ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4h 5 décembre 2018
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Enoncer le théorème de la limite monotone pour les suites.
Exercice I.
En utilisant les formules du cours, calculer les sommes : 1. S =
20
X
k=1
(k3−2k) 2. T =
10
X
k=2
5 2k − k
9 − 3 4
3. W =
n
X
k=1
n k
1
5k, n∈N∗
Exercice II.
1. Créer un programme Scilab calculant et achant S =
1000
X
k=2
1 k2.
2. Déterminer la complexité (nombre d'opérations et d'aectations) du programme construit.
(On considérera qu'élever au carré compte pour une opération.)
Exercice III.
Résoudre les systèmes suivants (pour le (B), en fonction de a, b et c) : (A) :
3e−x + 5y2 = 7
4e−x − 7y2 = −18 et (B) :
x−2y+ 4z =a
−2x+ 6y−5z =b 3x−y+ 6z =c
Exercice IV.
Déterminer les polynômes P de degré 2 vériant P(1) =P0(1) = 0.
(On pourra poser P(x) =ax2+bx+c, et se ramener à la résolution d'un système linéaire.)
Exercice V.
Calculer les limites des suites(un)dans les cas suivants : 1. un = ln(n)−n3 + 8
n 2. un =n √
4n2+ 3−2n
Exercice VI.
On considère la suite (un)n∈N dénie par u0 = 0 et ∀n∈N, un+1 = 2−(−1)n un+n+ 1. 1. Montrer que ∀n ∈N, un ≥0.
2. Montrer que ∀n ∈N∗, |un| ≤ 3 n. 3. En déduire la limite de la suite.
1/3
Exercice VII.
Un jeu classique de 52cartes comporte : 4"couleurs" (Trèe, Pique, Coeur, Carreau)
13"hauteurs" (As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2).
On constitue une main de 5cartes.
Les réponses aux questions qui suivent devront être justiées.
1. Déterminer le nombre de mains possibles.
2. Déterminer le nombre de mains contenant 4cartes de la même hauteur (carrés).
3. Déterminer le nombre de mains contenant 5cartes de la même couleur.
4. Déterminer le nombre de mains contenant 5cartes dont les hauteurs se suivent (suites).
(Les suites s'étendent de As,R,D,V,10 à 5,4,3,2,As.) 5. Déterminer le nombre de mains contenant au moins 2 As.
6. Déterminer le nombre de mains de la forme ”XXY Y Z”, avec X, Y etZ des hauteurs toutes diérentes.
Exercice VIII.
Soit la suite(un)n∈N dénie par u0 = 2 et ∀n ∈N, un+1 = ln(u2n+ 1). On rappelle que ln(5)<2.
1. Calculer u1 etu2.
2. Montrer que ∀n ∈N, 0≤un ≤2.
3. Etudier les variations de la fonction f dénie par f(x) =x−ln(x2+ 1). 4. Vérier que f est positive surR+.
5. En déduire que la suite (un)n∈N est décroissante.
6. Est-elle convergente ? Justier.
2
Problème.
1. Soit le polynôme P déni par P(x) = x4+ 3x3−6x2−28x−24.
a. Montrer que −2 est racine deP, et déterminer son ordre de multiplicité.
b. Factoriser P, et trouver toutes ses racines.
2. On considère l'ensemble E des suites réelles (un)n∈N vériant l'égalité :
∀n∈N, un+4 =−3un+3+ 6un+2+ 28un+1+ 24un.
a. Soit les suites w, x,y et z de termes généraux respectifs : wn= 3n, xn= (−2)n, yn=n(−2)n et zn=n2(−2)n.
Montrer que w∈E. (On admet que x, y et z sont aussi des éléments de E.) b. Soit (un)n∈N l'élément de E déni par u0 =u1 =u2 = 0 et u3 =−1.
Déterminer quatre réelsa,b, cetdtels que la relation (Rn) :un=awn+bxn+cyn+dzn soit vériée pour n∈ {0; 1; 2; 3}. (On pourra résoudre un système linéaire 4×4.)
c. Montrer alors par récurrence sur n ∈N que la relation (Rn) est vériée pour tout entier naturel n. (question dicile)
d. En déduire l'expression de un en fonction de n.
3. Si besoin, on admettra que a <0. Calculer, si possible, lim
n→+∞un. (On pourra faire une mise en facteur bien choisie.
On admet aussi que si α >0 et |q|<1, alors lim
n→+∞nαqn = 0.)
Questions supplémentaires.
1. Dans l'exercice précédent, montrer que z ∈E.
2. Déterminer tous les entiers naturels étant égaux à la somme des factorielles de leurs chires.
(On expliquera la démarche.)
3
