La décimale .4 est utilisée pour calculer les récalcitrants : 33 = 4

A144 – 4x4 [****]

Solution

Voici le tableau qui récapitule les expressions permettant de calculer tous les entiers entre 0 et 50 selon les 4 colonnes fixées dans l’énoncé. Les réponses ne sont pas évidemment pas uniques dans la plupart des cas :

On constate que les 4 opérations de base permettent de calculer 16 des 25 premiers nombres entiers, ce qui est un bon score. Pour les 25 entiers suivants, la performance des opérations de base est médiocre et il faut le secours des ! et racine carrée. La décimale .4 est utilisée pour calculer les récalcitrants :

33 = 4 ! + (4 – 0,4)/0,4 = 24 + 3,6/0,4 = 24 + 9 puis 39 = (4*4 - .4)/.4 = (16 – 0,4)/0,4 = 15,6/0,4 = 39 et enfin 41 = (4*4 + .4)/.4 = 16,4/0,4 = 41.

Le 31 octobre 2005, Arnaud DEROUET a fait parvenir deux formules pour exprimer 33 et 41 avec uniquement des racines carrées, des factorielles et des puissances.

33 = ( 4 ( 4)^4! )/ 4

41 = ((44)!4!)/(4!)

Toutes nos félicitations. Il ne reste plus qu’une seule formule utilisant la décimale.

D’où le tableau rectifié :

L’expression qui utilise les logarithmes et permet d’exprimer n’importe quel entier N est la suivante :

Au numérateur les racines carrées apparaissent N fois. Le dénominateur vaut log2 tandis que

) 4 ...

log( = log(4^1/2N)=log4/2^N et le numérateur est alors égal à log(2 ) = Nlog2. ^N On retrouve bien l’entier N.