Cadre bayésien markovien pour l'estimation de la HRF et la détection des activations en IRM fonctionnel

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Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF

et la détection des activations en IRM fonctionnel

Alexandre Janon

To cite this version:

Alexandre Janon. Cadre bayésien markovien pour l’estimation de la HRF et la détection des

activa-tions en IRM fonctionnel. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. 2009. �hal-00831300�

la HRF et la déte tion des a tivations en IRM

fon tionnel.

Rapportdu stage de Master re her he 2ème année Mathématiques appliquéesee tué à l'INRIARhne-Alpesetau G.I.N. (Grenoble Institut

1 Introdu tion 3

1.1 Résumé . . . 3

1.2 Présentation des équipesd'a ueil . . . 3

1.3 Présentation de l'imageriepar résonan e magnétique . . . 4

1.4 Problèmes posés par letraitement des données IRMf . . . 6

1.4.1 Quantité de données àtraiter . . . 6

1.4.2 Bruit . . . 6

1.4.3 Faiblesse de l'eet BOLD . . . 7

1.4.4 Filtragedu signal . . . 7

2 Analyse des signaux en IRMf 9 2.1 Modélisationdu signal (GLM) . . . 9

2.2 Contrastes entre onditions. . . 10

2.3 Appro he standard par tests . . . 10

2.4 Lissage spatial . . . 11

2.5 Appro he bayésienne . . . 12

2.5.1 Champs de Markov . . . 13

2.5.2 Inféren e . . . 14

2.6 Modélisationet estimation de la HRF . . . 16

3 Première appro he : modèle Gamma-Gamma-Gaussien et ICM 19 3.1 Modélisationbayésienne . . . 19

3.2 Estimationdes paramètres . . . 22

3.3 Inféren e ICM . . . 23 3.3.1 Algorithmed'inféren e . . . 23 3.3.2 Mise àjour de

h

. . . 23 3.3.3 Mise àjour de

a

. . . 25 3.3.4 Mise àjour de

z

. . . 27 3.3.5 Initialisation. . . 27 3.3.6 Algorithmenal . . . 29 3.4 Simulationde données . . . 29 3.5 Evaluation de l'appro he . . . 30 3.5.1 Evaluation de l'estimation/déte tion . . . 30 3.5.2 Evaluation de l'estimation de la HRF . . . 36

variationnel 47

4.1 Loia posteriori des

z

. . . 47

4.2 Loia posteriori des

a

. . . 50

4.3 Comparaisonde onditions . . . 51

4.3.1 Contraste . . . 51

4.3.2 Divergen e KL . . . 51

4.4 Estimationde

h

. . . 51

4.5 Estimationde

β

1

. . . 53

5 Troisième appro he : modèle auto-gaussien 53 6 Con lusion et perspe tives 54 6.1 Con lusion . . . 54

6.2 Extensions possibles . . . 54

6.2.1 Meilleure prise en ompte du bruit . . . 54

6.2.2 Estimationde laHRF par zones . . . 54

A Première implémentation 57 A.1 Des ription . . . 57

A.2 Format de  hier de design . . . 58

A.2.1 Paramètres . . . 58

A.2.2 Conditions . . . 59

A.2.3 Exemples de  hier de design . . . 59

1.1 Résumé

Dans e mémoire,nous présentons d'abord brièvement l'imageriepar

ré-sonan emagnétiquefon tionnelle,etnousdégageonslesdi ultésposéespar letraitementstatistiqueautomatisédesimagesobtenuespar ettete hnique.

Puis nous présentons quelques unes des méthodes existantes, se basant sur

un modèle xe de la HRF, pour un tel traitement. La ontribution de e mémoire onsiste en la proposition d'une méthode bayésienne pour estimer

la HRF et prendre en ompte la orrélation spatiale des a tivations via un

modèle markovien. Après la des ription de ette méthode, nous l'évaluons sur des données simuléesetréelles,etnous terminonsen présentant desaxes

possiblesd'extension.

1.2 Présentation des équipes d'a ueil

Cestage dere her he s'estdérouléauseinde deux équipesde re her he :

 l'équipe MISTIS, dépendant de l'INRIA Rhne-Alpes, dont l'obje tif

est de développer des méthodes statistiquesadaptées à l'étudede phé-nomènes, de modèles et de données omplexes, ave pour orientations

appli ativesprivilégiéesle traitement d'imageset de données spatiales

dans les domaines biomédi aux et industriels; l'appro he de l'équipe est basée sur l'introdu tion de la notionde stru ture dans lesmodèles

et dans les données; les thèmes de re her he sont les suivants : les

modèles de mélange, les modèles markoviens, et les méthodes semi et non-paramétriques.

 l'équipe 5 (Neuro-imagerie Fon tionnelleet Métabolique) de l'Institut

des Neuros ien es de Grenoble, qui s'intéresse aux appli ations bio-médi ales in vivo de la résonan e magnétique nu léaire (RMN). Les

travaux, ee tués tant sur l'homme que sur petit animal (rat, souris),

visent audéveloppement,àl'évaluationetàl'exploitationdu potentiel en neuros ien es liniques, biologiques et ognitives de l'ensemble des

méthodes de neuroimageriepar RMN. Les travaux ont été développés

autourde troisthèmesdere her he:lami ro-vas ularisation érébrale, le métabolisme érébral et l'IRM fon tionnelle (IRMf) des a tivations

tique

L'IRM (imagerie par résonan e magnétique) est une te hnique non

in-vasive permettant d'obtenir une image en trois dimensions d'une partie du

orps. Elleest basée sur lamesurede laréponse de lazone étudiéeà l'appli- ation d'un hamp magnétique de forteintensité (a tuellement entre 2 et 4

T),ladistin tionentredeuxmilieuxdiérentsétantfondéesurleursréponses

diérentes.

Cette te hnique peut être utilisée pour produire une vue 3D du erveau

oùsontdistinguésmatièregrise,matièreblan heetliquide éphalo-ra hidien,

ave unerésolutiondel'ordredumillimètre;onparlealorsd'IRManatomique érébrale. Voiren Figure1 pour un exemple d'image obtenue.

Une autre appli ation de l'IRM, plus ré ente, est la mesure de l'a tivité

du erveau au ours du temps. Elle se base sur la diéren e de réponse magnétique entre une molé uled'hémoglobineoxygénée etune désoxygénée.

Lorsqu'unneuroneesta tivé,l'auxsanguinautourde eneuroneaugmente,

e qui se traduit par l'augmentation de la on entration en hémoglobine oxygénée et don par une modi ation du signal IRM observé. Ce prin ipe

se nomme eet BOLD (pour blood-oxygen-level-dependent)et est à la base

de l'IRM fon tionnelle (en abrégé IRMf). En IRMf, les a quisitions sont répétées au ours du temps; la durée entre deux a quisitions étant le temps

de répétition (TR), de l'ordre de deux à trois se ondes; voir Figure 2. An

d'avoirunrapportsignal-sur-bruitsusant,unerésolutionspatialedel'ordre de 3millimètresest utilisée.

La on eptiond'uneexpérien ed'IRMf onsisteàdénirdiérentes

ondi-tions qui sont répétées su essivement. Ces onditions sont la réalisationde diérentestâ hes motri esou ognitives(bougerlesdoigtsde lamaindroite,

omparaison d'objets...) ouen oreune ondition nulle(de ontrle).Par

exemple, lorsd'uneexpérien e sur lavisiondes ouleurs, onpeutalternerla présentation d'une image en niveaux de gris ( ondition A), la présentation

d'une image en ouleurs ( ondition B) ou une ondition C de repos

( ondi-tionnulle).Chaque onditionpeutêtreprésentéeplusieursfoisau oursd'une session, etdurantun tempsplus ou moinslong; par exemple la ondition A

peut être présentée pendant 5 se ondes, puis la B pendant 3 se ondes, la C

pendant 10 se ondes, ensuite la B pendant 7 se ondes, et . La des ription des intervallesdetempsdurantlesquels haque onditionesta tive onstitue

le design de l'expérien e.

L'analyse fon tionnelle des données issues de l'expérien e onsiste alors en la déterminationdes zones du erveau a tivées lorsde ha une des

ondi-Fig. 2: Les données IRMf sont en quatre dimensions : la zone étudiée est

dé oupée en petits ubes (d'environ 3 millimètres de té) appelés voxels; en haque voxel on dispose d'un dé ours temporel (à droite) représentant

ouleurs, on peut vouloir déterminer les zones impliquées dans la vision en général ( onditions A et B ontre ondition C) ou les zones a tives dans la

vision des ouleurs ( ondition A ontre B).

Ces expérien es permettent d'améliorerla ompréhension du fon tionne-mentdu erveau; ellesont égalementdes appli ations liniques,tellesquela

délimitation des aires visuelles ou motri es pour préparer une intervention

hirurgi ale.

1.4 Problèmesposés parletraitement desdonnées IRMf

1.4.1 Quantité de données à traiter

De part leur nature quadri-dimensionnelle, les données re ueillies lors

d'une expérien e d'IRMf sont relativement volumineuses. A titre d'exemple

réaliste, onsidéronsune sessionde 360 se ondes omportantune a quisition toutes les3 se ondes, etune zone d'a quisition étantun pavé de dimensions

20 m, 20 m et 10 m, ainsi qu'une résolution spatiale de 3 millimètres;si

l'on suppose que lesmesures sontsto kées sous formede oat (2 o tets),les données àtraiter, pour un seul sujet, ont une taillede

360

× 200 × 200 × 100

3

× 3 × 3 × 3

× 2 ≈ 34

Mo.

Cettetailleestàmultiplierparlenombredesujets,uneétude ognitiveétant

rarement menée sur un seul sujet.

L'importan e du volume des données impose l'utilisation de te hniques spé iques pour ee tuer letraitementdes données.

1.4.2 Bruit

Le signal re ueilli en IRM est bruité de manière importante, les sour es

de bruit in luant:

 lebruitgénéréparlama hine(bruitthermique,manqued'homogénéité de l'aimantproduisantle hamp magnétique...);

 le bruit physiologique,dû auxartefa ts ardio-respiratoires;

 lebruit ognitif,dûauxsour esde distra tiondupatientdurant l'expérien e (stimuliindésirables,endormissement du patient...);

A signaler également, même s'ils ne sont pas à lasser dans les bruits ,

lesartefa tsgénérés parlespré-traitementsappliquéssur lesdonnéesbrutes, tels que:sli e orre tion ( orre tiondu faitquelesdiérentes oupesnesont

L'auxsanguinproduitunevariationdusignalIRMmesurémais elle- i

est relativement faible (de l'ordre de 1 à 2%) par rapport ausignal mesuré

aurepos(sansauxsanguin).End'autrestermeslaprésen edemolé ules d'oxyhémoglobine dûe à une a tivation spé ique ontribue peu au signal

observé.

1.4.4 Filtrage du signal

Lors de l'a tivation d'un neurone,le débitsanguinne passepas

brusque-ment du niveau zéro au niveau maximal, mais augmente progressivement; un délai d'environ 5 à 6 se ondes est né essaire pour qu'il atteigne le

ni-veau maximal. De même, lors d'une désa tivation, le débit met un temps

importantà redes endre auniveau de repos.

Dans un voxel a tivé par une ondition donnée, lesignal BOLD attendu

est don la onvolutiondelafon tionindi atri edela onditionave unltre

appeléfon tion de réponse hémodynamique (HRF).

La fon tion de réponse hémodynamique n'est pas onnue; de plus elle

varie selon les individus, et suivant la zone du erveau, au sein d'un même

individu. Cependant elle reste toujours, pour un sujet adulte et en bonne santé, relativementpro he de laHRF anoniqueprésentée enFigure3.Pour

des sujets très jeunes oupathologiques (par exemple les patients ayant subi

un a ident vas ulaire érébral, ou eux sourantd'épilepsie), lafon tion de réponse hémodynamique peut être assez éloignée de ette HRF anonique.

Pour plus de généralités sur les signaux IRMf, on pourra se reporter à

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

10

20

30

40

50

60

(a)Fon tion indi atri ed'une onditionexpérimentale.

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0

5

10

15

20

25

30

(b)Fon tionderéponsehémodynamique.

( )SignalBOLDattendudansunezonea tivéepar ette ondi-tion.

2.1 Modélisation du signal (GLM)

Le signal IRM mesuré est modélisé par une olle tion de ve teurs

y

i

=

(y

i1

, . . . , y

iT

)

,

i = 1, . . . , J

(où

J

est le nombre de voxels omposant l'image

traitée et

T

la durée de l'expérien e), vériant l'équation suivante, appelée

GLM pour GeneralLinear Model :

∀i = 1, . . . , J y

i

=

M

X

m=1

a

im

(x

m

⋆ h) + n

i

1

+ ǫ

i

(1) où :

 l'indi e

m

désigne une des onditions expérimentales, et

M

désigne le nombre de es onditions;

 le réel

a

im

est leniveau de réponse du voxel

i

àla ondition

m

;

 leve teur

x

m

est leve teurbinaireindi ateur des instantsoùla ondi-tion

m

est a tivée (onsets) :

x

m,t

= 1

si 'est le as à l'instant

t

, et

x

m,t

= 0

sinon;

 leve teur

h

est un é hantillonagede lafon tionde réponse hémodyna-mique, de sortequela onvolution

x

m

⋆ h

ontiennelaréponse atten-dueillustréeenFigure3;ilestànoterquelapérioded'é hantillonage de

h

peut être inférieure au temps de répétition TR, an d'améliorer le alagedes onsets qui ne sont pas for émentdes multiplesdu TR;

 le ve teur

1

est leve teur de dimension

T

ne ontenantque des 1,

n

i

1

représente don la  omposante ontinue  du signal, qui n'est dûe

à au une des onditions prévues dans l'expérien e; ertains modèles

in luent de la même manière des omposantes basses fréquen es (drifts) dûes aux mouvements lents du patient, aux artefa ts

ardio-vas ulaires, àla respiration, ainsi qu'aux dérivesde l'appareil

d'a qui-sition ( f. [14℄, hapitre 2,Ÿ4.3).

 le ve teur

ǫ

i

est leve teur des résidus; le modèle le plus simple (bruit blan gaussien) suppose

(ǫ

i

)

i=1,...,J

indépendants, suivant une loi

nor-male

N (0, σ

2

_I

T

)

(où

I

T

désigne la matri e identité

T

× T

); ette hy-pothèse, peu réaliste, est souvent rempla ée par elle d'une olle tion

(ǫ

i

)

i=1,...,T

de séries hronologiques indépendantes suivant ha une un modèle AR(1)gaussien ( f [26℄).

L'équation 1peut s'interpréter omme une régression linéairemultiple :

où

y

i

estlavariableexpliquéeetlamatri e

X

,supposéedepleinrang(

M +1

), la matri edes variablesexpli atives :

X =













(x

1

⋆ h)

| (x

2

⋆ h)

| . . . | 1













et

ea

i

est le ve teur ontenant les paramètres

ea

i

=















a

i1

a

i2

. . .

a

im

n

i















Lorsque

X

est onnue, es paramètres peuvent être estimés par la méthode des moindres arrés :

b

ea

i

= (X

T

X)

−1

X

T

y

i

b

σ

2

₌

P

i











y

i

− X b

ea

i













2

T

− (M + 1) − 1

2.2 Contrastes entre onditions

La déterminationdes zones a tivées par une ondition expérimentale en

omparaison d'une autre sefait en al ulant pour haque voxel l'eet

b

γ

i

= c

T

a

b

i

où

a

i

= (a

i1

, . . . , a

im

)

T

et

c

est le ve teur des ontrastes, qui indique les onditions expérimentales que l'on veut omparer. Par exemple si l'on

sou-haite omparerleszonesa tivéesparla ondition1parrapportàla ondition 3, on prendra

c = (1, 0,

−1)

;pour omparer la ondition 1 ave lamoyenne des onditions 2et 3,on hoisira

c = (

−1, 0.5, 0.5)

.

2.3 Appro he standard par tests

Une fois l'eet

γ

b

i

al ulé (phase d'estimation), il reste à déterminer si elui- ieststatistiquementsigni atifounon(phasede déte tion).Pour ela

on utilise un test statistique, visant à omparer l'hypothèse nullele voxel

t

-statistique:

t

j

=

b

γ

i

bσ

p

c

T

_(X

T

_X)

−1

_c

qui,sous l'hypothèsenulle, suituneloide Student à

M + 1

degrésde libertés ( f. [6℄, hapitre7).

Les statistiques

t

j

étant al ulées pour haque voxel, on obtient une SPM (statisti al parameter map) qui donne le niveau de signi ativité du ontraste mesuré dans haque voxel.Il fautalors hoisir une valeur seuil

en dessousde laquelle un voxel est onsidéré omme non signi atif.

Le hoix de ette valeur seuil est rendu di ile par le fait que des tests multiples sont ee tués. En eet supposons que nous utilisions sur haque

voxel un test possédant un risque de première espè e (faux-positif)

α

; si nous ee tuons e test

n

fois le nombre moyen de faux-positifs déte tés sera

de

nα

. Par exemple supposons

α = 0.05

et

n = 10

4

(nombre réaliste de

voxels dansune image),ily aura en moyenne 50faux-positifsdéte tés. Pour

résoudre eproblème,une orre tionpossibleestla orre tiondeBonferroni, qui né essite d'utiliser un test ave un risque de première espè e

α/n

pour obtenirunniveaude risqueglobalmajorépar

α

, ettebornepouvantêtre atteintedans le as oùlestests sont indépendants.Cette orre tion est trop  onservative dans le as qui nous intéresse ar les tests sont loin d'être

indépendants : lesa tivations ontlieu dans des zones ontigües de plusieurs

voxels, et lerésultat d'un test sur un voxel est très orréléave les résultats destestssurlesvoxelsvoisins.Pourtenir omptede ettedépendan e,ondoit

abandonnerlestestsvoxelparvoxelet onsidérerlaSPMdanssonensemble,

en la modélisant omme un hamp gaussien (gaussian random eld, GRF); f. [6℄, hapitre14.

Pour plus de généralités sur l'appro he GLM, on pourra se reporter à

l'ouvrage [13℄.

2.4 Lissage spatial

Préalablement à l'estimation des paramètres dans l'équation 1, on

ap-pliquegénéralementunlissagede l'image,and'augmenterlerapport signal-sur-bruit (SNR), auprix d'une détériorationde la résolution spatiale.

Uneméthode de lissage lassique est la onvolutionave une gaussienne;

ependant ils existe d'autres lissages dits adaptatifs, qui tiennent mieux ompte des ontours de l'image, tels que l'algorithme PS

Parrapportàl'appro he lassiqueévoquée i-dessus, uneappro he

bayé-sienne présente lesavantages suivants:

 une gestion élégante des in ertitudes : en parti ulier une analyse bayésienne donne une distribution a posteriori qui possède une

inter-prétation intuitive (à omparer ave l'interprétation plus déli ate des

niveaux de risques dans lestests et des intervalles de onan e en sta-tistique lassique);

 un adrethéoriquebienadaptépourintégrerdes onnaissan es apriori

(par exemple anato-fon tionnelles) on ernant le signalà traiter, amé-liorantla pré isiondes résultats fournis;

 des méthodes de hoixde modèles (Bayes fa tor).

Pourplus d'informationssur l'apportdesméthodesbayésiennes en IRMf,on pourra onsulter [24℄.

Dans une appro he bayésienne, on onsidère les paramètres

Θ = (θ

i

)

i

omme des variables aléatoires, dont onspé ie la loi

p(Θ)

, qui modélise la onnaissan esur lesparamètresquel'onaavantd'observerlesdonnées, d'où

son nom de loi apriori. On spé ie également une vraisemblan e

p((y

k

)

k

|Θ)

qui modélise le omportementdes données une fois les paramètres onnus.

L'inféren e bayésienne onsiste à al uler (ou, tout au moins, onnaître

ertaines ara téristiques, ommele(s)mode(s),lamoyenne,lavarian e,...)

la distribution a posteriori

p(Θ

|(y

k

)

k

)

, qui dé rit la onnaissan e que l'on a sur lesparamètresune foisque l'onaobservélesdonnées. Cettedistribution

est donnée par larègle de Bayes:

p(Θ

_|(y

k

)

k

) =

p((y

k

)

k

|Θ)p(Θ)

p((y

k

)

k

)

=

R

p((y

k

)

k

|Θ)p(Θ)

p((y

k

)

k

|(θ

i

)

i

)d((θ

i

)

i

)

(2)

Un modèle purement bayésien onsidère tous les paramètres omme des

va-riables aléatoireset leur donne une loia priori, mais un modèle peut tout à

fait ontinuer à traiter ertains paramètres omme de vrais paramètres, sans leur donnerde loisa priori. Ces derniers paramètres sont alors estimés

de manière lassique, par exemple par maximum de vraisemblan e.

Un in onvénient des méthodes bayésiennes est que l'intégrale gurant dans (2)est souventin al ulableanalytiquement,etun al ulnumérique

ap-pro hé est souventinfaisable, omptetenude ladimensionde etteintégrale

(quiest égale auxnombrede paramètres). Laloia posteriori est dans e as onnue à une onstante multipli ative près, et il faut alors avoir re ours à

Lesignalmesuré en IRMfest très orréléspatialement,puisque leszones

a tivées s'étendent sur plusieurs voxels. Tenir ompte de ette dépendan e

spatialepermetd'améliorer onsidérablementladéte tion etl'estimationdes a tivations. Dans ette partie, nous dé rivons une manière de tenir ompte

de ladépendan e spatiale entre les voxels.

Champs de Markov et lois de Gibbs. Soit

V

un ensemble (ni) de

points appelés sites. On se donne un graphe

G

non orienté, sans bou le, dont lessommets sont leséléments de

V

.Pour un site

v

∈ V

,on note

N (v)

l'ensembledes voisins de

v

, 'est àdirel'ensembledes sitesreliés à

v

par une arête de

G

. Comme

G

n'apas de bou le,un sommetne peut être sonpropre voisin.

Une olle tion

(Z

v

)

v∈V

de variables aléatoires est un hamp de Markov sur

G

sila loi onditionnellede

Z

v

sa hant

Z

v

′

pour

v

′

_{6= v}

est égale à la loi

onditionnelle de

Z

v

sa hant

Z

v

′

pour

v

′

_{∈ N (v)}

. Le graphe

G

donne don

l'informationsur lesintera tions possibles entre lesvariables

(Z

v

)

.

Uneloi de Gibbs sur

G

est une loidontla densitése fa torisesuivantles liques de

G

,i.e. une loidont ladensité

p

est de la forme:

p(z

1

, . . . , z

|V |

)

∝

Y

C∈C(G)

V

C

(z

v

; v

∈ C)

(3)

oùonanoté

C(G)

l'ensembledes liques de

G

, une lique étantun ensemble maximal de sites deux à deux voisins. Lesfon tions

V

C

sontappelées poten-tiels de Gibbs.

Ilest fa ilede vérier quesi

(Z

v

)

v

suit uneloide Gibbssur

G

,alors 'est un hamp de Markov sur

G

. Laré iproqueest égalementvraie, si ladensité de laloide

(Z

v

)

v

est stri tementpositive(théorèmede Hammersley-Cliord, f. [3℄, [1℄).

Modèle de Potts Un exemple important de loi de Gibbs est donné par

le modèle de Potts dans lequel toutes les liques sont d'ordre2 etoù haque

variablepeut prendre un nombre ni de valeurs appelées lasses et oùpour haque lique

C =

{v, v

′

_}

, supposée d'ordreau plus égal à 2, lepotentiel de

Gibbs est donnépar

V

C

(z

v

, z

v

′

) = exp(

−2βδ(z

_v

, z

_v

′

))

(4) soit en ore

p((z

v

)

v

)

∝ exp



−β

X

v

X

v

′

_{∈N (v)}

δ(z

v

, z

v

′

)





(5)

où

δ

désigne le omplémentaire du symbole de Krone ker :

δ(x, y) = 0

si

x = y

et

δ(x, y) = 1

sinon, et

β > 0

est un oe ient rendant ompte de la

for edesintera tionsentrelesdiérentssites.Dans emodèle,deuxvariables

voisines ontune probabilitéd'êtreégales d'autantplus importanteque

β

est grand.

Modèle auto-gaussien Un autre exemple de loi de Gibbs, toujours ave

des liques d'ordre 2, mais ave ette fois- i des variables ontinues, est le

modèle auto-gaussien, oùlaloi onjointedes

(Z

v

)

v

est :

p((z

v

)

v

)

∝ exp



−β

X

v

X

v

′

_{∈N (v)}

(z

v

− z

v

′

)

2





(6)

Le oe ient

β > 0

est toujours un oe ient traduisant la for ede l'inter-a tion entre deux variablesvoisines.

Modélisation de l'intera tion spatiale entre les voxels. Lors du

traitement bayésien d'uneimage IRMf,un modèle de Potts peut être utilisé

omme a priori régularisantde lamanièresuivante: lessommetsdu graphe

dedépendan esontlesvoxelseux-mêmes,les lassessont{a tivé,nona tivé} etlesvoisinsd'unvoxelsontses6voisinsausensphysique(enhaut,enbas,à

gau he, àdroite,en avant,en arrière).L'équation(5)rendalorsbien ompte

du fait que siun voxel est a tivé (resp.non a tivé), alorsses voisins ont une probabilité importanted'être a tivés (resp. non a tivés). Ce modèle permet

don d'ee tuersimultanémentla lassi ationdesvoxelsetlarégularisation

spatiale. Nousutilisons e modèle dans nos deux premières appro hes. Notre troisième appro he ne lassie pas les voxels, mais impose une

régularisation spatiale dire tement au travers du prior auto-gaussien utilisé

sur les niveaux de réponse

a

im

, ave le même graphe de dépenden e que i-dessus.

2.5.2 Inféren e

Dans ettepartienousprésentonsquelques méthodesd'inféren eutilisées

pour obtenirdes informationssur une loi a posteriori

Θ

|y

(

Θ

est l'ensemble desparamètreset

y

sontlesdonnéesobservées),dontladensitéest onnue seulementàune onstantemultipli ativeprès,ainsiquedé ritdanslase tion

Monte-Carlo onsistent en la simulation d'un é hantillon de la loi a poste-riori, puis du al ul des ara téristiques de ette loi (moyenne, varian e,

histogramme...) à partir de l'é hantillon simulé.

L'algorithme utilisé pour la simulation de l'é hantillon est l'algorithme de Metropolis-Hastings ( f. [7℄), dont l'é hantillonnage de Gibbs est un as

parti ulier. Cet algorithme onstruit, à partir de la donnée d'une loi dont

la densité est onnue à une onstante près, une haîne de Markov dont la distribution stationnaire est laloi à simuler.

Les méthodes de Monte-Carlo donnent de bonnes approximations, sont

bien justiées théoriquement et donnent a ès à toutes les ara téristiques des loismais demandent des tempsde al ul généralementassez longs.

Iterated Conditional Modes (ICM) L'algorithme ICM ( f. [2℄) peut

êtreutilisépourdéterminerlemoded'uneloijointe

p(x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

quin'est pasmaximisabledire tement,maisdontleslois onditionnelles

p(x

i

|x

j

, i

6= j)

le sont.

Leprin ipede l'algorithme est le suivant :

Initialiser

x

1

, . . . , x

n

;

Tant quenon onvergé faire : Pour

i

entre 1et

n

faire :

Mettreà jour

x

i

selon

x

i

← arg max

e

x

i

p(

x

e

i

|x

j

, j

6= i)

; L'algorithmeICMestplusrapidequelaméthodeMCMCmaisilnedonne pasa èsàtoutel'informationsurlaloiaposteriori;deplusilestseulement

onvergent vers un maximumlo alde lavraisemblan e(lavraisemblan e ne

faisant qu'augmenter à haque étape), et est don assez sensible à l'initiali-sation de l'algorithme.

Notre première appro he utilise ette méthode d'inféren e.

Appro hes variationnelles,variational EM Dansune appro he

varia-tionnelle, la loi a posteriori

p(Θ

|y)

est approximée par une autre loi

q(Θ)

; plus pré isément nous imposons laformede laloi

q

, ette loidépendant de paramètresquisontdéterminésen her hantàminimiserladivergen e de

Kullba k-Leibler

KL = E

q



ln

q(Θ)

p(Θ

_|y)



,

quiestunemanièrede quantierladistan eentre lesdeuxlois

q

et

p(.

|y)

. L'appro he EM variationnelle ( f. [11℄ ou [22℄), basée sur une version

permettant d'obtenir à la fois une approximation de la loi des paramètres a posteriori, et d'estimer les paramètres non bayésiens par maximum de

vrai-semblan e.

Les méthodes EM variationnelles sont déjà utilisées dans ertaines ap-pro hes de traitement des données issues d'IRM fon tionnelles ( f. [18℄).

Nousutiliseronsuneméthodevariationnelledansnotrese ondeappro he.

2.6 Modélisation et estimation de la HRF

Dansl'appro he lassique présentée plushaut, lafon tionHRFest posée

omme un a priori xe, la déte tion et l'estimation des a tivations étant

menées ommesitouslessujetsavaientlamêmeHRFdanstouteslesparties du erveau.

Il existe plusieurs formules analytiques modélisant une HRF ayant un sens physiologique. Nous donnerons omme exemple la diéren e de deux

gamma:

h(t) =



t

d

1



a

1

exp



−

t

− d

1

b

1



− c



t

d

2



a

2

exp



−

t

− d

2

b

2



ave

t

le temps exprimé en se ondes. Les valeurs anoniques données aux paramètres sont les suivantes ( f. [20℄)

a

1

= 6

,

a

2

= 12

,

b

1

= b

2

= 0.9

,

d

i

= a

i

b

i

pour

i = 1, 2

et

c = 0.35

. Voiren Figure 4pour une représentation

de ette fon tion.

On peut égalementvouloir estimerlaHRF du sujetà partirdes mesures

ee tuées et l'utiliser pour la déte tion/estimation des a tivations. Pour un sujet sain, ette estimation supplémentaire permet d'espérer raner la

déte tion des a tivations;pour un sujettrès jeune ouatteintd'une maladie,

ette estimation est né essaire sil'on veut traiterl'image, omptetenude la forme très diérente de la HRF hez es sujets.

Des appro hes paramétriques d'estimationde la HRFont été proposées,

ave estimation des paramètres par maximum de vraisemblan e (ou maxi-mum a posteriori) ( f. [25℄); il existe également des appro hes

semi-para-métriques, où la fon tion HRF est dé rite omme une ombinaison linéaire

(ave d'éventuelles ontraintes sur les oe ients pour que la HRF estimée fasse sens physiologiquement)de fon tionsde base; ennonpeut également

faireune estimationnon-paramétrique.Dans e as, pouraméliorer

l'estima-tion de laHRF

h

onpeut intégrerdeux onnaissan es a priori ( f.[15℄) :  la fon tion

h

vérie

h(0) = 0

et que

h(D) = 0

pour

D

de l'ordre de 25

à 30se ondes 1

;

1

 la fon tion

h

est àvariationslisses, 'est-à-dire que sa dérivée se onde a une norme

L

2

petite.

A noter également que lors de l'estimation de la HRF un problème

d'iden-tiabilité se pose : en eet, dans le modèle linéaire (1), si on multiplie la

fon tion

h

par un fa teur onstant

k

6= 0

et que l'on divise les niveaux de réponse

a

parlemêmefa teur

k

,onobtientdeux valeursdesvariablesà esti-mer quimaximisentlavraisemblan edu modèle(ou ladensitéa posteriori).

On peut résoudre e problème en normalisant

h

, soiten imposant

||h||

2

_{= 1}

, e quidevrait rendre leproblème bien posé ( f. [15℄), ausigne de

h

près; ou en ore en xant le maximum de

|h|

à 1.

0

50

100

150

200

250

300

t (0.1 s)

Gaussien et ICM

Nous avons hoisi de partir du modèle présenté dans [15℄. Nous nous

proposons de modier e modèle en enlevant leshyperparamètresbayésiens,

et d'utiliserà lapla e un hamp de Markov an de modéliser ladépendan e spatialeentrelesvoxels.Lesauteursdumodèleoriginalutilisentuneméthode

de type MCMC pour ee tuer l'inféren e, e qui donne des temps de al ul

assez longs.Nousutilisonsun algorithmedetypeICMande disposerd'une méthode de traitement plus rapide.

Cetteappro he aétéétudiéeindépendammentde l'arti le[23℄, ette

der-nièreappro heutilisantplus depriorsetsaméthode d'inféren eétanten ore

un MCMC.

3.1 Modélisation bayésienne

Nousreprenons les notations de l'équation (1):

y

i

=

M

X

m=1

a

im

(X

m

h) + n

i

1

+ ǫ

i

, i = 1, . . . , J

(7)

où

X

m

désigne l'appli ationlinéaire

h

7→ x

m

⋆ h

.

Pour omprendrelaformede ette matri e

X

m

,voi il'exemple(peu réa-liste) d'un expérien e de 6 se ondes, ave un TR de 2 se ondes; supposons que le temps de retour à zéro de

h

soit de 3 se ondes, et que nous é han-tillonions la fon tion de réponse hémodynamique toutes les 0.5 se ondes;

apparaîssantpour

t = 0

set

t = 4

s. La matri e

X

m

est alors égale à:

X

m

=

































































1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

































































La matri e

X

m

est don formée d'une su ession blo s identitéquand la ondition est a tiveou nulsinon.

Nousfaisonsl'hypothèsed'unbruitblan gaussien:les

(ǫ

i

)

i

sont indépen-dants et suivent une loi normale entrée, de matri e de varian e/ ovarian e

σ

2

e

I

T

,de sorte que

y

i

|a

i

, h

suit une loinormale,de moyenne

M

X

m=1

a

im

(X

m

h) + n

i

1

et de varian e

σ

2

e

I

T

.

Noussupposonsdon onnues lesmatri es

X

m

(rentrées parl'utilisateur) et lesobservations

y

i

. Sont à estimer

h

,

a

im

,

n

i

et

σ

2

e

. On introduit une étiquette

z

im

dénie ommesuit :

z

im

=







+1

si le voxel

i

est a tivédans la ondition

m

−1

si le voxel

i

est désa tivé dans la ondition

m

0

si le voxel

i

est neutredans la ondition

m

Ces étiquettes ne sont pas dire tement observées ( e sont don des

don-nées manquantes), elles sont introduitesarti iellement,an de modéliser le

Pour haque

m

, lesvariables

(a

im

)

i

sont supposées former une famillede variables indépendantes onditionnellement aux

(z

im

)

i

et pour haque

i

, la famille

(a

im

)

m

estunefamilledev.a.indépendantes,demêmeque

(z

im

)

m

(on supposedon qu'iln'yapasd'inuen eentre deux onditionsexpérimentales

diérentes).

Lavraisemblan e omplète du modèle à estimers'é rit

p(y, a, h, z) = p(y

|a, h)p(a|z)p(h)p(z)

soit, ompte tenudes hypothèses d'indépendan e formulées plus haut :

p(y, a, h, z) =

Y

i

p(y

i

|a

i

, h)

Y

m

p(a

im

|z

im

)

!

× p(h) ×

Y

m

p((z

·m

))

Dé rivons maintenant ha un des termes de ette fa torisation. Dans le

premiermodèlequenousproposons (modèleGamma-Gamma-Gaussien),

la variable

a

im

sa hant

z

im

est supposée suivre une des lois:

a

im

|z

im

∼







Gamma

(α

1m

, β

1m

)

si

z

im

= 1

OppGamma

(α

−1m

, β

−1m

)

si

z

im

=

−1

Normale

(0, σ

2

0m

)

si

z

im

= 0

où Gamma

(α, β)

est une loi de densité

g

α

,

β

(x) =

β

α

Γ(α)

x

α−1

_e

−βx

₁

R

+

etoùune variable

X

estditesuivre uneloiOppGamma

(α, β)

si

−X

suit une loi Gamma

(α, β)

.

Laloi a priori sur les

(z

im

)

i

est elle d'un modèle de Potts ( f 2.5.1) sur l'ensemble des voxels :

p((z

im

)

i

)

∝ exp



−β

1

J

X

i=1

X

j∈N (i)

δ(z

im

− z

jm

)





où

β

1

> 0

est un oe ient à dénir par l'utilisateur; la famille

(z

im

)

m

est

supposée indépendante quelque soit

i

. Nousavons don

M

modèlesde Potts (un par ondition expérimentale) que nous supposons indépendants.

L'estimationdelafon tionderéponsehémodynamique

h

estnon paramé-trique; ependantlaloia priori sur

h

tient omptedu faitque ettefon tion est à variations lisses, i.e. sa dérivée se onde n'est pas trop grande en valeurabsolue, on hoisit ainsi ( ommedans [15℄) :

p(h)

∝ exp −β

2

h

T

Sh

ave

S = D

T

2

D

2

et

D

2

lamatri ede l'appli ationquiàunve teurasso ieses diéren es nies se ondes :

D

2

=



















0

0

0

0

_{· · · 0}

1

−2

1

0

· · · 0

0

1

−2 1

· · · 0

0

0

. . . . . . . . . . . .

0

0

_{· · ·}

1

_{−2 1}

0

0

_{· · ·}

0

0

0



















de sorte que la loi a priori sur

h

assure la ontrainte de variations lisses en rendant improbable les

h

ayant une norme de la dérivée se onde im-portante;

β

2

est un se ond oe ient xé par l'utilisateur, qui détermine l'importan edonnée à ette ontrainte.

Les ontraintes

h(0) = h(D) = 0

et de normalisation (

||h||

2

ℓ

2

= 1

) seront assurées de manière forte lorsde l'estimationde

h

( f. i-après).

3.2 Estimation des paramètres

Lemodèle dé rit pré édemment omprend plusieurs paramètres,estimés de manière lassique (sans loia priori):



n

i

estestimédemanièreà equelesrésidus

ǫ

i

aientunemoyennenulle; soit:

b

n

i

=

1

T

T

X

t=1

y

it

−

M

X

m=1

a

im

(X

m

h)

t

!



σ

2

e

est estimée par maximum de vraisemblan e:

b

σ

2

e

=

1

T

× J

J

X

j=1

T

X

t=1

(y

it

− b

n

i

)

2

(nousn'appliquonspasde orre tiondubiais ar elle- iestnégligeable

ompte tenu des ordresde grandeurs de

T

et

J

). 

σ

2

0m

également :

d

σ

2

0m

=

1

N

0

X

i|z

im

=0

a

2

_im

où

N

0

=

Card

{i|z

im

= 0

}

.

 Les paramètres

α

±1m

et

β

±1m

sont estimés en utilisant lesestimateurs de Thompour uneloiGamma( f.[10℄),quis'exprimentainsi,pour un

é hantillon de moyenne arithmétique

m

a

et de moyenne géométrique

m

g

:



























α

′

₌

1

4R

1 +

r

1 +

4

3

R

!

b

α

= α

′

_{+ κ}

b

β

=

α

b

µ

ave

R = ln(m

a

)

− ln(m

g

)

et

κ =







0

si

α

′

_{< 0.9}

0.0092 +

α

′

_{− 1}

24

_{− 96α}

′

sinon. 3.3 Inféren e ICM 3.3.1 Algorithme d'inféren e

Nous utilisons des itérations ICM, la mise à jour d'un paramètre

θ

∈

{a, h, z}

sefaisantenmaximisant(lelogarithmede)

p(θ

|y,

autresparamètres

)

et en itérantsur leparamètre

θ

àmettre àjour.

3.3.2 Mise à jour de

h

Leve teur

h

est hoisi de façonà maximiser

ln(p(h

|y, a))

;or:

ln p(h

_{|y, a) =}

Cste

+

−1

2σ

2

e





X

i





















y

i

−

X

m

a

im

X

m

!

h

_{− n}

i

1





















2



 − β

2

h

T

Sh

=

Cste

+

−1

2σ

2

e

X

i

||c

i

− M

i

h

||

2

!

− β

2

h

T

Sh

ave



M

i

=

P

m

a

im

X

m

c

i

= y

i

− n

i

1

= ǫ

i

+ M

i

h

On a:

X

i

||c

i

− M

i

h

||

2

=

Cste

+ h

T

X

i

M

_i

T

M

i

!

h

_{− 2h}

T

X

i

M

_i

T

c

i

ln p(h

|y, a) =

Cste

+

−1

2σ

2

e

h

T

X

i

M

_i

T

M

i

!

h +

1

σ

2

e

h

T

X

i

M

_i

T

c

i

− β

2

h

T

Sh

=

Cste

+ h

T

"

−1

2σ

2

e

X

i

M

_i

T

M

i

− β

2

S

#

h + h

T

"

1

σ

2

e

X

i

M

_i

T

c

i

#

=

Cste

+ h

T

_{Qh + h}

T

_v

en posant:

(

Q =

_2σ

−1

2

e

P

i

M

i

T

M

i

− β

2

S

, matri esymétrique dénie négative

v

=

1

σ

2

e

P

i

M

i

T

c

i

Nousvoulonsdon maximiser

h

T

_Qh+h

T

_v

parrapportà

h

,sousles ontraintes

h

1

= e

T

1

h = 0

(le symbole

T

désignant la transposée) et

h

D

= e

T

D

h = 0

. Le

théorème des multipli ateursde Lagrange donneune ondition né essaire, à savoir l'existen e de réels

µ

et

ν

tels que

2Qh + v + µe

1

+ νe

D

= 0

(8)

En faisantle produit s alairede l'équation(8)ave leve teur

e

1

ontrouve:

2e

T

₁

Qh + e

T

₁

v + µ = 0

(9)

soit

µ =

_−(2e

T

₁

Qh + e

T

₁

v)

(10)

De même, en faisantle produit s alairede (8) ave

e

D

ontrouve :

ν =

_−(2e

T

_D

Qh + e

T

_D

v)

(11)

Les équations(linéaires)nous donnantla mise àjour de

h

sont don :







h

1

= 0

h

D

= 0

2Qh + v

_{− (2e}

T

1

Qh + e

T

1

v)e

1

− (2e

T

D

Qh + e

T

D

v)e

D

= 0

(12)

Une fois

h

al ulé en résolvant e système linéaire, il est lissé à l'aide d'un ltre gaussien. Plus pré isément

h

est rempla é par

Gh

, où

G

est la matri e dénie par :

G

i,j

= exp



(i

_{− j)}

2

BW



où

BW > 0

est un paramètre qui ontrle la largeur de la gaussienne utilisée pour ltrer; plus

BW

est grand,plus le lissage est important.

Enn

h

est normalisé, 'est à dire qu'ilest rempla é 2

par

1

||h||

ℓ

2

h.

Nousavons onstaté qu'en estimant

h

de ettemanière,nous obtenons quel-quefoisl'opposéde laHRFréelle; 'estuneetdûauproblème

d'identiabi-litéquenousavonsmentionnéen2.6.Pourrégler eproblème,nous al ulons

la valeur moyenne de

h

; si elle- i est négative 'est que nous avons trouvé l'opposé de laHRF réelleet

h

est alors rempla é par

−h

.

3.3.3 Mise à jour de

a

Pour maximiser

p(a

|z, h, y)

, il sut, par indépendan e des

(a

im

)

m

, de maximiser

p(a

i

|z, h, y)

pour haque

i

xé.

Or

ln(p(a

i

|z, h, y) =

Cste

+ ln(p(a

i

|z

i

)) + ln(p(y

i

|a

i

, h))

=

Cste

+

−1

2σ

2

e





















c

i

−

M

X

m=1

a

im

X

m

h





















2

+

X

m/z

im

=1

(α

1m

− 1) ln a

im

− β

1m

a

im

+

X

m/z

im

=−1

(α

−1m

− 1) ln(−a

im

) + β

−1m

a

im

+

X

m/z

im

=0

−1

2σ

2

0m

a

2

_im

ave

c

i

= y

i

− n

i

1

Avantde dériver

ln(p(a

i

|z

i

, h, y

i

))

par rapportà

a

im

ee tuons un al ul pré-2

La ontrainte

h

T

_{h = 1}

peut également s'intégrer dans les ontraintes du problème d'optimisation,mais ela onduitàunsystèmenonlinéaire.





















c

i

−

X

m

a

im

X

m

h





















2

=

||c

i

||

2

− 2

X

m

a

im

< X

m

h, c

i

> +





















X

m

a

im

X

m

h





















2

=

Cste

− 2

X

m

a

im

< X

m

h, c

i

> +

X

m

a

2

_im

||X

m

h

||

2

+

X

m

X

n6=m

a

im

a

in

< X

m

h, X

n

h >

La ondition du premier ordre pour un extremum de

ln p(a

i

|z

i

, h, y

i

)

s'é rit don :

0 =

1

σ

2

e

< X

m

h, c

i

>

−

1

σ

2

e

a

im

||X

m

h

||

2

−

1

σ

2

e

X

n6=m

a

in

< X

m

h, X

n

h > +T

im

ave

T

im

=



























α

1m

− 1

a

im

− β

1m

si

z

im

= 1

α

−1m

− 1

a

im

+ β

−1m

si

z

im

=

−1

−

1

σ

2

0m

a

im

si

z

im

= 0

et e quelque soit

m = 1, . . . , M

.

La onditiondupremierordresereformuledon souslaformed'une

équa-tion

Φ(a

i

) = 0

ave

Φ :

R

M

_{→ R}

M

. Cette équation ve torielle non linéaire

peutserésoudrenumériquementave laméthode deNewton;pourappliquer

ette méthode nousdevons al ulerlamatri eja obienne de l'appli ation

Φ

. Les oe ients

d

mn

de ette matri es'é rivent :

d

mm

=

∂Φ

m

∂a

im

=

−

1

σ

2

e

||X

m

h

||

2

+



























−

α

1m

_a

2

− 1

im

si

z

im

= 1

−

α

−1m

− 1

a

2

im

si

z

im

=

−1

−

_σ

1

2

0m

si

z

im

= 0

et, si

m

6= n

:

d

mn

=

∂Φ

m

∂a

in

=

₋

1

σ

2

e

< X

m

h, X

n

h >

3.3.4 Mise à jour de

z

Lamise à jour de

z

im

se fait en orepar ICM :

z

im

= arg max

g

z

im

∈{±1,0}

ln p

z

f

im

|a, (z

jm

)

j∈N (i)

soit :

z

im

= arg max

g

z

im

∈{±1,0}



ln (p(a

im

| f

z

im

))

− β

1

X

j∈N (i)

δ(

z

_f

im

, z

jm

)





(13)

L'argmax est al ulé en al ulant la fon tion obje tif pour les trois valeurs

possibles de

z

f

im

et en onservant la valeur donnant la plus grande valeur à l'obje tif.

Nousretrouvons laremarque faitedans [2℄, partie 3, àsavoirque

l'équa-tion (13) réalise un ompromis entre d'une part l'adaptation aux données (pour lepremier terme), etd'autre part, l'homogénéitéspatiale de la

lassi- ationgéréepar lese ondterme.Pour

β

1

= 0

onretrouveune lassi ation sans au une homogénéité imposée a priori; lorsque

β

1

→ +∞

on retrouve un vote àla majorité des voisins.

3.3.5 Initialisation

Pour initialiser la lassi ation, nous al ulons, pour haque voxel

i

et haque onditionexpérimentale

m

,le oe ientde orrélation linéaireentre

y

i

et

X

m

h

. Un voxel dont le dé ours temporel a une orrélation ave

X

m

h

supérieureàun ertainseuil

s > 0

sera lassé ommea tivé,unvoxeldont la orrélationest inférieureà

−s

sera lassé ommedésa tivé,etenn un voxelave une orrélationentre

−s

et

s

sera lassé ommeneutre.Leseuil

s

peut êtrespé iédire tementpar l'utilisateur,ou al uléautomatiquement omme une fra tion (dénissable par l'utilisateur) du plus grand (resp. du

plus petit) oe ient de orrélation, pour haque ondition expérimentale.

Nous obtenons également des valeurs initiales pour les niveaux de réponse

a

im

ommesuit.

Soit un voxel

i

et une ondition

n

; partant de l'équation de base du modèle

y

i

=

M

X

m=1

a

im

(X

m

h) + n

i

1

+ ǫ

i

, i = 1, . . . , J

prenons la ovarian eave

X

n

h

,nous obtenons

Cov(y

i

, X

n

h) =

X

m

nales

A

i

=







a

i1

. . .

a

iM







vérie don l'équation

M

i

A

i

= C

i

en notant

C

i

le ve teur des ovarian es

C

i

=







Cov(y

i

, X

1

h)

. . .

Cov(y

i

, X

M

h)







et

M

i

lamatri e de varian e- ovarian e

M

i

=











Var(X

1

h)

Cov(X

1

h, X

2

h)

· · ·

Cov(X

1

h, X

M

h)

Cov(X

2

h, X

1

h)

Var(X

2

h)

· · ·

Cov(X

2

h, X

M

h)

. . . . . . . . . . . .

Cov(X

M

h, X

1

h)

· · ·

Cov(X

M

h, X

M −1

h)

Var(X

M

h)











De mêmele ve teurdes orrélations

A

′

_i

=







Corr(y

i

, X

1

h)

. . .

Corr(y

i

, X

M

h)







vérie

M

_i

′

A

′

_i

= C

_i

′

ave

C

_i

′

=







Corr(y

i

, X

1

h)

. . .

Corr(y

i

, X

M

h)







et

M

_i

′

=











1

Corr(X

1

h, X

2

h)

· · ·

Corr(X

1

h, X

M

h)

Corr(X

2

h, X

1

h)

1

· · ·

Corr(X

2

h, X

M

h)

. . . . . . . . . . . .

Corr(X

M

h, X

1

h)

· · ·

Corr(X

M

h, X

M −1

h)

1











Notons que pour mener les al uls de ette phase, nous initialisons la

Lesdiérentes étapesde mise à joursont alors en haînéesainsi :

Initialisation(

a

,

z

,

σ

e

,

n

); Tant quenon onvergen e faire :

Miseà jour de

h

;

Miseà jour des résidus (

σ

e

et

n

); Miseà jour des

z

;

Siau moins un

z

a été hangé : Miseà jourdes

a

;

Miseà jourdes

α

±1m

,

β

±1m

et

σ

0m

;

La onvergen e est dé larée lorsque, entre deux passages su essifs dans labou le "Tantque", au un

z

n'a étémodié etlanorme

L

2

de ladiéren e

entre lafon tion

h

pré édenteetlafon tion

h

mise àjourest inférieureà un ertain seuil.

3.4 Simulation de données

And'évaluernotreappro hedetraitementd'images,nousdevonsd'abord simuler des imagesIRMf réalistes.

Ladonnéedematri esdedesign

X

1

, . . . , X

M

asso iéesà

M

onditions ex-périmentalesainsi que d'uneHRF

h

fournit lessignaux

X

1

h, X

2

h, . . . , X

M

h

. Onsedonneégalementdeux olle tions

(

A(1), . . . , A(M))

et

(

D(1), . . . , D(M))

d'ensembles de voxels, l'ensemble

A(m)

(resp.

D(m)

) ontenant l'ensemble des voxels a tivés (resp. désa tivés) par la ondition

m

. Les autres voxels sont onsidérés omme neutres.

Lesignal dans le voxel

i

est donné par

y

i

= c

X

m∈A(m)

X

m

h

− c

X

m∈D(m)

X

m

h + b1 + ǫ

i

où

b

estunréel,

c

unréelpositif,et

(ǫ

i

)

i

estunesuitedevariablesaléatoires ve toriellesindépendantesoù

ǫ

i

estun pro essusAR(1)gaussien; 'estàdire que quelque soit

i

,

ǫ

i,1

= σe

i,1

ǫ

i,2

= ρǫ

i,1

+ σe

i,2

ǫ

i,3

= ρǫ

i,2

+ σe

i,3

. . . . . .

ave les

(e

i,t

)

i,t

tous indépendants etsuivant uneloinormale entrée réduite. Le oe ient

ρ

∈ [0; 1[

est le oe ient d'auto orrélation du bruit; dans les appli ations typiques de l'IRMfsa valeur varie entre 0 et 0.4( f. [26℄, p.

5).

Le oe ient

c

est xé à 1000, la valeur de

σ

(é art-type du bruit) est alorsadaptée pourpres rire lerapportsignalsurbruit.Ce rapportsignalsur

bruit est al uléainsi ( f. [21℄) :

SNR =

1000µ

σ

où

µ

est la moyenne du signal utile :

µ =

1

MT

M

X

m=1

||X

m

h

||

ℓ

2

.

L'expression de

σ

en fon tion de

SNR

est don :

σ =

1000µ

SNR

.

Les valeurs de

SNR

sont généralement omprises entre 0.1 et4.0( f. [27℄).

3.5 Evaluation de l'appro he

3.5.1 Evaluation de l'estimation/déte tion

Dans un premier temps, nous ne testons que l'estimation/déte tion des

a tivations ou des désa tivations. Nous simulons don des données à partir

de laHRF anonique,etnousforçonsleprogrammeàne pasestimerde HRF mais à utiliser laHRF anoniquetout aulong du traitement.

Commeparadigmeexpérimental,nous utilisonsdeux onditions qui s'al-ternent toutesles15se ondes, trois fois ha une. LeTRest xéà1se onde.

L'image, formée de 6 oupes ontigües formant un total de 900 voxels,

omporte deux zones parallélépipédiques : une de 12 voxels a tivés dans la ondition 1, désa tivés dans la ondition 2; et une se onde de 8 voxels

désa tivés dans la ondition 1 et a tivés dans la ondition 2. Les images

montréess'intéressentuniquementàla ondition1(l'autreétantsymétrique). Comme nous pouvons le voir sur la Figure 5, le SNR a bien entendu

une grandeimportan e dans la qualité de l'estimation obtenue. La Figure6

montre quele oe ientde orrélation

ρ

n'a pas unegrande importan esur la re onstru tion de l'image.

Au niveau du paramètre de régularisation spatiale

β

1

, nous voyons sur la Figure 7que plus

β

1

est grand, plus notre estimateur re her he des blo s

ontigus d'a tivation; par ontre si

β

1

est trop fort, la méthode perd en sensibilité de déte tion des petites a tivations. Par exemple, dans l'image (e), (pour

β

2

= 5

) le groupe des 8 voxels désa tivés n'est plus déte té; par ontre les12voxels a tivés sonttoujours bien déte tés.

Enn,laFigure8montrequenotreméthodede lassi ationpara priori markovien donne de biens meilleurs résultats que la te hnique de seuillage

sur les oe ients de orrélation,utilisée pour initialiserl'algorithme

(b) Niveaux de réponses estimés pour SNR=0.1.

( ) Voxels a tivés estimés pour SNR=0.1.

(d) Niveaux de réponses estimés pour SNR=0.02.

(e) Voxels a tivés estimés pour SNR=0.02.

(f) Niveaux de réponses estimés pour SNR=0.01.

(g) Voxels a tivés estimés pour SNR=0.01.

(b)

ρ = 0.2

( )

ρ = 0.4

(d)

ρ = 0.6

(b)

β

1

= 0

.5

( )

β

1

= 1

(d)

β

1

= 2

(e)

β

1

= 5

(b)Seuillage surles oe ientsde orrélation (seuil=0.5

×

leplusgrand oe ient de orré-lation)

( )EstimationparICM(

β

1

= 2

)

Fig. 8: Comparaison des lassi ations voxels a tivés/désa tivés

Pour tester notre méthode d'estimation de la HRF sur des données

fai-sant sens physiologiquement, nous simulons des données générées à partir

de la onvolution ave une HRF dont le retour à zéro après la stimulation est anormalement lente; ette forme de HRF a été observée hez les rats

épileptiques ( f.[4℄, Figure3 (B)).

Uneformuledonnantune telle HRFest la suivante(voirFigure9) :

h(t) =



−0.694t

2

_{+ 8.33t}

si

t < 6

−10.54 ln t + 43.88

si

t

≥ 6

Pourtenir omptede etteréponsehémodynamiquepluslente,nous hoi-sissonsd'estimerlaHRFsuruneduréede 60se ondes(aulieude28se ondes

habituellement).Toutes lessimulationsde ette se tionontété ee tuées en

xant

β

1

= 1

.

SNR élevé Nousvoulonsd'abordtesterle omportementdenotre estima-tionde laHRFpourun niveaudebruittrèsfaible.Pour elanous hoisissons

SNR = 2

. Nous utilisons le même paradigme expérimental qu'à la se tion

pré édente, à savoiralternan e toutes les15 se ondes de deux onditions. LaHRF estiméeest visible en Figure10.

Ce résultat, peu satisfaisant ompte tenu du niveau de bruit très faible,

est dû au paradigme expérimental qui ne tient pas ompte de la lenteur de ladé roissan e de laréponse hémodynamique.Eneet, sinous hangeonsle

rhythme d'alternan e des deux onditions, à savoir que nous alternons trois fois ha une deux onditions toutes les60se ondes, nous obtenons

l'estima-tion visible en Figure11.

L'estimationest ette fois- itrès orre te.

SNR faible En onservant leparadigme lent,nous ee tuons d'autres

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

temps (s)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0

10

20

30

40

50

60

Fig. 10: HRF estimée pour SNR=2,

β

2

= 0

, au un lissage gaussien et un paradigme expérimentalrapide.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

Fig. 11: HRF estimée pour SNR=2,

β

2

= 0

, au un lissage gaussien et un paradigme expérimentallent.

(b) Image re onstruite ave estimation de la HRF.

( ) Image re onstruite sans estimation de la HRF.

Fig. 12: Inuen e de l'estimation de la HRF sur l'estimation des

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

temps (s)

(a)HRForiginale.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

(b) HRFestimée sanslissagegaussien.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

( ) HRF estimée ave lissage gaussien (

BW = 10

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0

10

20

30

40

50

60

(d) HRF estimée ave lissage gaussien (

BW = 20

)