NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 4 - sujet A - 1h ECE 1 15 avril 2019
1. Trouver des valeurs approchées des solutions de l'équation (B) : 2x3−9x2−24x−7 = 0. On expliquera la démarche utilisée (programme, étude de fonction, calculs d'images bien choisie etc...).
2. On considère une fonctionf de classeC1 sur un intervalle[a;b], ainsi que l'intégrale I= Z b
a
f(t)dt. On admet qu'une valeur approchée de cette intégrale peut être obtenue au moyen des sommes suivantes : méthode des rectangles :Sn(f) = b−a
n
n−1
X
k=0
f
a+k n(b−a)
méthode du point milieu :Mn(f) = b−a n
n−1
X
k=0
f
a+2k+ 1 2n (b−a)
. Si on pose K= max
t∈[a;b]|f0(t)|, alors on admettra que ∀n∈N, |I−Sn(f)| ≤ K(b−a)2
n .
On travaille par la suite sur l'intégrale I= Z 3
0
e−t2dt. a. Créer un programme calculantMn(f).
b. CalculerMn(f)à10−4 près, pourn= 2,n= 5etn= 10.
On obtient par ailleurs S10(f) = 1.0362, S100(f) = 0.9012 et S10000(f) = 0.8864. Une valeur plus précise est quant à elle I'0.8862073.
Comparer les deux méthodes.
c. Avecf(t) =e−t2, vérier quef00(t) = 2(2t2−1)e−t2, puis queK= r2
e.
d. En déduire la valeur denpour laquelleSn(f)donne une valeur approchée à10−4près deI.
e. Tracer l'allure de Cf (on pourra présenter aussi le programme), ainsi qu'une forme géométrique simple dont l'aire est proche de la valeur deI, et calculer cette aire.
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NOM :
Prénom : MATHEMATIQUES
Test Informatique 4 - sujet B - 1h ECE 1 15 avril 2019
1. Trouver des valeurs approchées des solutions de l'équation (A) : 2x3+ 3x2−36x−8 = 0.
On expliquera la démarche utilisée (programme, étude de fonction, calculs d'images bien choisie etc...).
2. On considère une fonctionf de classeC1 sur un intervalle[a;b], ainsi que l'intégrale I= Z b
a
f(t)dt. On admet qu'une valeur approchée de cette intégrale peut être obtenue au moyen des sommes suivantes : méthode des rectangles :Sn(f) = b−a
n
n−1
X
k=0
f
a+k n(b−a)
méthode des trapèzes :Tn(f) = b−a 2n
n−1
X
k=0
f
a+k
n(b−a)
+f
a+k+ 1 n (b−a)
. Si on pose K= max
t∈[a;b]|f0(t)|, alors on admettra que ∀n∈N, |I−Sn(f)| ≤ K(b−a)2
n .
On considère par la suite l'intégrale I= Z 5
0
ln(t2+ 1)dt. a. Créer un programme calculantTn(f).
b. CalculerTn(f)à10−5près, pourn= 10,n= 100etn= 1000.
On obtient par ailleurs S10(f) = 8.23077, S100(f) = 8.95591 et S1000(f) = 9.02914. Une valeur plus précise est quant à elle I'9.0372842.
Comparer les deux méthodes.
c. Avecf(t) = ln(t2+ 1), vérier quef00(t) = 2(1−t2)
(t2+ 1)2, puis queK= 1.
d. En déduire la valeur denpour laquelleSn(f)donne une valeur approchée à10−3près deI.
e. Tracer l'allure de Cf (on pourra présenter aussi le programme), ainsi qu'une forme géométrique simple dont l'aire est proche de la valeur deI, et calculer cette aire.
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