عموميات حول التوابع الحسابية

Ministére de l’Enseignement Supérieure ﻲﻤﻠﻌﻟﺍ ﺚﺤﺒﻟﺍ ﻭ ﻲﻟﺎﻌﻟﺍ ﻢﻴﻠﻌﺘﻟﺍ ﺓﺭﺍﺯﻭ

et de la Recherche Scientifique - ﺓﺬﺗﺎﺳﻸﻟ ﺎﻴﻠﻌﻟﺍ ﺔﺳﺭﺪﻤﻟﺍ -

Ecole Normale Supérieure

-Vieux Kouba - (Alger) ( ﺮﺋﺍﺰﺠﻟﺍ ⁾ ﺔﻤﻳﺪﻘﻟﺍ ﺔﺒﻘﻟﺎ-

Departement de Mathématiques

HAJ “AKQË@ Õ愯

øñ KAJË@ ÕæʪJË@ XAJƒ@ èXAîD… ÉJ JË h.Q m' èQ» YÓ

ﺔﻴﺑﺎﺴﺤﻟﺍ ﻊﺑﺍﻮﺘﻟﺍ ﻝﻮﺣ ﺕﺎﻴﻣﻮﻤﻋ

: è XAJƒ

B@ ¬@Qå…@ Im ' : X@Y«@

ÐAîD… ñ£AJ « ^⋆ éÊJ. K øPA gñK.

éjJʓ HA ƒñêËñK.

ém.'Y g è QÔg

: é ‚¯A JÖÏ@ é Jm.Ì

é‚KP

ø QÊÓ àAÖß@

A JjJÜØ

YÒm× èQ¯ñK.

é ¯Qå„Ó

ÐAîD… ñ£AJ «

2015/2014

: éJªÓAm.Ì'@ é J‚Ë@

2015

: à@ñk. éª ¯X

HAK ñJmÜÛ@

01 . . . éÊÔªJ‚ÖÏ@ PñÓQË@ ¹

03 . . . éÓY®Ó ¹

Èð

B@ ɒ ®Ë@

éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJË@

05 . . . éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJË@ @ñ k ð ­KPAªJË@ ‘ªK.

05 . . . úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . ùªÔm.Ì'@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . AJÊ¿ ùªÔm.Ì'@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . èñ®K. ùªÔm.Ì'@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . úG.Qå ”Ë@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . AJÊ¿ úG.Qå ”Ë@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

05 . . . èñ®K. úG.Qå ”Ë@ úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

07 . . . é ¯ñËAÖÏ@ éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJË@ ‘ªK.

07 . . . ( ^{M obius} ) ^µ(n) €ñJK.ñÓ ©K.AJË@

07 . . . ^µ(n) ©K.AJÊË éJƒAƒ

B@ @ñ mÌ'@

09 . . . ( ^{V on−M ongolt} ) ^Λ(n) ©K.AJË@

10 . . . ^Λ(n) ©K.AJÊË éJƒAƒ

B@ @ñ mÌ'@

15 . . . ùªJJ.£ XY« Õæ…@ñ¯ XY« ^d(n) ©K.AJË@

16 . . . ^d(n) ©K.AJÊË éJƒAƒ

B@ @ñ mÌ'@

18 . . . ùªJJ.£ XY« Õæ…@ñ¯ ¨ñÔm.× _σ(n)

úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

19 . . . ^σ(n) ©K.AJÊË éJƒAƒ

B@ @ñ mÌ'@

ÿ AJË@ ɒ ®Ë@

(E^′uler) QËð

B úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

22 . . . QËð

B úG.A‚mÌ'@ ©K.AJË@

23 . . . ^µ(n) ð ^ϕ(n) áK. é¯CªË@

25 . . . ^ϕ(n) ©K.AJÊË øQ k

B@ @ñ mÌ'@ ‘ªK.

27 . . . ^{ϕ(x) =m} éËXAªÖÏ@ ÈñÊg

IËAJË@ ɒ ®Ë@

éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJÊË øQ.ºË@ Õæ®Ë@

32 . . . ^d(n) ©K.AJÊË øQ.ºË@ éÖÞ®Ë@

33 . . . ^ϕ(n) ©K.AJÊË øQ.ºË@ éÖÞ®Ë@

34 . . . ^Λ(n) ð ^µ(n) ©K.AJÊË øQ.ºË@ éÖÞ®Ë@

39 . . . éÒKA mÌ'@

40 . . . ©k.@QÖÏ@

éÊÒªJ‚ÖÏ@ PñÓQË@

éJªJJ.¢Ë@ X@Y«

B@ é«ñÒm.× ÉJÖß ^{N ={0,1,}2, ..., n}(1

AJËð

@ @XY« AÓðX ÉJÖß ^p ¬QmÌ'@ ⁽²

p∈[2, n] éJËð

B@ X@Y«

B@ Z@Yg. ð ¨ñÒm.× I.KQË@ É« àCJÖß ^Y

p≤n

ð ^X

p≤n áK QÓQË@ ⁽³ : éJËAJË@ PñÓQË@ ÉÒªJ‚ ^m ð ⁿ áJªJJ.£ áJ.k.ñÓ áKXY« É¿ Ég.

@ áÓ ⁽⁴

n Õ愮K ^m èA JªÓ ^{m|n (}

@

¼Q ‚ÖÏ@ Õæ…A®Ë@ àCJÖß ^{(n, m)} ©Ó ⁿ Õ愮K B ^m èA JªÓ ^{m∤n (} H.

n Õ愮K B ^pα+1 ð ⁿ Õ愮K ^pα IJk ⁿ AÓAÖ ß Õ愮K ^pα à@ ÉJÖß ^{pαkn (} h.

x−1≤[x]< x IJk ^x Ë iJj’Ë@ Z Qm.Ì'@ ÉJÖß ^{[x] (5} éJËð

@ ÉÓ@ñ« Z@Yg. ɾ ƒ úΫ ⁿ éK.AJ» áºÖß à X@ ^n≥2 ©Ó ùªJJ.£ XY« ^{n (6}

n = Y

P^αkn

p^α =p^α₁¹ ×. . .×p^α_k^k

: A JKYË ^{x > x0} É¿ Ég.

@ áÓ ^g(x)>0 IJm'. ^[x0,+∞[ úΫ á ¯QªÓ áªK.AK ^g ð ^{f (7}

f(x) =O(g(x))⇔ ∃M > 0 : |f(x)|

g(x) 6M ∗ f(x)∼g(x)⇔ lim

x→∞

f(x)

g(x) = 1 ∗

1

éÓY®Ó

éÓY®Ó

IJk , HAJ “AKQË@ ú ¯ éKñ®Ë@ ÉKAƒñË@ øYg@ éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJË@ YªK

éKQ ¢ ú ¯ ð HA«ñÒj.ÖÏ@ éKQ ¢ ú ¯ ð é’ËA mÌ'@ HAJ “AKQË@ ú ¯ ÉÒªJ‚

. éJ®JJ.¢JË@ ð éJjJ.Ë@ HAJ “AKQË@ ú ¯ @ Y» ð éJÊJÊjJË@ ð éKQ.m.Ì'@ X@Y«

B@

: áʒ ¯ úÍ@ A J«ñ “ñÓ A J҂ ® ¯ éJªÒm.Ì'@ ð éJK.Qå ”Ë@ éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJË@ ­KQªK éJ ¯ A JËðA JK : Èð

B@ ɒ ®Ë@

(M obius) µ(n)

€ñJK.ñÓ ©K.AJË@ Aî DÓ Aê«@ñ K

@ ‘ªK. A KQ» X ð AîD•@ñ k ð ùªJJ.£ XY« Õæ…@ñ ¯ XY«

©K.AJË@ ,

©K.AJË@

. ùªJJ.£ XY« Õæ…@ñ ¯ ¨ñÒm.×

©K.AJË@ ð .

QËð

B úG.A‚mÌ'@ ©K.A JË@ éƒ@PYË èA J’’ k : ú

GAJË@ ɒ ®Ë@

. éJK.A‚mÌ'@ ©K.@ñJÊË øQ.ºË@ Õæ ®Ë@ ɒ ®Ë@ @ Yë ú ¯ ÈðA JJ ƒ : IËAJË@ ɒ ®Ë@

3