G132. Promenade sur le globe terrestre
• J’ai sur mon bureau un globe terrestre assimilé à une sphère parfaite de rayon . Je choisis points au hasard* sur le globe. Quelle est la probabilité pour qu’ils soient tous situés sur l’hémisphère Nord ?
• Je choisis neuf points au hasard* sur le globe. Quelle est la probabilité pour qu’au moins six d’entre eux soient situés sur le même hémisphère (i.e. tous du même côté par rapport à un plan passant par le centre de la sphère et coupant celle-ci selon un grand cercle) ?
• Je choisis points au hasard* sur le globe, entier fixé à l’avance, et je constate en répétant l’expérience un grand nombre de fois que la probabilité qu’ils soient tous situés sur le même hémisphère est égale à 12. Que vaut ?
• Je fais l’expérience qui consiste à choisir un point au hasard* sur le globe, puis un deuxième, puis un troisième...
puis un ième, et je m’arrête quand le dernier point numéroté 1 n’est plus dans le même hémisphère que les autres précédents. Si je renouvelle cette même expérience un très grand nombre de fois, quel est le nombre moyen de points qu'a nécessité chaque expérience ?
*Questions subsidiaires : pour choisir un point au hasard sur le globe, on considère une répartition de probabilité proportionnelle aux surfaces. Pour ce faire, je consulte une table de nombres de hasard qui me donne
successivement un nombre appelé longitude, exprimé en degrés, minutes et secondes et compris entre -180° et +180° et un nombre appelé latitude également exprimé en degrés, minutes et secondes et compris entre -90° et +90°. Je reporte sur le globe le point de longitude et de latitude . Le point est-il réellement choisi selon une loi de répartition de probabilité proportionnelle aux surfaces ? Si oui, pourquoi ? Sinon, comment faire ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Première question
L’hémisphère Nord représente la moitié de la surface de la sphère. A chaque tirage, un point a donc 12 chances de s’y trouver. La probabilité que points au hasard y soient situés est 1 2 .
Deuxième question
Considérons deux quelconques des neufs points pris au hasard. Un unique grand cercle passe par ces deux points et sépare la sphère en deux hémisphères (en bleu sur la figure ci-contre).
On affirme, grâce au principe des tiroirs, que parmi les sept points restants, quatre points au moins sont situés du même côté (en rouge sur la figure).
On conclut que la probabilité que six points parmi neuf soit sur le même hémisphère est tout simplement 1.
Troisième question
Notons l’hémisphère de pôle , l’hémisphère opposé, et le grand cercle qui les sépare.
Remarquons que . Il en découle que points , …, appartiennent à un même hémisphère si et seulement si .
Considérons les grands cercles . Le premier grand cercle forme deux régions sur la surface de la sphère. Le deuxième grand cercle coupe le premier en deux points et forme deux arcs venant couper les deux régions précédentes pour en former deux nouvelles. Lorsque grands cercles sont déjà représentés sur la sphère, le 1ième vient couper les précédents en 2 points, formant ainsi 2 arcs et donc 2 nouvelles régions. Donc, au total, les grands cercles forment donc 2 ∑!"#2 ² % 2 régions sur la surface de la sphère.
Pour un & donné, chacune de ces régions est entièrement dans ou entièrement dans . Une région donnée a '
donc une probabilité de 12 d’être incluse dans . Ainsi, la probabilité pour qu’au moins une région soit incluse dans est ²!())* .
Il existe donc une probabilité ²!())* que points choisis au hasard appartiennent à un même hémisphère.
On conclut alors que ") correspond à 6.
Quatrième question
La probabilité que les premiers points soient dans le même hémisphère est ""²!"()
), . La probabilité qu’on ait exactement points est donc "% "(. Le nombre moyen de points dans le même hémisphère est enfin donné par :
- "% "(
.
"#/
- "
.
"#
-² % 2 2"
.
"#
On remarque que, pour |1| 2 1, on a :
31 1
1 % 1 - 1"
.
"#/
3441 2
1 % 15 - % 11"!)
.
"#/
Ce qui permet de calculer que :
-² % 2 2"
.
"#
- % 1 61 27
"
.
"#/
- 61 27
"
.
"#/
1 4 39961
27 3 61 27 6
Le nombre moyen de points qu'a nécessité chaque expérience est : ; <. (Il convient d'ajouter le dernier point qui fait partie de l'expérience mais n'est pas dans le même hémisphère que les précédents.)
Questions subsidiaires
La surface balayée sur une sphère de rayon par une variation = de la latitude et = de la longitude est )cos = = qui n’est pas proportionnelle à = B = pour tout , .
En revanche, en choisissant par exemple D sin sur une table de hasard entre -1 et 1, on a bien )cos = =
² =D = proportionnel à =D B =.
Cela revient à choisir un point au hasard sur une carte obtenue par une projection orthogonale sur un cylindre tangent à la sphère à l’équateur.
Toute autre projection équivalente (i.e. qui conserve les rapports de surfaces) peut également convenir (e.g.
projection azimutale de Lambert, projection conique d'Albers).
