Enonc´e noH135 (Diophante) Vaine pol´emique
Dans ce pays, les huit m´egapoles r´egionales sont reli´ees entre elles deux `a deux par un r´eseau de routes directes. Malgr´e l’absence de carrefours, les accidents sont si nombreux que les pouvoirs publics annoncent leur intention de mettre toutes les routes `a sens unique. Une pol´emique ´eclate sous pr´etexte que la longueur des trajets sera consid´erablement allong´ee. Montrer que cette pol´emique est vaine en proposant un plan de circulation dans lequel pour aller d’une ville quelconque `a une autre avec un r´eseau de routes `a sens unique, on passe au maximum par une autre ville.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
D´esignant les villes parA, B, C, D, E, F, G, H, j’oriente d’abord les 21 routes reliantA, B, C, D, E, F, G par les 3 parcours ferm´es `a sens unique1
ABCDEF GA,ADGCF BEA,AF DBGECA.
On v´erifie dans le tableau ci-dessous que tout voyage d’une de ces villes `a une autre peut ˆetre assur´e en deux routes au plus.
Il reste `a assurer les liaisons de et vers la villeH, ce qui peut ˆetre fait par les parcours `a sens unique
BHA,CHE,DHF,GH.
L´egende : en colonne de gauche, la ville de d´epart ; en ligne du haut, la ville d’arriv´ee ; dans la case correspondante du tableau,∗ pour un trajet direct, la ville de correspondance sinon.
A B C D E F G H A ∗ B ∗ B ∗ F B B G ∗ C ∗ C ∗ ∗ C ∗ A ∗ D ∗ D ∗ D E ∗ B ∗ E ∗ ∗ E ∗ F ∗ C ∗ F C F G ∗ G ∗ D ∗ G G ∗ A ∗ A ∗ E ∗ H ∗ A E A ∗ ∗ F
Sur 56 liaisons, 28 sont assur´ees par trajet direct ; le nombre moyen de routes
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a emprunter est 1,5.
1On peut y reconnaˆıtre les heptagones ´etoil´es associ´es `a un heptagone convexe ABCDEF G.
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