x + 4tanx – 12 = 0 5. 6sin

Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [0, 2 π [

1. 3sinx - 2= 0 2. sinx + 1 = -cos

x 3. 4cos

x – cosx = 3 4. tan

x + 4tanx – 12 = 0 5. 6sin

(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0 6. 8cos

(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0

Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [- π /2, π /2[

7. 12sec

x + 5tanx = 14

Solutionnaire

Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [0, 2π[

1. 3sinx - 2= 0

3sinx - 2= 0 3sinx = 2 sinx = 2/3 θ₁ = 0,7297 θ₂ = π-θ₁ = 2,4119

Réponse : x ε {0,7297; 2,4119}

2. sinx + 1 = -cos²x

Il faut mettre l’équation égale à 0.

sinx + 1 + cos²x = 0

Il faudrait avoir l’équation en fonction de sinx.

sinx + 1 + (1- sin²x) = 0 -sin²x + sinx + 2 = 0

Factorisons (produit ac = -2, donc les facteurs sont -1 et 2)

-sin²x + 2sinx - sinx + 2 = 0 -sinx(sinx – 2) – (sinx -2) = 0 (sinx – 2)(-sinx – 1) = 0 (sinx – 2)(-sinx – 1) = 0

Posons

Sinx – 2 = 0 sinx = 2 impossible -sinx - 1 = 0 sinx = -1 x = { 3π/2}

Réponse : x ε { 3π/2}

3. 4cos²x – cosx = 3

Il faut mettre l’équation égale à 0.

4cos²x – cosx = 3 4cos²x – cosx – 3 = 0 Factorisons

4cos²x –4cosx + 3cosx – 3 = 0 4cosx(cosx – 1) + 3(cosx – 1) = 0 (cosx – 1)(4cosx + 3) = 0

Posons

cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = { 0}

4cosx + 3 = 0 cosx = -3/4 θ₁ = 2,4189 θ₂ = 2π-θ₁ = 3,8643 x = { 2,4189; 3,8643}

Réponse : x ε {0; 2,4189; 3,8643}

4. tan²x + 4tanx – 12 = 0 tan²x + 4tanx – 12 = 0

Factorisons (ac = -12 et les facteurs sont 1x12 2x6 3x4) Nous allons prendre -2 et 6

tan²x + 6tanx -2tanx – 12 = 0 tanx(tanx + 6) – 2(tanx + 6) (tanx + 6)(tanx – 2) = 0

Posons

tanx + 6 = 0 tanx = -6 x = -1,4056 tanx – 2 = 0 tanx = 2 x = 1,1071

si x ε [0, 2π[ et que la période de tanx est π, trouvons toutes les valeurs

x = -1,4056 x = -1,4056 + π =

1,736

4,8776

x = 1,1071 x = 1,1071 + π =

4,2487

Réponse : x ε {1,1071; 1,736; 4,2487; 4,8776}

5. 6sin

(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0

(Attention, sin(2x) veut dire que le (2x) c’est l’argument du sinus!)

Factorisons (produit ac = 12, donc les facteurs sont 3 et 4)

6sin

(2x) + 3sin(2x) + 4sin(2x) + 2 = 0

Posons

2sin(2x) + 1= 0 sin(2x) = -1/2 θ₁ = 7π/6 θ₂ = 11π/6 2x = 7π/6 x = 7π/12

2x = 11π/6 x = 11π/12

La période du sinus est P = 2π/|b| P = π ou P = 12π/12

Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[ x = 7π/12 + 12π/12 = 19π/12

x = 11π/12 + 12π/12 = 23π/12 x ε {7π/12, 11π/12, 19π/12, 23π/12}

3sin(2x) + 2= 0 sin(2x) = -2/3 θ₁ = -0,7297 θ₂ = π-θ₁ = 3,8713 2x = -0,7297 x = -0,3649 (Ne respecte pas la contrainte) 2x = 3,8713 x = 1,9357

La période du sinus est P = 2π/|b| P = π ou P = 3,141592

Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[ Ou x ε [0, 6,2832[

x = -0,3649 + 3,141592 = 2,7767 x = 2,7767 + 3,141592 = 5,9183 x = 1,9357 + 3,141592 = 5,0773

x ε {1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183}

Réponse : x ε {7π/12, 11π/12, 19π/12, 23π/12, 1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183 }

6. 8cos

(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0

(Attention, cos(3x) veut dire que le (3x) c’est l’argument du cosinus!)

Factorisons (produit ac = -24, donc les facteurs sont -6 et 4)

8cos

(3x) + 4cos(3x) - 6cos(3x) - 3 = 0 4cos(3x)(2cos(3x) + 1) – 3(2cos(3x) + 1) = 0

Posons

2cos(3x) + 1 = 0 cos(3x) = -1/2 θ₁ = 2π/3 θ₂ = 4π/3 3x = 2π/3 x = 2π/9

3x = 4π/3 x = 4π/9

La période du cosinus est P = 2π/|b| P = 2π/3 ou P = 6π/9

Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[ x = 2π/9 + 6π/9 = 8π/9 x = 8π/9 + 6π/9 = 14π/9

x = 4π/9 + 6π/9 = 10π/9 x = 10π/9 + 6π/9 = 16π/9 x ε {2π/9, 4π/9, 8π/9, 10π/9, 14π/9, 16π/9}

4cos(3x) – 3 = 0 cos(3x) = ¾ θ₁ = 0,7227 θ₂ = 2π-θ₁ = 5,5605 3x = 0,7227 x = 0,2409

3x = 5,5605 x = 1,8535

La période du cosinus est P = 2π/|b| P = 2π/3 ou P = 2,0944

Donc on va rajouter une période tant que l’on va respecter la contrainte x ε [0, 2π[ Ou x ε [0, 6,2832[

x = 0,2409 + 2,0944 = 2,3353 x = 2,3353 + 2,0944 = 4,4297 x = 1,8535 + 2,0944 = 3,9479 x = 3,9479 + 2,0944 = 6,0423

x ε {0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}

Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε [- π /2, π /2[

7. 12sec²x + 5tanx = 14

Il faut mettre l’équation égale à 0.

12sec²x + 5tanx = 14 12sec²x + 5tanx -14 = 0 Il faudrait avoir l’équation en fonction de tanx.

12sec²x + 5tanx -14 = 0 12(1 + tan²x) + 5tanx -14 = 0 12 + 12tan²x + 5tanx -14 = 0 12tan²x + 5tanx -2 = 0

Factorisons

12tan²x + 5tanx -2 = 0 12tan²x + 8tanx – 3tanx -2 = 0 4tanx(3tanx + 2) – (3tanx + 2) = 0 (3tanx + 2)(4tanx – 1) = 0

Posons

3tanx + 2 = 0 tanx = -2/3 x = -0,588 4tanx – 1 = 0 tanx = ¼ x = 0,245

Réponse : x ε {-0,588; 0,245}