L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚1 Nombres Complexes I
Exercice 1 :Soient les nombres complexes z1= 2−3i, z2= 1−4i, z3= 1 3 +3
4i et z4= 1−i√
2. Donner la forme alg´ebrique de chacun des nombres complexes suivants.
a) z1+z2 b) z2+z3 c) z1+z2+z3 d) z1+z4 e) z3+z4 f) z1+z3+z4
Exercice 2 :Mettre les nombres complexes donn´es sous forme alg´ebrique.
a) z1= (2−5i)(3 +i) b) z2= 2
7 +4
3i −3 8 +i
c) z3= (1−i)(1 +i) d) z4= (5 + 3i)2 e) z5= (1−i)(1−2i)(1−3i) f) z6= (1 +i)9
Exercice 3 :Calculerin pour toutn∈N∗.
Exercice 4 :On posej=−1 2 +i
√ 3 2 . 1. Calculerj2.
2. En d´eduire les relations suivantes.
a) 1 +j+j2= 0 b) j3= 1 c) 1
j =j2=j
Exercice 5 :Donner la forme alg´ebrique de chacun des nombres complexes suivants.
a) z1=1
i b) z2= 1
1 +i c) z3= 1
−3 + 4i d) z4= i
2−i e) z5=1−i
1 +i f) z6= 3−5i
2 +i g) z7= −5 +i
3 + 11i h) z8= 2√ 3 + 2i
√
3−i i) z9= (3 + 2i)(2 +i) 1−2i
Exercice 6 :D´ebusquer l’intrus parmi les nombres complexes suivants.
z1= (2−i)3 z2= 8 +i z3= 9 + 13i
−1 +i z4= 2−11i z5= 4 1 +i +9
i
Exercice 7 :D´eterminer le conjugu´e de chacun des nombres complexes suivants (on ne demande pas forc´ement la forme alg´ebrique. . .).
a) z1= 3−11i b) z2= 8i c) z3= 2i−7
d) z4= (3 +i)(−13−2i) e) z5= (2 + 5i)6 f) z6= 2−3i 8 + 5i
Exercice 8 :Soitα= 3−i
5 + 7i et β= 3 +i
5−7i. D´emontrersans calculqueα+β est un nombre r´eel et queα−β est un nombre imaginaire pur.
Exercice 9 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : iz+ 2−i= 0 (E2) : (3 + 5i)z= 1−z (E3) : 1
z+i = 3 +i (E4) : z+ 1
z−1 = 2i (E5) : i z= 1−i (E6) : (7−i)z+ 3 = 0
(E7) : (iz+ 1)(z+ 3i) = 0 (E8) : (2 + 3iz)(z−1 + 4i) = 0 (E9) : 1 + 2iz
1 + 2z =i z−1 z+ 3
Exercice 10 :R´esoudre dansCles syst`emes suivants.
(S1) :
z1−z2=i
iz1+z2= 1 (S2) :
2z1+z2= 1−i
z1−iz2= 0 (S3) :
(1 +i)z1−2iz2= 2 +i 2iz1−(1−i)z2= 3i
Exercice 11 :R´esoudre dansCles ´equations suivantes.
(E1) : z2+ 169 = 0 (E2) : z2=z+ 1 (E3) : z2=z−1 (E4) : z2+ 2z+ 5 = 0 (E5) : z2−√
3z+ 31 = 0 (E6) : z2−4z+ 13 = 0
(E7) : (z2+ 1)(z2+ 2). . .(z2+ 10) = 0 (E8) : (z2−6z+ 10)(z2+ 6z+ 10) = 0
F Exercice 12 :Le but de cet exercice est de r´esoudre, dansC, l’´equation (E) : z4−(1 +√
2)z3+ (2 +√
2)z2−(1 +√
2)z+ 1 = 0.
1. R´esoudre dansCl’´equation :
z2−(1 +√
2)z+√ 2 = 0.
On pourra utiliser l’identit´ep 3−2√
2 =√
2−1 (car√
2−1>0 et (√
2−1)2= 3−2√ 2).
2. R´esoudre dansCles ´equations : z+1
z = 1 et z+1
z =√ 2.
3. Pour toutz∈C, on pose
P(z) =z4−(1 +√
2)z3+ (2 +√
2)z2−(1 +√
2)z+ 1.
(a) Exprimer P(z)
z2 en fonction deZ=z+1 z.
(b) R´esoudre l’´equation (E), c’est-`a-dire l’´equationP(z) = 0.
