Enoncé H147 (Diophante) Surfaces et degrés
Q1 : Zig fait de la poterie et a offert à Puce un vase avec deux grosses anses.
Puce a commencé à le décorer et voudrait que chaque tache de couleur soit bordée d’au moins 8 autres. Peut-il y arriver ?
N.B. Ajouter une anse réduit de 2 unités la caractéristique d’Euler- Descartes de la surface χ =S +F −A (oùS est le nombre de sommets du graphe représentant ce réseau, F son nombre de faces, A son nombre d’arêtes), puisqu’on remplace deux faces (les zones d’appui de l’anse) par l’anse, qui équivaut à une face et une arête (la soudure de cette face qui permet d’en faire un tube).
Q2 : Puce a tracé un graphe (sans croisement d’arêtes) sur une surface de caractéristique χ. Qu’en résulte-t-il pour d, plus petit degré des sommets (chaque sommet a au moins d voisins) ? Pour le nombre de couleurs que peut demander une carte de géographie tracée sur cette surface ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Supposons que Puce ait réussi. LesF taches de couleur totalisent au moins 8F lignes de contact avec les taches voisines, soit 2A lignes, chacune étant comptée avec les deux taches qu’elle sépare, d’où A≥4F. LesS sommets apparaissant dans le dessin sont chacun le point de jonction d’au moins 3 lignes, en sorte que 2A ≥ 3S, chaque ligne étant comptée avec ses deux extrémités.
Ainsi S+F−A≤2A/3 +F−A=F −A/3≤F−4F/3 =−F/3, et comme il y a au moins 8 + 1 = 9 taches, S+F −A≤ −9/3 =−3.
Mais qu’en est-il du vase de Zig ? Le vase sans anses est équivalent à une sphère, sa caractéristique (relation de Descartes) est 2, et avec deux anses elle devient 2−2×2 =−2, > −3. C’est incompatible avec l’exigence de Puce.
Question 2
De manière analogue à la question 1, on a 2A ≥ dS, 2A ≥ 3F (chaque face est bordée d’au moins 3 arêtes, car il n’y a pas deux arêtes reliant une même paire de sommets voisins), etS ≥d+ 1. D’où
χ=S+F−A≤S+ 2A/3−A=S−A/3≤S(1−d/6).
Sid >6,χ≤(d+ 1)(1−d/6) et 6< d≤ 5 +√
49−24χ
2 .
Sid= 6, il fautχ≤0. C’est seulement sur les surfaces àχ >0 (2 pour la sphère, 1 pour le ruban de Möbius) qu’on doit avoird <6.
SiD est la limite haute de d sur une surface de caractéristiqueχ, D+ 1 couleurs suffisent pour colorier les sommets d’un graphe (deux sommets voisins étant de couleurs différentes) ou les pays d’une carte de géographie.
Soit en effet le plus petit graphe (en nombre de sommets) non colorable enD+ 1 couleurs ; il a un sommet de degré≤D; supprimons-le, le graphe restant est colorable enD+ 1 couleurs, et comme le sommet supprimé n’y a que D voisins au plus, il y a toujours une couleur disponible parmi les D+ 1 pour colorier ce sommet, d’où contradiction.
Pour le vase de la question 1,χ=−2, d≤(5 +√
97)/2 = 7,4. . .,D= 7.
Quel que soit le tracé des taches de couleur, Puce pourra se contenter de D+ 1 = 8 couleurs.
Dans un graphe complet densommets, tous les sommets ontn−1 voisins et le graphe n’est pas représentable sur la surface sin−1> D.
Remarque. La réciproque de cette dernière propriété (le graphe complet à D+ 1 sommets est-il représentable sur la surface ?) est particulièrement difficile ; à ma connaissance, la réponse est positive à l’exception de la bouteille de Klein (χ= 0, D= 6).
