E141 – Les suites du millésime [**]
Q1 On considère la suite d’entiers 1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,…. Déterminer le 2021ième terme.
Q2 Combien y a-t-il de suites distinctes d’entiers consécutifs dont la somme est égale à 2021 ? Nota : les deux questions sont indépendantes.
Solution de Paul Voyer
Q1
La suite est périodique (période = 24) le 2021ème terme est 5.
Q2
Une telle suite de q+1 à p (p-q termes) est telle que p(p+1)/2-q(q+1)2 = 2021 p²-q²+p-q = (p-q)(p+q+1) = 2*43*47
Il existe 4 telles suites (dont une à 1 seul terme)
p-q = 1 p = 2021, q = 2020 2021 = 2021 p-q = 2 p = 1011, q = 1009 1010+1011 = 2021 p-q = 43 p = 68, q = 25 26+27+…+68 = 2021 p-q = 47 p = 66, q = 19 20+21+…+66 = 2021
Il existe aussi les 4 suites respectivement correspondantes de –q à p (p+q termes), dans lesquelles sont insérées les sous-suites de –q à q, de somme nulle, soit :
de -2020 à 2021 de -1009 à 1011 de -25 à 68 de -19 à 66
Soit au total 8 suites d'entiers consécutifs.
