieduproduitÆ),ladenitiondevient 8 > > < > > : M S n M(i 1 )


J(i k )


M(i n ) | {z } aumoinsunJ 

//

J JÆM 

//

J:

Onretrouveladenitiondonneedans[GK℄etparM.Markldans[Ma1℄.

7.2. Idealengendre. Supposonsmaintenantquela ategorieAsoitpetiteet omplete,pour pouvoirdenirl'interse tiond'un ertainensembled'objets( f.[Ma L1℄).

D

efinition (Idealengendre). SoitRunsous-objetd'unmonodeM.Onappelleideal engendre parR ,lepluspetitidealdeM ontenantR .Cedernierexisteetestdonneparl'interse tion

T J

J pourJ idealde M ontenantR (R ,!J ,! M).On lenote (R )

M

voire (R ) lorsqu'iln'y apas d'amibigute.

PourRunsous-objetdeM,on onsiderelapartiemultilineaireenR deM2(MR )2M 'est-

a-dire

M2(MR )2M = oker(M 2M2M !M2(MR )2M):

Ledes riptiondel'idealengendresurRal'aided'uneinterse tionn'etantpastresexpli ite,onen donne uneautre forme. Commeladenition d'idealrepose surlanotionde partiemultilineaire, l'ideallibrese onstruitaussiave ette notion.

Proposition28. SoitR unsous-objetd'unmonodeM.Alorsl'ideal engendreparR orrespond  al'image dumorphisme M2(MR )2M  2 Æ(M2(M+i)2M)

//

M

quel'on notera(R ). D

emonstration. Al'aidede ladeuxieme ara terisationd'unideal( orollaire27),onvoitque (R )estunidealdeM.Puis,pourtoutidealJ deM ontenantR ,onaque

M2(MR)2M 

2

//

J:

Don ,(R) estin lusdanstout J et ainsi(R )= T

J

J. 

Remarque:L'ideallibre(R ) orrespondaubimodulemultilineairelibreengendreparR .

Onretrouvele asdesanneauxetdesalgebres (R )=

2

(ARA);

ainsi que elui desoperades.Par exemple, V. Ginburg et M. M.Kapranov dans[GK℄ de rivent l'idealengendreparunS-mo duleRave lesarbresdontlessommetssontindi espardeselements deM,enimposantqu'aumoinsunsommetsoitindi eparunelementdeR .

8. Fon teurs polynomiauxet analytiques

La notionde fon teuranalytique,qui est une olimitede fon teurspolynomiaux, est essentielle danslerestede etravail.

Danslasuitede ette these,nous introduironsunnouveauproduitmonodal

quenous etudi-eronsendetails.Uneproprietefondamentalede eproduitestquelesfon teursdemultipli ation induitssontdesfon teursanalytiquess indes.Commelesfon teursanalytiquess indespreservent les oegalisateursre exifs,onpourraappliquerla onstru tiondumonodelibrea ette ategorie. Enoutre,lefaitdere onnaitresurlesproduitsA

B unestru tureanalytiquepermet d'intro-duire unegraduationsupplementaire(voireune bigraduation)sur detelsobjets. C'est ette idee