Devoir no3 - Etude de fonctions - Continuit´e - TS 22 octobre 2014 - 2h
Exercice 1 (3 pts) : Soit f d´efinie surRpar
f(x) =
x3−x−6
x−2 six6= 2
10 six= 2
La fonction f est-elle continue au point d’abscisse 2 ? Exercice 2 (3 pts) : Soit f la fonction d´efinie par :
f(x) =p
x2−x3 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition Df de f.
2. D´emontrer que f est continue sur Df.
3. ´Etudier la d´erivabilit´e de f en 0. Donner une interpr´etation graphique du r´esultat.
Exercice 3 (6 pts) : Soit f la fonction d´efinie surI =i
−π 2;π
2 h par :
f(x) = tanx−x− x3 3 1. On appelle gla fonction d´efinie sur I parg(x) = tanx−x.
a) Montrer queg est impaire.
b) Dresser le tableau de variations deg.
c) Calculer g(0) et d´eterminer le signe de g(x) sur I.
2. a) Calculer la d´eriv´ee f′ de f sur I, et montrer quef′(x) = (tanx+x)g(x).
b) D´eterminer le signe def′(x) pour toutx de I.
c) En d´eduire les variations de f surI.
Exercice 4 (8 pts) :
1. Soit g la fonction d´efinie surR par :
g(x) =x3−3x−4
a) D´emontrer que g(x) = 0 admet une solution unique surRque l’on appellera α.
Donner une valeur approch´ee `a 10−2 pr`es deα.
b) Donner le signe de g sur ]1; +∞[.
2. Soit f d´efinie sur D=]1; +∞[ par :
f(x) = x3+ 2x2 x2−1 a) Montrer quef′ etg ont mˆeme signe surD .
b) Dresser le tableau de variations def.
c) Donner une valeur approch´ee `a 10−1 def(α).
d) D´eterminer l’´equation de (T), la tangente `aC au point d’abscisse 2.
