G10614. Archipel volcanique
Ses n îles sont reliées par des ponts, mais par économie ce réseau n’offre qu’un itinéraire possible pour relier une île quelconque à une autre. Chaque île a un volcan dont l’éruption la détruirait ainsi que les ponts qui y mènent.
Commence une période où chaque volcan a la probabilitépd’entrer en érup- tion.
a/ En fin de période, les îles subsistantes forment des sous-archipels isolés les uns des autres, mais à l’intérieur desquels les îles restent reliées. Combien, en moyenne, y aura-t-il de ces sous-archipels ?
b/ Sipest petit, peu d’îles disparaissent ; sipest grand, peu d’îles subsistent.
Quelle valeur dep maximise le nombre moyen de sous-archipels ? Solution
Considérons lesnîles comme les sommets d’un graphe dont les arêtes sont les ponts. Ce graphe est connexe et sans cycle (on peut toujours passer d’un sommet à un autre, mais d’une seule façon), c’est un arbre, et il y a n−1 ponts.
Désignons une des îles comme capitale de l’archipel. On peut orienter chaque pont dans la direction (définie sans ambiguïté) allant vers la capitale.
En fin de période d’éruption, des îles ont disparu avec les ponts adjacents, laissant subsister un sous-graphe dont les sous-archipels sont les composantes connexes. Dans chaque sous-archipel, le point extrême où mènent les ponts restants, avec l’orientation initiale, est une île que je fais capitale du sous- archipel. Deux conditions la caractérisent : elle n’a pas disparu, et (si ce n’est pas la capitale initiale) l’île suivante dans la direction de la capitale initiale a disparu.
a/ Le nombre des sous-archipels est le nombre de ces nouvelles capitales. La contribution d’une île à l’espérance de ce nombre est la probabilité que cette île soit nouvelle capitale. Il suffit alors d’ajouter les contributions propres à chaque île (le fait que les événements “telle île devient capitale” ne sont pas indépendants est sans importance).
Cette contribution est 1−ppour la capitale initiale, etp(1−p) pour chacune desn−1 autres îles.
L’espérance est ainsi (1−p)(1 + (n−1)p) = 1 + (n−2)p−(n−1)p2. b/ Ce trinôme en p est maximum pour p = (n−2)/(2n−2) et vaut alors n2/(4n−4).
