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Texte intégral

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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Lefèvre, C. (1979). Contrôle optimal de phénomènes épidémiques (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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à)

^5^

UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES

FACULTE DES SCIENCES

CONTROLE OPTIMAL

PHENOMENES EPIDEMIQUES

1.-.

> : ' . -J *’

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences

( Grade légal )

Année académique 1978-1979 Claude LEFEVRE

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I CiCLIOTHEGliE DE MATHEMATIQUES

I __________DE PilYSiQL'E I

M P

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CaL i

CONTROLE OPTIMAL

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PHENOMENES EPIDEMIQUES

Thèse présentée en vue de l'obtention du grade de Docteur en Sciences

( Grade légal )

Année académique 1978-1979 Claude LEFEVRE

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Thèse annexe

Dans le cas d’un processus moyenne mobile agissant sur un bruit blanc non sta­

tionnaire (processus HAG), on peut montrer le lien entre les décompositions de Wold-Cramér prospective et rétrospective. Les résultats permettent de justifier, sous certaines conditions, l'utilisation de la prévision rétrospective au moyen du modèle prospectif dans la phase d’estimation des paramètres d’un processus riAG à partir d’une série chronologique finie.

(5)

pAodlgué^ duAAnt l'elaboAotlon de ce tA.avatl et pouJi noué aootfi peAmlé d'y conéacAeA un maximum de tempé.

Noué odAeééoné également nctAe plué vive Aeconnatééance à Monéteun. le PA-o^eééejun. J.Teghem qut apAéé avolA dlAtgé notAe mêmolAe de licence, noué a Incité à pouAéulvAe noé Ae.cheAcheé dané le domaine de l’épidémiologie mathé­

matique. Se^ éuggeétioné et AemcAqucé noué ont été t>iè^ utileé.

Ce tAavall doit auéél beaucoup à MonéleuA G.Mélxvcd pouA l'aide pAécleuée qu'il, noué a appoAtée à malnteé AepAiéeé, alnél qu'aux PAo^eééeuAé R.SaundeAé et R.J.KAyéclo pouA la pont impoAtante qu'lié ont pnlée dané l'élaboAotlon du pAemieA chapitre.

La compAéhenélon de noé collègues du SeAvlce de Statiétlque, M.Petit^AéAe, J.J.VAoeébeke, M.Hallin et J.Lemaùie nou^ a aidé à tAouveA le tempé néceééolAe à la Aédactlon finale. M

ol

'J> AemeAcioné en^ln leé peAéonneé qui ont Aéaiiéé la dactylogAuphle du tA.avail pouA. le éoln et la célénlté qu'elleé y ont appoAtéA

.

&6S692

(6)
(7)

Depuis la publication en 1957 du livre de Bailey "The mathematical theory of épi­

démies", l'épidémiologie mathématique a suscité un intérêt croissant dans les milieux probabilistes. En 1975» dans la seconde édition de ce livre intitulée de manière

moins restrictive "The mathematical theory of infections diseases and its applications", Bailey donne une liste de plus de 500 articles et ouvrages de référence.

Récemment, et notamment depuis les travaux: d'Abakuks [l , 2, 3], les recherches se sont dirigées plus particulièrement vers les problèmes de contrôle optimal de phénomè­

nes épidémiques. Dans un excellent article de synthèse, Wickwire [U5] présente les principaux modèles de contrôle étudiés jusqu'en 1976 dans le domaine des "pestes et maladies infectieuses". Notre bibliographie reprend ceux qui ont trait plus spécifi­

quement aux phénomènes épidémiques.

Dans ce travail, nous nous proposons d'étudier quelques problèmes de contrôle optimal de phénomènes épidémiques. Les modèles envisagés donnent certes une représen­

tation simplifiée de la réalité mais ils permettent de montrer clairement la structure de la politique optimale et ils constituent ainsi une première étape nécessaire pour l'étude de modèles plus compliqués.

Il est important de remarquer que l'étude des phénomènes épidémiques ne se limite pas à celle de la propagation des maladies infectieuses. Comme l'a souligné Dietz [19] , ces modèles conviennent également pour représenter la propagation des rumeurs. D'autre part, ces modèles sont plus appropriés que les modèles "linéaires" pour décrire notam­

ment certaines situations de crise dans les domaines économique, monétaire et boursier.

Nous allons en donner un exemple pour l'épidémie de Dovnton [22] que nous considérons dans la première partie du travail.

Le modèle d'épidémie de Downton concerne une population fermée subdivisée en trois classes : les susceptibles, individus susceptibles de contracter la maladie, les porteurs, individus porteurs du germe infectieux et qui le transmettent, et les élimi­

nés, individus qui ont quitté définitivement l'état de susceptible ou de porteur.

Dans cette population, l'infection se propage de portevjr à susceptible avec une inten-

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sité qui est proportionnelle au nombre de susceptibles et de porteurs. Une proportion TT des susceptibles infectés deviennent des porteurs tandis que les autres, en pro­

portion (l-ïï), sont détectés et deviennent des éliminés. De plus, l'élimination des porteurs par décès ou cessation de l'effet infectieux se produit avec une intensité proportionnelle au nombre de porteurs.

Ce modèle d'épidémie convient également pour décrire l'évolution des entreprises dans une situation de crise économique. En effet, modifions légèrement la terminologie employée et appelons susceptibles les entreprises "bien portantes", porteurs les en­

treprises "malades" et éliminés les entreprises qui ont dû cesser leurs activités.

Le modèle d'épidémie de Downton peut alors s'interpréter de la manière suivante. Les entreprises malades achetant moins aiuc autres entreprises et ne pouvant de plus res­

pecter les délais de paiement, infectent c'est-à-dire mettent en difficulté les entre­

prises bien portarÆes. Une proportion tt des entreprises bien portantes ainsi tou­

chées par la crise deviennent des entreprises malades tandis que les autres, en pro­

portion (1-tt), choisissent dé cesser leurs activités par crainte de subir des pertes.

En outre, dans une situation de crise, les entreprises malades tombent en faillite et deviennent donc des éliminés.

Les contrôles de l'épidémie étudiés au chapitres 3 et U par isolation de porteiirs et immunisation de susceptibi.es peuvent aussi s'interpréter dans notre exemple de situa­

tion de crise économique. L'isolation de porteurs représente notamment la prise en charge par l'état d'entreprises malades tandis que l'immunisation d'entreprises bien portantes résulte de l'octroi par l'état de facilités à l'exportation ou de subsides compensatoires, par aide directe ou, par exemple, par réduction d'impôts.

Certes, nous avons ainsi donné une description simplifiée du problème économique réel mais une représentation plus rée.liste peut être obtenue en considérant des modèles d'épidémie également plus réalistes. Par exemple, l'hypothèse sévère que toutes les entreprises ont la même importance sur le marché peut être éliminée grâce aux modèles d'épidémie de Becker [9] dans lesquels les susceptibles et les porteurs se subdivisent en classes selon leur degré de susceptibilité et de contagiosité.

(9)

lère partie

La première partie, qui comprend quatre chapitres, est consacrée à l'étude de deux problèmes de contrôle de l'épidémie de Downton [22] et de ses cas particuliers, l'épidémie générale qui correspond au cas où ïï = 1 (voir Bailey [6]) et l'épidémie

de Weiss

[4o]

qui correspond au cas où ir = 0. Nous envisageons les versions stochas­

tique et déterministe de l'épidémie, mais comme le cas déterministe est nettement plus facile à traiter, nous supposons dans cette introduction et dans le travail que sauf mention contraire, le modèle est stochastique. Dans les chapitres 1 et 2, nous faisons une étude détaillée de deux, composantes importantes du coût de l'épidémie, d'une part la taille moyenne de l'épidémie, et d'autre part l'aire moyenne sous la tra­

jectoire décrite par le nombre de porteurs. Dans les chapitres 3 et 4, nous considé­

rons deux modèles de contrôle de l'épidémie, par isolation de porteurs et par immunisa­

tion de susceptibles.

Chapitre 1

La taille de l'épidémie, c'est-à-dire le nombre de susceptibles éliminés ou deve­

nus porteurs en fin d'épidémie, est ur.e composante essentielle pour prévoir l'importance et l'impact financier de l'épidémie. Sa distribution a été étudiée notamment par

Weiss [Uo] , Downton [20, 21 , 22] et Daniels [l^+, 15]. Dans les problèmes de contrôle (chapitre 3 et U), nous serons plus particulièrement intéressés par la taille moyenne de l'épidémie. Elle fait l'objet du chapitre 1.

Au paragraphe 1, nous résumons brièvement les principaux résultats obtenus par Weiss [i+O] , Downton [20], Abakuks [l, 2, 3] et Lefèvre [30, 31]. Un seul problème important restait en fait non résolu, celui du comportement asymptotique de la taille moyenne des épidémies générale stochastique et de Downton lorsque le nombre de suscep­

tibles tend vers l'infini. Au paragraphe 2, nous rappelons le système d'approximation proposé pour ces modèles par Kendall [28] et Abakuks [i+] , et nous montrons comment Abakioks en déduit que le nombre moyen de susceptibles survivants tend vers 6 . p/iT

s, I lorsque le nombre de susceptibles tend vers l'infini (s est le nombre initial de

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porteurs, p est le ta\ix relatif d'élimination des porteurs et tt est la proportion de susceptibles infectés devenant porteurs). Au paragraphe 3, nous donnons une dé­

monstration rigoureuse de la conclusion d'Abakuks, démonstration établie par Saunders, Lefèvre et Kryscio [36] . Par la même occasion, nous montrons donc que des approxima­

tions du type de celle proposée par Kendall et Abakuks peuvent être utilisées pour ti­

rer certaines conclusions, du moins asymptotiquement.

Chapitre 2

Une autre composante importante du coût de l'épidémie est l'aire sous la trajec­

toire décrite par le nombre de porteurs qui représente, par exemple, la perte de pro­

ductivité des individus devenus porteurs. Elle fait l'objet du chapitre 2. Signalons que nous avions déjà abordé l'étude de ce problème dans notre mémoire de Licence en Sciences actuarielles [30] mais les résultats obtenus alors n'étaient que partiels et notamment insuffisants povir permettre un examen approfondi des problèmes de contrôle des chapitres 3 et U.

Le paragraphe 1 est consacré à la recherche de l'expression des transformées de Laplace-Stieltjes de l'aire. Les résultats obtenus généralisent ceux de Gani et

Jerwood [2?] et Jerwood [27] . Les deux paragraphes suivar.ts concernent l'aire moyenne sous la trajectoire décrite par le nombre de porteurs. Cette quantité est d'autant plus importante que comme l'ont démontré Downton [2U], Jerwood [27] et Kryscio et Saunders [29], elle est en fait égale au nombre moyen de porteurs éliminés divisé par le taux relatif d'élimination des porteurs. Le paragraphe 2 est essentiellement consa­

cré à l'étude de l'aire moyenne en fonction du nombre de susceptibles et du nombre de porteurs. Les résultats obtenus complètent ceiix de Jeirwood [27] et Kryscio et

Saimders [29] pour l'épidémie de Weiss. Au paragraphe 3, nous montrons que l'aire moyenne peut s ' écrire comme un polynôme en 1T et nous illustrons sur un exemple sim­

ple l'avantage de cette représentation. Au paragraphe U, nous étudions l'aire dans le modèle déterministe d'épidémie de Do>7nton.

(11)

Chapitre 3

Dans le chapitre 3, nous étudions un problème de contrôle par isolation de por­

teurs lorsque le coût social de l'épidémie se compose d'vm coût unitaire C par dimi­

nution de susceptible et d'un coût unitaire M par porteur et par unité de durée de contamination de porteur (C^0,M>0 et C + M>0). L'isolation peut s'effectuer sur un nombre quelconque de porteurs au coût unitaire L > 0 et elle est supposée agir instantanément et avec une efficacité totale. Le problème est de trouver la poli­

tique optimale d'isolation de manière à minimiser le coût moyen total de l'épidémie et du contrôle jusqu'à ce que l'épidémie se termine.

Remarquons que si C = 1 et M = 0, le coût moyen de la politique qui consiste à ne jamais isoler de porteur est égal à la taille moyenne de l'épidémie (chapitre 1). Le problème se ramène alors à celui que nous avons examiné dans notre mémoire de Licence en Sciences actuarielles [30] et qui est la généralisation au modèle de Downton de celui étudié par Abakuks [2] pour l'épidémie générale stochastique. D'autre part, si C = 0 et M = 1, le coût moyen de la politique qui consiste à ne jamais isoler de por­

teur est égal à l'aire moyenne sous la trajectoire décrite par le nombre de porteixrs

f

(chapitre 2). C'est cette composajite de coût que Wickwire [U1-4T] introduit dans la plupart de ses modèles de contrôle des probabilités de transition.

Après avoir exposé au paragraphe 1 le modèle de contrôle, nous montrons au para­

graphe 2 qu'il existe une borne d'isolation, fonction non décroissante du nombre de susceptibles, telle que la politique optimale est d'isoler tous les porteurs si le nom­

bre de porteurs est inférieur ou égal à cette borne, et de ne pas isoler de porteur dans le cas contraire. Au paragraphe 3, nous établissons une procédure itérative pour calculer les bernes d'isolation et nous étudions leur comportement asymptotique lorsque le nombre de susceptibles tend vers l'infini (pour le modèle de Weiss, les résultats obtenus restent cependant incomplets). Le paragraphe

k

concerne le même problème de contrôle, mais cette fois pour le modèle déterministe d'épidémie de Doraton. Au para­

graphe 5» nous considérons un problème de contrôle plus restrictif où les politiques admissibles permettent d'isoler immédiatement un nombre quelconque de porteurs, mais

(12)

par cüntre interdisent dans le futur toute intervention. Le paragraphe 6 est consacré à une étude comparative de ces différents modèles d'épidémie et de contrôle et au paragraphe T, nous illustrons les résultats obtenus par quelques exemples numériques.

Chapitre ^

Le chapitre 4 est consacré à un problème de contrôle par immtinisation de suscep­

tibles de manière à minimiser le coût moyen total de l'épidémie et du contrôle jusqu'à ce que l'épidémie se termine.

Par analogie avec le modèle de contrôle par isolation étudié au chapitre 3, il serait naturel de supposer que

1) l'immunisation peut s'effectuer sur un nombre quelconque de susceptibles;

2) le coût social de l'épidémie se compose d'un coût unitaire C par diminution de susceptible et d'un coût unitaire M par porteur et par unité de durée de contamina­

tion de porteur (C > 0, M > 0 et C + M > O).

Toutefois, le modèle étudié dans ce chapitre est plus restrictif que ce modèle général. En effet,

1') sauf pour le modèle de Weiss, nous considérons uniquement les politiques qui per­

mettent d'immuniser soit tous les suceptibles, soit aucun.

Cette réduction dans la classe des politiques admissibles nous permettra d'obtenir une expression plus simple de la politique optimale. Lorsque C > 0, la politique optimale ainsi obtenue n'est pas nécessairement optimale pour le modèle général. Par contre, lorsque C = 0, il semble d'après les études numériques faites que les politiques opti­

males de ces deux problèmes sont en fait identiques. Nous n'avons cependant pas pu démontrer cette conjecture;

2') nous supposons C = 0 et M > 0.

Dans le cas où C > 0 et M = 0, le problème est celui que nous avons examiné dans notre mémoire de Licence en Sciences actuarie3.1es [30] et qui est la généralisation au modèle de Dowrton de celui étudié par AbaJcuks [3] pour les épidémie de Weiss et

générale stochastique. De façon assez surprenante, les propriétés de la politique op-

(13)

timale dans les cas C = 0,M>0 et C>0,M = 0 sont très differentes et même parfois diamétralement opposées. L'étude du cas C >0 et M > 0 en est d'autant plus difficile et reste un problème ouvert.

Nous exposons au paragraphe 1 le modèle de contrôle. Au paragraphe 2, nous étu­

dions le modèle de contrôle généreil pour l'épidémie de Weiss et nous montrons que pour trouver la politique optimale, il suffit de considérer uniquement les politiques qui permettent d'immuniser soit tous les susceptibles soit aucun. Dans les trois paragra­

phes suivants, nous supposons que pour l'épidémie de Downton, ces politiques sont les seules politiques de contrôle admissibles. Nous montrons au paragraphe 3 qu'il existe alors une berne d'immunisation fonction du nombre de susceptibles, telle que la poli­

tique optimale est d'immuniser tous les susceptibles si le nombre de porteurs est su­

périeur à cette borne et de ne pas immuniser de susceptible dans le cas contraire. Au paragraphe

h,

ncus étudions quelques propriétés des bernes d'immunisation et nous commentons les remarques faites aux points 1') et 2'). Le paragraphe 5 concerne le même problème de contrôle, mais cette fois peur le modèle déterministe d'épidémie de Downton.

Signalons enfin qu'il serait intéressant d'étudier un problème de contrôle de l'épidémie à la fois par isolation de porteurs et par immunisation de susceptibles.

2ème partie - Chapitre ^

Dans la deuxième partie du travail (chapitre 5)» nous étudions un modèle de contrôle pour la guérison des infectés dans l'épidémie stochastique simple (voir par exemple Bailey [6]). Le contrôle s'effectue en faisant varier à n'importe quel moment les taux de probabilité de guérison des infectés de manière à minimiser en moyenne le coût social des infectés et le coût de contrôle jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'in- fectés dans la population. Les mécanismes de propagation de l'épidémie et du contrôle sont en fait les versions stochastiques de ceux introduits par Sanders [35] et Sethi [37]

sauf qu'ici, les taux de guérison possibles sont supposés être en nombre fini. Par contre, les coûts de l'épidémie et du contrôle diffèrent de ceux de Sethi [37] :

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nous considérons uniquement le problème en horizon infini et sans actualisation, mais de manière plus réaliste, le coût de contrôle par unité de temps, pris proportionnel au taux de guérison dans le modèle de Sethi , est ici égal au nombre d'infectés multi­

plié par vme fonction croissante du taux de guérison.

Il convient de souligner que l'article de Sanders [35] , bien que comportant de nombreuses imprécisions (Sethi. [3?])» est très intéressant dans la mesure où pour la première fois â notre connaissance, les résultats théoriques obtenus ont été appliqués au contrôle d'une maladie réelle [il s'agit de la trachoma (maladie des yeux) dans une tribu indienne des Etats-Unis].

Le paragraphe 1 est consacré à la présentation du modèle d'épidémie stochastique simple et â la formulation du problème de contrôle. Au paragraphe 2, nous montrons qu'il existe une politique optimale stationnaire et nous établissons des conditions suffisantes d'exclusion de certains taux en tant que taux optimal. Au paragraphe 3, nous démontrons que le taux, de guérison optimal est une fonction non croissante du nombre d'infectés dans la population. Grâce à ces résultats, nous déduisons au para­

graphe un algorithm.e d'obtention de la politique optimale et nous nous intéressons en particulier au cas où le coût de contrôle est égal au nombre d'infectés multiplié par une fonction linéaire croissante du taux de guérison.

Notons enfin que pour démontrer certains résultats, nous exploitons l'analogie avec un problème de contrôle optimal étudié par Crabill [13] pour un système de mainte­

nance avec des taux de réparation de machines contrôlables.

3ème partie - Chapitre 6

Dans un article récent, Dayananda et Hogarth [17] ont présenté un modèle de contrôle par immunisation pour des modèles d'épidémie en chaîne-binomiale lorsque le coût social de l'épidémie est donné par le nombre de nouvelles infections dans la popu­

lation. Supposant que l'immunisation est pratiquée à la fin de chaque période de la­

tence et qu'ei.le agit instar.t£,nément et avec une efficacité totale, Dayananda et Hogarth montrent que lorsque le coût de contrôle est une fonction linéaire du nombre

(15)

d'imnuinisations, la politique optimale est du type tang-bang avec au plus un saut.

Dans la troisième partie du travail (chapitre 6), nous étudions un modèle de contrôle plus général pour iram\iniser les susceptibles dans les mêmes modèles d'épidé­

mie. A la fin de chaque période latence, une action de contrôle est prise au moyen de traitements médicaux qui immunisent instantanément un nombre aléatoire de suscepti­

bles avec une efficacité et à un coût dépendant du niveau d'intensité du traitement.

Le problème est de trouver pour tout horizon de longueur donnée, une politique qui mi­

nimise le coût total de l'épidémie et du contrôle.

A paragraphe 1, nous présentons les modèles d'épidémie en chaîne-binomiale de Greenwood et Reed-Frost, dans leurs versions stochastique (voir par exemple Bailey [6] ) et déterministe (Dayananda [l6]), et nous exposons le modèle de contrôle en illustrant par quelques exemples les principales hypothèses faites. Les paragraphes 2 et 3 sont consacrés au problème du contrôle de l'épidémie de Greenwood, dans sa version détermi­

niste et stochastique. Nous montrons que le niveau de traitement optimal est indépen­

dant du nombre de susceptibles et non décroissant en la longueur de l'horizon considéré.

Dans un cas particulier, la politique optimale est du type bang-bang avec au plus un saut et nos résultats sont alors similaires à ceux obtenus par Dayananda et Hogarth [17]•

Dans les paragraphes U et 5» nous étudions le problème du contrôle de deux approxima­

tions de l'épidémie de Reed-Frost qui correspondent, dans la version stochastique, aux cas où la probabilité de contact entre deux individus est proche soit de 1 soit de 0.

Nous montrons que dans la version déterministe, le niveau de traitement optimal est indépendant du nombre de susceptibles et de la longueur de l'horizon considéré et

dépend donc uniquement du nombre d'infectés. Par contre, dans la version stochastique, la structure de la politique optimale est plus compliquée et des résultats du même type ne peuvent être obtenus que sous certaines hypothèses supplémentaires. Dans ces deux paragraphes, nous présentons un cas particulier où comme dans le modèle de Dayananda et Hogarth [iTl > la politique optimale est du type bang-bang avec au plus un saut.

(16)

Notons enfin que cette étude nous a en outre permis de corriger un certain nom­

bre d'erreurs dans l'article de Dayananda et Hogarth [1T] et de démontrer de façon plus claire et rigoureuse, les résultats qu'ils avaient obtenus de manière très peu précise.

(17)

CONTROIÆ OPTIMAL DE L'EPIDEMIE DE DCWNTON

(18)

LE MODELE D'EPIDEMIE DE DOWNTON

§ 1. LE MODELE STOCHASTIQUE

Considérons une population subdivisée en trois classes,

Zes susceptibles^

indivi­

dus susceptibles de contracter la maladie,

les porteurs,

individus porteurs du germe et qui le transmettent, et

les éliminés,

individus qui ont quitté définitivement l'état de susceptible ou. de porteur.

A tout instant t > 0, les susceptibles, les porteurs et les éliminés sont dénombrés respectivement par les variables aléatoires

discrètes

R(t), C(t) et W(t). La popu­

lation est supposée fermée d'effectif N, c'est-à-dire que pour tout t > 0 R(t) + C(t) + W(t) = N

avec

R(0) > 1, 0(0) > 1 et R(0) + 0(0) = N .

Au cours de l'intervalle de temps élémentaire (t, t+6t], les transitions possibles sont, pour r > 1 et s > 1

élimination d'un porteur, avec la probabilité

P[R(t+6t) = r, C(t+6t) = s-1 I R(t) = r, C(t) = s] = gs6t + o(6t) , création d'un nouveau porteur, avec la probabilité

P[R(t+6t) = r-1, C(t+ôt) = s+1 I R(t) = r, C(t) = s] = Xrs6t + o(6t) , élimination d'un susceptible, avec la probabilité

j P[R(t+6t) = r-1, C(t+6t) = s 1 R(t) = r, C(t) = s] = ys6t + o(6t) , où 3 est une constante positive, et X et y sont des constantes non négatives telles que (X + y) est positif.

Nous ne mentionnerons pas ici les remarques relatives aux implications épidémiologiques du modèle; elles ont été faites précédemment par Corlier [12]. Signalons toutefois que le modèle suppose que la population est homogène et constamment brassée, que la période de latence est nulle et que la durée d'infection admet une distribution

(19)

exponentielle négative.

En choisissant (A + y) comme nouvelle unité de temps, les probabilités de transition dans l'intervalle de temps (t, t+6t] peuvent encore s'écrire pour r > 1 et s ^ 1

P[R(t+6t) = r, C(t+6t) = 3-1 I R(t) = r, C(t) = s] = ps6t + o(6t) , P(R(t+6t) = r-1, C(t+6t) = s+1 I R(t) = r, C(t) = s] = irrsôt + o(6t) , P[R(t+6t) = r-1, C(t+6t) = s I R(t) = r, C(t) = s] = (l-ir)rs6t + o(6t) ,

où P - P > 0-est le taux relatif d'élimination des porteurs, et Tr-0<iT<1- est la proportion des susceptibles devenant porteurs.

L'épidémie se termine par l'élimination de tous les porteurs

ou

de tous les susceptibles.

Certains auteurs supposent que l'épidémie se termine uniquement par l'élimination de tous les porteurs, ce qui présente l'avantage de rendre plus facile l'étude probabiliste du modèle. En fait, aucune de ces deux définitions n'est à vrai dire la meilleure, le choix de l'\me ou l'autre devant être dicté par la situation réelle étudiée. Toutefois, celle que nous avons retenue s'inscrit mieux dans le contexte épidémiologique puisque pour qu'une épidémie se développe, il doit nécessairement y avoir et des porteurs et des susceptibles.

Si l'on fait abstraction du temps et que l'on s'intéresse uniquement à la succes­

sion des transitions, le processus épidémique apparaît comme une promenade aléatoire à deux dimensions sur un treillis de peints (r, s) du plan, 1 <r <R(0), 1 < s <N, dont les états absorbants sont (r, 0), 1 <r <R(0), et (O, s), 1 <s < N.

Les transitions possibles sont alors pour r > 1 et s > 1

(r, s) ->• (r, s-l), avec la probabilité p/(p+r) , (r, s) (r-1, s+1), avec la probabilité 'iïr/(p+r) , (r, s) (r-1, s), avec la probabilité ( 1-iT)r/(p+r ).

(20)

§ 2. LE MODELE DETERMINISTE

Le modèle déterministe se construit aisément par analogie avec le modèle stochas­

tique. Si r(t), s(t) et 'w(t) sont les variables,

oontinues

cette fois, représen­

tant les nombres de susceptibles, de porteurs et d'éliminés à l'instant t > 0, nous obtenons le système d'équations différentielles

= - r(t)s(t) , dt

= - ps(t) + ïïr(t)s(t).

= ps(t) + ( 1-ir)r(t)s(t) ,

les trois variables étant liées à tout instant t > 0 par la relation r(t) + s(t) + w(t) = N

avec

r(0) >0, s(0) >0 et r(0) + s(0) = N . L'épidémie évolue donc suivant la courbe

s(t) + TTr(t) - P log r(t) = X

où le paramètre X est déterminé par l'état initial, c'est-à-dire X = s(0) + Trr(O) - P log r(0) .

On montre facilement ( [30], p.22) que lorsque l'épidémie évolue.

r(t)

s(t)

décroît croît si décroît si

r(t) > p/iT r(t) < p/iT

avec r(oo) >0 ,

avec s(oo) = 0 ,

et l'épidémie se termine donc lorsqu'il n'y a plus de porteurs.

(21)

§ 3. CAB PARTICULIERS

Deux cas particuliers de ce modèle ont fait l’olDjet d'une étude séparée,

le modèle de Weiss

qui correspond au cas où tt est égal à 0 et Z

^ê'pidêmie générale

qui corres­

pond au cas où tt est égal à 1.

Ces différents modèles d'épidémie dans leur version stochastique sont représentés sous une forme schématique dans le tahleau ci-dessous :

Signalons que Becker [9l > Corlier [12], et De Picker [l8] ont proposé et étudié (du moins par’tiellement) des généralisations de ces modèles en supposant que les sus­

ceptibles et les porteurs se subdivisent en classes selon leur degré de susceptibilité et de contagiosité.

(22)

LA TAILLE MOYENNE DE L'EPIDEMIE

(23)

Nous entendons par taille de l'épidémie» le nombre de susceptibles éliminés ou devenus porteurs en fin d'épidémie, et nous notons

C(r, s) la taille moyenne de l'épidémie stochastique x(r, s) la taille de l'épidémie déterministe

dont les nombres initiaux de susceptibles et de porteurs valent respectivement r et s.

§ 1. QUELQUES THEOREMES PRELIMINAIRES

Nous résumons ici brièvement les principaux résultats obtenus par Weiss

[4o]

, Abakuks [l, 2, 3, 4], Downton [20] , et Lefèvre [30, 31]. Nous nous y référerons souvent dans la suite.

THEOREME 1.1

Les quantités C(rj s) satisfaisant aux équations aux différences

C(r^ s J

-

(2 + -nCCr-l^ s+1) + (l-Ti)(C(r-l,

sj}

+ ^ ^ ^ C(r, s-1)

W r >

1

^ y s >

1

, C(r, 0) = C(0j s) = 0 T> 0^ ^ s > 0

on peut montrer

[31]

que povn tous r et s > Ij r

-1

C(r. s)

= rU - 's'

rlix-

p

3=0 i=l i

-1 P + ^ P + ^

les coefficients (ç>) étant successivement déterminés à partir des équations

V

=1

^

En particulier^

pour l'épidémie générale stocha.stique j r

-1

C(r, s) = r{l -

2

i=l

) / P

sV+s-i

H-r

‘p

+ i^ B.(

q

)}

U y

et pour l'épidémie de Weiss^

C(ry s) = r{l -

fp P

.

(24)

TUtlOHKME l.'A l'nur t.oui V 'f* !,

1

) C(rj s) est croissant et strictement concave en s;

2

) C(ry s) -*■ r si s . THEOREME 1.3

Pour tout s > C(r^ s) est croissant en r.

THEOREME 1.4

Pour r = 1 et s ^ 1, C(lj s) = 1 - [p/(Q + 1)]^ et est donc indépendant de

tt;

Pour tous r > 2 et s > C(r^ s) est croissant en

tTj 0 < tt < J.

THEOREME 1.5

Pour tous r et s > 0^

1

) x(rj s) est défini par

x(rj s) = r -

6

(X)

où S(X) représente le nombre de susceptibles survivants et est donc la plus petite racine de l'équation

■ny - P log y = X avec

X = T\r - P log r + s .

2

) x(r^ s) est aussi la solution positive de l’équation

1

- = exp{-

[s +

nxCrj

s>)] .p .

En particulier,

pour l'épidémie de Weiss

,

x(r^ s) = r

{2

- exp[-

s/p] } .

THEOREME 1.6

Pour tout r > Oy

1

) x(r^ s) est croissant et strictement concave en s;

2

) x(rj s) ^ r si

s “*■ «> ,

(25)

THEOREME 1.7 Pour tout s > Oj

1

) x(Vj

sj est

croissant en r;

2) pour les épidémies générale stochastique et de Downton^

5(X) = r - xir, s) 0 pour r ^ 3) pour l'épidémie de Weiss^

^(\) = r - x(r^ s) = r exp{- s/p] pour tout r >

0

. THEOREME 1.8

Pour tous r et s > 0^ x(r^ s) est croissant en

ïï, 0 < tt < J.

THEOREME 1.9

Pour tous r et s entiers

> Jj

x(r^ s) > C(r^ s).

Par le théorème 1.3, la taille moyenne de l'épidémie stochastique est une fonction croissante en r. Dans le cas où tt = 0, le théorème 1.1 indique clairement comment C(r, s) varie en fonction de r, mais dans le cas où 0 < ir < 1, les théorèmes ci- dessus ne donnent aucun renseignement sur le comportement asymptotique de C(r, s) lorsque r tend vers l'infini. C'est ce problème que nous étudions aux § 2 et § 3.

(26)

§ 2. LE SYSTEME D'APPROXIMATION DE KENDALI ET ABAKUKS

Dans cette section, ir est supposé strictement positif.

Supposons que l'épidémie stochastique de Downton commence en l'état (r, s) et notons S(r, s) le nombre moyen de susceptibles survivants en fin d'épidémie, c'est- à-dire

S(r, s) = r - C(r, s)

Si le nombre initial de susceptibles r est grand, durant les premiers développements de l'épidémie le nombre de susceptibles peut être considéré comme approximativement constant. Le comportement de l'épidémie peut alors être approché par un processus de vie et de. mort bivarié pour le nombre n de susceptibles éliminés et le nombre m de porteurs, les transitions possibles dans l'intervalle (t, t+ôt) étant

(n, m) (n, m-1) avec la probabilité pm6t + o(6t) ,

(n, m)

-*■

(n, m+1 ) avec la probabilité Trrmêt + o(6t) , (l.l) (n, m) (n+1, m) avec la probabilité (l-7r)rm6t + o(ôt) ,

avec la condition initiale

(n, m) = (0, s) .

Lorsque le nombre initial de susceptibles r est grand et supérieur

d pir ,

Abakuks [4]^ s 'inspirant de Kendall

[28],

propose le système stochastique suivant pour approcher le modèle d'épidérrrie stochastique de Downton.

Le système a deux modes de comportement^

le mode

4,

de probabilité P(A) = [ç>.(T\r)

] ,

dans lequel l'épidémie se comporte corme le processus stochastique (

1

.

1

) conditionné par l'extinction des porteurs^

le mode

S,

de probabilité P(B) = 1 - P(A)y

dans lequel l'épidénrie se comporte corme l’épidémie déterrrn-niste correspondante.

Abakuks démontre que pour ce système, le nombre moyen de susceptibles survivants en fin d'épidémie, S(r, s), est donné par

(27)

S(r, s) = }+ [1 -

ié:)^]

.{r - x(r, s)}

TT r Trr

et que dès lors

lim S(r, s) = 6 . , s, 1 ïï r-x»

D'autre part, Abakuks constate nujneriquement que pour r grand et r ^ pir -1 , S(r, s) constitue une bonne approximation de S(r, s). Supposant que pour r le système proposé décrit de mieux en mieux le comportement de l'épidémie de Downton, il en déduit alors que

lim S(r, s) = ôg ^ ^ . (1.2)

r-x» ’

Il est clair cependant qu'il s'agit là d'une démonstration heuristique et que (1.2) restait en fait une conjecture. Nous allons en donner \ine démonstration rigou­

reuse au § 3.

(28)

§ 3. LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE C(r, s) POUR r ^

Dans cette section, nous démontrons la conjecture (1.2) d'Abakuks. En plus de fournir une démonstration rigoureuse à cette conjecture, nous montrons donc que des approximations du type de celle proposée par Abakuks peuvent être utilisées pour tirer certaines conclusions, du moins asymptotiquement.

Les résultats de cette section ont été démontrés par Saunders, Lefèvre et Kryscio [ 36].

THEOREME 1.10 Pour tout s ^

1) pour les épidémies générale stochastique et de Domton^

S(r, s) = r - C(rj s) ^

6 , p/ir

pour r ^

; s, i

2

) pour l'épidémie de Weiss^

S(ry s) = r - C(rj s) = r[çi/(ç,+l)]^ pour tout r>

1

.

Démonstration

Pour le modèle de Weiss, le théorème est une conséquence immédiate du théorème 1.1.

Supposons maintenant 0 < tt < 1. Comme dans ce cas, la démonstration est assez longue, nous en présentons d'abord brièvement les principales étapes :

étape 1 : nous montrons qu'il suffit de démontrer que lim S(r, 1) = p/iT;

étape 2 : nous déterminons l'expression exacte de S(r, l);

étape 3 : nous démontrons que lim inf S(r, 1) > p/tt; i-x»

étape 4 : nous démontrons au moyen de deux lemmes que lim sup S(r, 1) ^ p/f'’; en I*->oo

combinant les résultats des étapes 3 et 4, nous déduisons donc le théorème 1.10.

. 1ère étape

Par le théorème 1.1, les quantités S(r, s) satisfont aux équations aux différences

(29)

S(r, s) = P ^ ^{iTS(r-1, s+1 )+( 1-ir)S(r-1, s)} + S(r, s-1) V r > 1, V s > 1, S(r, 0) = r V r > 0,

S(0, s) = 0 V s > 0.

En supposant l'existence des limites, nous en déduisons que lim S(r, 1) = ^ + lim S(r, 2) , et pour tout s > 2

lim S(r, s+1) = lim S(r, s) .

X*-X» p-K»

De ces équations, il est évident que peur démontrer le théorème, il suffit donc de démontrer que

lira S(r, 1) = -^ .

r-w ^

. 2ème étape

Notons R(r, s) le nombre de susceptibles survivants dans une épidémie commençant en l'état (r, s). Nous avons alors

S(r, 1) = E[R(r, 1)]

= 2 (r-k) P[R(r, l)=r-k] , k=0

Pour obtenir (r-k) survivants, nous devons observer k infections, un certain nombre

t

d'entre elles, où £ G {O, 1, 2, ..., k}, donnant lieu à la création d'un porteiir.

En considérant la promenade aléatoire incluse au processus épidémique, nous obtenons alors

I*” 1 ( le ) le

S(r, 1) = 2 (r-k)——2 / ( I-tt)^”'^ a(k, £) (1.3) k=0 (p+r)^ ^ 1=0

ou .(k) _

= y!/(y-k)! et

a(k, £) =

S TT (—^

A(k,£) i=i

(1A)

(30)

Dans (1.4), (r-x^) est le nombre de susceptibles lors de l'élimination du i - porteur et A(k,

Z)

représente dans la promenade aléatoire incluse, l'ensemble des trajectoi­

res issues de l'état (r, 1) qui se terminent en l'état (r-k, O) après la création de

Z

porteurs.

De manière plus précise, A(k,

Z)

représente l'ensemble de tous les vecteiirs

(z^, z^, ..., comme composantes

Z

"+ 1" (correspondant aux

Z

créa­

tions d'un porteur), £+1 "- 1" (correspondant aux £+1 éliminations d'un porteur), et k-£ "O" (correspondant aux k-£ éliminations d'un susceptible), et qui satisfont aux

s

contraintes 2 z. > 0 pour s < k+£+1 et z

i=i " k+£+1 = - 1

D'autre part, pour tout vecteur dans A(k,

Z),

x^ est le nom^bre de "0" et de "1' avant le i - "- 1". En particulier, X£_j_^ = k.

Grâce à cette représentation vectorielle de A(k, £), nous déduisons notamment que les trajectoires reprises dans A(k, £) sont au nombre de

,

k+£ V 1

^k-£,£,£' £ + 1 ■ (1.5)

. 3ème étape

De (1.3) et (1.4) nous déduisons que

r-1 .(k)

S(r, 1) > 2 (r-k) —-—tttt (1-tt)^ a(k, 0) k=0 (p+r)^^^

(1.6)

>-1 où a(k, 0) = p(p+r-k)

Dans (1.6), le terme de droite pour chaque valeur de k correspond à la trajectoire qui conduit à l'absorption en (r-k, 0) par éliminations successives de k suscep­

tibles suivies de l'élimination du seul porteur.

Par conséquent, pour tout v < r, (1.6) donne S(r, 1) > 2

(k+1)

,(k+l) (1-7T)' k=0 (p+r)

et puisque pour k fixé, r^^ V(p+r^ ^ "+ 1 si r “*■ o°, nous en déduisons que pour toute valeur fixée de v

V

lim inf S(r, 1 ) > p. 2 ( l-ir) .

r-x» k=0

(31)

En faisant croître v, nous obtenons alors

lim inf S(r, 1) > p.lim 2 (l-ir) = p/iT .

r-H» v-x» k=0

. Uëme étape

Pour tout X > 0, notons [x] le plus grand entier inferieur ou égal à x.

En choisissant pour r et m de grands entiers positifs, nous réécrivons 1 de S(r, 1) donnée en (1.3) de la manière suivante,

S(r, 1) = b^(r, m) +

h^{r,

m) où nous définissons pour [r-mp] > 1,

[r-mp] (k) k » »

b (r, m) = 2 (r-k) --- ^ 2

^

a(k,

l)

k=0 (p+r)^^^ £=0

b^(r, m) = S(r, 1) - bg(r, m) . .

Lerme 1

1 1

Si m est un entier positif satisfaisant m > max{p , 4(l+p)ir -l}, alors im sup b2(r, „) <Ê + £ S I ■

Démonstration

Par (1.4) et (1.5)» nous obtenons pour k < [r-mp]

‘p+mp ce qui par substitution dans (1.9) implique

t(k,

l) <

(rêr )^ 'p+r-k'^k-£.,£,£^ .) ^

Z+^

b2(r, m) <

[r-mp]

2

k=0 (p+r) [r-mp] (k+1)

r(k+l) k ^

^ .

k+£ x 1

k=0 ( p+r )"■ ÜSTI [r-mp]

2

l=^

i

2

l)

!

Il{

1

+

1)! (—)U+r

[r-mp]

2

k=l

/k+£v /, vk-£

( 2£ ) (

(k+1) (p+r) (k+1)

(1.7)

'expression

( 1 . 8 )

(1.9)

(

1

.

10

)

n, • (k+1)-, ^ N (k+1) ^ k+1-- vk+1

Puisque r /(p+r) <r /(p+r) nous en déduisons

(32)

ti2(r, m) < P 2 k=0

(l-Ttr 5,

(

21

) l

£!(-e+l)! 'SÏT>

si

TT = 1, le lemme (I.IO) est donc immédiat. D'autre part, pour tt < 1, nous obtenons alors

b2(r, P 2

1=1

(2l)l

V.U+i ) l

<Sîî)'

00

2 x=0

/X+

2

t\ /

( 1-'iï)rxX

^

2

l^^

p+r

'

et comme la somme sur x est en fait une série binomiale négative convergeant vers {1 - [ ( l“ïï)r/(p+r)] } (2-6+1)^

b2(r, m) P 2

L

=1

(21) \

llU

+1

)

!

/ïïr(p+r)

'■ m+1

'

( p+lTr )

-2l

p+lTr

Puisque p+TTr > irr et p+irr > Tr(p+r), nous en déduisons

bglr, m) £ ^2^

Jif^TTÏ

Pour tout

t =

1, 2, ..., définissons

„ - (2-^)!

t

P+r

l ~ ll(l+l)l

^TTr(m+l)

(

1

.

11

)

Puisque

^-e+1 _ (2-e+2) (2£+1) 1 /1 4.

a^ (£+1) (£+2) ■iï(m+1) r

^ 4(l+p) TT(m+1 )

si m > 4(1+p)tt ^+1, alors la série dans (1.11) converge. Par conséquent, comme (1+pr ^) est décroissant en r, en prenant la limite sur r dans (I.II) nous obtenons (I.IO) .

Lemme 2

Pour tous s et y entiers ^ 1,

lim P[R(r, s)=y] = 0 . (1.12)

(33)

Dêmonstration

Notons P(y | r, s, p, tt) la probabilité qu'une épidémie commençant en l'état (r, s) et de paramètres p et tt (0<ïï<1) se termine avec y susceptibles. Daniels [l5l

démontre que cette probabilité peut s'exprimer de la manière suivante.

P(y I r, s, p , = (i-) (_E_)= (PV(j-i'))--y p(o

p+y p+y

r-y, p. tt)

où p = p + y et ïï = ïïp/(p+y( 1-tt) ). Nous en déduisons donc que

P|H(r. s)=y) < (p

et en prenant la limite sur r, nous obtenons alors (1.12) pour toute valeiir fixée de

y >

1

.

Corollaire

Nous avons démontré au lenrime 1 que

lim sup b„(r, m) <+ 0(—) .

2 ■ ïï m

X»^oo

D'autre part, nous obtenons comme corollaire immédiat du lemme 2 que lim b^(r, m) =0 .

Par conséquent, en prene,nt la limite dans (1.8) d'abord sur r et ensuite sur m, nous déduisons que

lim sup S(r,l)<^. (1.13)

En combinant les résultats(1.7) et (1.13), nous obtenons alors le théorème 1.10.

Quelques calculs numériques

Dans son étude heuristique, Abakuks [4] a calculé S(r, s) po\ir r = 100, 500, s = 1, 2, et pour différents valeurs de p et ir. Nous reproduisons ci-dessous ses résultats :

(34)

S(r, s) en fonction de P et TT

P TT P/1T r S(r, 1) S(r, 2)

0,1 0,5 0,2 100 0,200 0,000

0,1 0,5 0,2 500 0,200 0,000

0,1 0,1 1 100 1,002 0,011

0,1 0,1 1 5C0 1,000 0,002

0,1 0,01 10 500 10,001 0,262

1 0,5 2 100 2,001 0,0i+0

1 0,5 2 500 2,000 0,008

1 0,1 10 100 10,379 1,320

1 0,1 10 500 10,005 0,204

1 0,01 100 100 103,309 27,311

10 0,5 20 100 20,909 4,980

10 0,5 20 500 20,00i+ 0,802

10 0,1 100 500 104,T80 25,356

Pour les valeurs de p/tt ^ 20, S(r, s) converge rapidement vers ô . P/tt si r s, I

Par contre, dans les deux cas où p/ïï = 100, S(r, s) doit être calcule pour de beau­

coup plus grandes valeurs de r avant que la convergence n'ait lieu. Notons également que S(r, 2), et plus généralement S(r, s), s > 2, convergent plus lentement que

S(r, 1).

(35)

PAR LE NOMBRE DE PORTEURS

(36)

Notons A(r, s)[a(r, s)] l'aire sous la trajectoire décrite par le nombre de porteurs dans une épidémie stochastique [déterministe] dont les nombres initiavix de susceptibles et de porteurs valent respectivement r et s. Pour le modèle stochastique, notons

A(r, s ; 0) la transformée de Laplace-Stieltjes de A(r, s), Re(0) >0, M(r, s) la valeur moyenne de A(r, s).

§ 1. LA TRANSFORMEE DE LAFLACE-STIELTJES A(r, s ; 0)

LEMME 2.1

Les transformées de Lapîaae-St-ieltjes Air^ s ; Q) satisfont aux équations aux différences

A(r, s ; e) =-^^^{TTArr-l, s+1 ; Q) + (l-T\)A(r-l, s

; 0;} +

A(r, s-1

;

B) 'ir>l, 'is>l^

A(r^ 0 ; B) = A(0^ s ; B) = 1 ^ r> 0, 'i s>

0

.

Démonstration

Notons V le temps écoulé depuis l'origine jusqu'à l'instant de la première transition.

Nous avons alors

A(r, s ; 0) = E[exp(- 0A(r, s))]

= E^{E[exp(- 0A(r, s)) | v] } .

Comme v admet une distribution exponentielle négative de paramètre s(p+r), nous ob­

tenons facilement par la méthode de McNeil [32] le lemme 2.1.

THEOREME 2.2

Pour tous r et s

tes coefficients G.(p, n ; B) étant successivement déterminés à partir des équations

i=l

0+p+^

0; -

7

- TT

1

< j <r

(37)

Démonstration

Par le lemme 2.1, nous obtenons après quelques calculs

Ad. s i e) =ê^+8Î^A(1, s-1 ; 0)

' ë+T I' ■ 0TÎ**e+p+i*

et le théorème est donc démontre pour r = 1 et s > 1. Procédons dès lors par in­

duction sur r et supposons le théorème vrai peur r-1 > 1 susceptibles. Notons B(r, s ; 6) = A(r, s ; 0) .

Par le lemme 2.1, nous obtenons

B(r, s ; 0) = B(r, s-1 ; 0) + (~'^^^)^{TTA(r-1 , s+1 ; 0) + ( 1-iï)A(r-1 , s ; 6)}

= 1 +

g

2 (±t^)t{^A(r-1, t+1 ; 0 ) + ( 1-Tr)A(r-1 , t ; 0)}

9+P+r ■ P et puisque par induction

ïïA(r-1, t+1 ; 0) + (l-TT)A(r-l, t ; 0) r-1 1 . • r-1r*“ I

ni I V i*“i / P /

f\ '

,,, êü * jf, < i ><’■ lïHîi > <êî^> “i'i’- ” •

nous en déduisons donc

B(r, s ; 0) = 1 ^ n ^ ((eipl)= - 1) r-1

En multipliant B(r, s ; 0) par [p(0+p+r) nous obtenons alors A(r. s i 9) = . n êil I' - (0;^)=1

^

3!

‘i’*' - ^

^ (êî^)^i - n ëir- -^i-Stp. " > «)î

1=1 1=1

(38)

c 'est-à-dire

s ; e) = . . 0+i fr ^ * . . i 0+p+i '2 cr)(^)=[i - ” i 0)

1=1 1=1 0+p+i

où le coefficient G^(Pj tt ; 0) est donné par

i=1

Remarquons que pour 0=0

G^(P. T. ; 0) = 1 -

n

-

V (-Ml - ir

;

9)

i=1 ^

G£(p.tt;0)=0 Vi>1

(

2

.

1

)

CAS PARTICULIERS 2.5

En posant tt = 1 dans le théorème 2.2, nous obtenons

■pour l'épidémie générale stochastique,

A<r..

a ; e; = P ^ *

ï

, . 3,

^=l ^=l

OU

^ Xfp. 1 ; 0) = 1 - J\ . Kj<r .

. ,

i

0+p+i . -

Remarquons que ces deux relations diffèrent des relations (i^.U) et (4.5) obtenues par Gani et Jerwood [25]. La raison en est que Gani et Jerwood définissent la durée de l'épidémie comme le premier instant auquel tous les infectés sont éliminés, alors que dans notre définition, l'épidémie se termine lorsqu'il n'y a plus d'infectés ou plus de susceptibles.

Puisque

n »ir= 2: (f)(- 1).>i-1 i

0+i 1

1=1 1=1

en posant ïï = 0 dans le théorème 2.2, nous obtenons â-1 0

0+i

G^(p, 0 ; 0) = (- 1)-

0+i d'où nous déduisons que

pour l'épidémie de Weiss,

A(.. s ; 0; -1 ï (l>(- ll-hi I

.

^=l

0=1

(39)

Ce résultat a été obtenu par Jerwood [27] par une méthode différente de la nôtre, mais applicable uniquement au modèle de Weiss. Puisque [(p+i )/( 9+p+i )]‘^ est la transfor­

mée de L.-St. d'une variable aléatoire distribuée selon la loi gamma généralisée de paramètres (j, p+i), la transfomée de L.-St. A(r, s ; 6) est dans ce cas aisément inversible et Jejrwood en déduit l'expression de la fonction de densité f(r, s ; a) de la variable A(r, s) :

f(:

s-1 a) = [ 2

J=0

(pa)*^

j!

-avr-1 e ) (pa)s-1

P (s-1)! eP®-[l_(l_e®')^] ,aî*0.

(40)

§ 2, L'AIRE MOYENNE M(r, s)

En dérivant par rapport à 6 les équations du lemme 2.1 et du théorème 2.2 et en calculant ensuite ces dérivées en 9=0, nous obtenons le corollaire suivant

COROLLAIRE 2.4

Les quantités M(r^ s) satisfont aux équations aux différences M(T

j s

)

- - V

{T\M(r-lj s-f l) + (l-T\)M(r-lj s)} +

—^ Aff'r,

s-1) +

p+r

p+r

p+r

M(r, 0)

-

M(0^ s) = 0 \/r>0, y s>0,

V r >

1

, 'i s >

et pour tous r et s > Ij

M(r. s)

-

I

I - ï

-

^l'^Vrp,

.) .

les coefficients G .(p^

tt

) étant successivement déterminés à partir des équations

2

(3)(i -

Vrp^

Tl) = i l , 1

i=l

p+v

< j <r i=l

CAS PARTICULIERS 2.5

En posant TT = 1 deins le corollaire 2.4, nous obtenons le résultat suivant (différent de celui de Gani et Jerwood [25] po\ir les raisons indiquées en 2.3)

pour l'épidémie générale stochastique,

M(r^ s) =

? I- Z i;

v=2 ^

ouù

Z Vrp, 1

) = ^ l , Kj<r

.

i=l

V p+u

i=l

En posant tt = 0 dans le corollaire 2.4, nous obtenons le résultat de Jerwood [27l

pour l'épidémie de Weiss^

r ,

r , -,i-l

M(r, s) =

Z f - Z ---

(-K)^

.

t . - ^ t p+^

i

=2

z=2 THEOREME 2.6 Pour tout r 2,

2

) M(rj s) est croissant et strictem^ent concave en

s;

r

2

) M(r^

s) -> 2 4-

si s

» i=1

(41)

Démonstration

r 1

. Du corollaire

2,k,

nous déduisons que M(r, s) ”*■ 2 — si s i=1 ^

. Démontrons que M(r, s) est croissant en s.

Cela est vrai po\ir r = 1 puisque par le corollaire 2.4, pour tout s > 0

M(1, s) = 1 - [p/(p+D]® . (2.2)

Procédons dès lors par induction sur r et supposons que M(r-1, s), r-1 > 1, est croissant en s.

Par le corollaire 2.4, nous déduisons alors que pour tout s > 1

M(r, s+l) - M(r, s) >—^{M(r, s) - M(r, s-1)} . p+r

Puisque

M(r, 1) - M(r, 0) > l/(p+r) > 0 par induction sur s, M(r, s) est donc croissant en s.

. Démontrons que M(r, s) est concave en s .

Nous devons démontrer que pout tous r > 1 et s > 0,

M(r, s+2) - M(r, s+l) <M(r, s+1) - M(r, s)

Puisque par (2.2), cela est vrai pour r = 1, procédons par induction sur r et suppo­

sons le théorème vrai po\ir M(r-1, s), r-1 > 1. Par le corollaire 2.4, nous déduisons alors que pour tout s > 1

[M(r, s+2) - M(r, s+l)] - [M(r, s+l) - M(r, s)]

<^^[M(r, s+1) - M(r, s)] - [M(r, s) - M(r, s-l)]} . Or pour s = 0, nous avons

[M(r, 2) - M(r, l)j - M(r, l)

= -^ {TT[M(r-1, 3)-M(r-1, 2)] + ( 1-tt) [M(r-1 , 2)-M(r-1, l)j - M(r, 1)}

d'où par induction sur r

[M(r, 2) - M(r, l)] - M(r, l) <^-{M(r-1, l) - M(r, 1)}

(42)

et puisque M(r, 1) >M(r-1, l) (théorème 2.7 ci-dessous), [M(r, 2) - M(r, J)] - M(r, 1) < 0 .

Par induction sur s, M(r, s) est donc strictement concave en s.

THEOREME 2.7 Pour tout s > 1,

1) M(r, s) est croissant en r;

2

) pour les épidémies générale stochastique et de Downtonj

m(r, s) =

2 -r - ^ 1

M(r, s) ^0 si

r j

•-1 ^ v=l 2

) pour l'épidémie de WeisSy

M(ry s) s/p si

r “ , Démonstration

. Démontrons que M(r, s) est croissant en r.

Pour tous r > 0 et s > 1, M(r+1, s) peut s'écrire sous la forme suivante

M(r+1, s) = p^^i|.^{TrM(r, s+1 ) + ( 1-7T)M(r, s)} + p+r+1 s-1) + (2.3)

s+1) + (l-ïï)M(r, s)} M(r+1 , s-1) p+r

1 p+r

(p+r)(^p+r+l)^^^^^’ s+1 )+( 1-ir)M(r, s)-M(r+1, s-1)-^} . Deux cas sont à envisager selon le signe de l'expression

ïïM(r, s+1) + (l-TT)M(r, s) -M(r+1, s-l) - p ^ Si (2.5) est négatif, nous déduisons de (2.3)

M(r+1, s) >-iïM(r, s+1) + (l-Tr)M(r, s) et puisque M(r, s) est croissant en s (théorème 2.6),

(2.U)

(2.5)

M(r+1, s) > M(r, s)

(43)

Si (2.5) est ncn négatif, alors r > 1 et nous déduisons de (2.4) M(r+1, s ) ^

p+r —[irM(r, s+1 ) + ( 1-Tr)M(r, s )} + —^ M(r+1, s-1 ) + —— /VJ/ J de sorte qu'en soustrayant M(r, s)

AM(r, s) >-^{7TAM(r-1, s+1) + ( 1-ir)AM(r-1 , s)} + -2- Al«l(r, s-l) (2.6)

p+r ’ p+r

'

où AM(r, s) = M(r+1, s) - M(r, s). Puisque AM(0, s) >0 pour tout s ^ 1, procédons par induction sur r et supposons que AM(r-1, s) > 0 pour r - 1 > 0 et pour tout s > 1.

De (2.6), nous déduisons alors

AM(r, s)

^

M(r, s-l)

et puisque AM(r, 0) = 0, par induction sur s, M(r, s) est donc croissant en r.

. Pour l'épidémie de Weiss, Kryscio et Saunders [29] ont démontré que M(r, s) ^ s/p si r ■+oo. Par contre, pour les épidémies générale stochastique et de Downton, on montre facilement que M(r, s) "+ oo SI 2* 00,

. Etudions maintenant dans le cas où 0 < ïï < 1 le comportement asymptotique de M(r, s) lorsque r

Définissons

^ 1

m(r, s) = 2 ^ - M(r, s) V r > 1, V s > 1 , i=1

m(0, s) = 0 V s > 0 .

Du théorème 2.6, nous déduisons que m(r, s) ^ 0 pour tous r et s > 1 et du corol­

laire 2.4, que les quantités m(r, s) satisfont aux équations a\ix différences

m(r, s ) = ■^^{'n'm(r-1, s+1 ) + ( l-iT)m(r-1, s )} + m(r, s-l) Vr>1,Vs>2 , p+r

Tl

~ , 2) + ( 1-TT)m(r-1, l)} +

'Z —

V r ^ 1

(2.7)

p+r i=1 "

En supposant l'existence des limites, nous déduisons de (2.7) q.ue pour tout s ^ 1

lim m(r, s+1) = lim m(r, s) (2.8)

(44)

Soit S(r, s) le nombre moyen de susceptibles survivants en fin d'épidémie. Nous avons vu au chapitre I, théorème 1,10, que les quantités S(r, s) satisfont aux équa­

tions aux différences

S(r, s) = ——{TTS(r-1, s+1 ) + ( 1-iT)S(r-1, s)} + S(r, s-l) V r > 1, V s > 2 ,

p+r p+r

S(r, 1) = -jK7rS(r-1, 2) + (l-Tr)S(r-l, 1)} + r

P+r p+r V r ^ 1

(2.9)

avec la condition initiale

S(0, s) = 0 V s > 0 .

De (2.7) et (2.9), nous déduisons donc que pour tovis r et s > 1

m(r, s) < S(r, s)

(

2

.

10

)

Mfiis par le théorème 1.10, nous savons que pour tout s > 1 lim S(r, s) = ô . p/ïï

1^ ^ S 5 I

r-x»

(

2

.

11

)

et puisque m(r, s) > 0, nous déduisons de (2.8), (2.10) et (2.11) que pour tout s > 1 lim m(r, s) = 0

r-Ho Quelques calculs numériques

Nous avons calculé M(r, s) pour r = 100, 500, 1000 s = 1, 2 et pour différentes valeurs de p et tt.

(45)

P ïï P/tt r M(r, 1) ra(r, 1) M(r, 2) m(r, 2)

0,1 0,5 0,2 100 5,ITT 0,010 5,18T 0,000

0,1 0,5 0,2 500 6,T90 0,003 6,T93 0,000

0,1 0,1 1 100 5,130 0,05T 5,18T 0,001

0,1 0,1 1 500 6,TT9 0,0l4 6,T93 0,000

0,1 0,01 10 100 4,1+99 0,688 5,089 0,099

0,1 0,01 10 500 6,600 0,198 6,t82 0,011

1 0,5 2 100 5,083 O O LT\ 5,185 0,002

1 0,5 2 500 6,t66 0,02T 6,T93 0,000

1 0,1 10 100 4,1+91 0,696 5,02T 0,160

1 0,1 10 500 6,655 0,138 6,T90 0,003

1 0,01 100 1000 6,218 1,268 T, 036 0,450

10 0,5 20 100 3,598 1,590 4,363 0,825

10 0,5 20 500 6,521 0,2T2 6,T82 0,011

10 0,1 100 1000 6,649 0,836 T, 326 0,159

Ces calculs numériques montrent que m(r, s) converge rapidement vers 0 si r lorsque le rapport p/ïï est petit, mais que pour des plus grandes valeurs de p/ïï

(100 par exemple), m(r, s) doit être calculé pour de beaucoup p3.us grandes valeurs de r avant que la convergence n'ait lieu. D'autre part, m(r, 2), et plus généra­

lement m(r, s), s ^2, convergent plus rapidement que m(r, 1). Remarquons égale­

ment que lorsque ra(r, s) est très petit, M(r, s) peut être approché par Y + log r, où Y est la constante d'Euler.

THEOREME 2.8

Pour P = 1 et

8

> ly M(ly s) = 1 - [ç>/(p+1)]^ et est donc indépendant de

tt;

Pour tous r 2 et s ly M(Py s) est croisant en

tt, 0 < tt < J.

Démonstration

Notons M(r, s ; tt) l'aire moyenne sous la trajectoire décrite par le nombre de por-

(46)

teurs dans une épidémie de Downton commençant en l'état (r, s) et pour laquelle la proportion des susceptibles infectés devenant porteurs est égale à tt.

Par le corollaire

2,k,

nous obtenons pour r = 1 et peur tous s^1 et M(1, s ; tt) = 1 - [p/(p+l)]®

et M(l, s ; tt) est donc indépendant de tt.

Pour r > 2 et s ^ 1, procédons par induction s\ir r et démontrons que si

M(r-1, s ; tt), r-1 >1, est non décroissant en tt pour tout s > 1, alors M(r, s ; tt) est croissant en tt pour tout s > 1. Soient tt^ et deux réels quelconques de [0, 1] tei.s que tt^ >tt^. Par le corollaire 2.4, nous obtenons alors pour tout s > 1

M(r, s ; TT2) > ’ '^1

et comme M(r-1, s ; tt) est croissant en M(r, s ; TT^) > •^f^'îT^M(r-1 , s+1 ; tt^

+ ^ M(r, s-1 ; TTg) + Puisque pour tous r>0 et 0<tt<1

) + ( 1-TT2)M(r-1, s ; tt^ )}

1 p+r

s (théorème 2.6), ) + ( 1-TT^)M(r-1, s ; TT^)}

1 p+r

(

2

.

12

)

M(r, 0 ; tt) = 0

en procédant par induction sur s, nous déduisons de (2.12) M(r, s ; TT^) > M(r, s ; tt^ ) .

Notons D(r, s) le nombre moyen de porteurs éliminés dans une épidémie commençant en l'état (r, s).

THEOREME 2.9

Pour tous r et s

M(rj s) - D(Pj s)/p .

(47)

Dêmonstration

Ce théorème a été démontré par Downton [24] pour l'épidémie générale stochastique et par Jerwood [27] pour l'épidémie de Weiss, mais par des méthodes compliquées et par­

ticulières aux modèles étudiés. DariS notre mémoire [30], nous avons montré que ce résultat est valable également pour l'épidémie de Downton et de façon assez surpre­

nante, la démonstration en est immédiate lorsqu'on considère la promenade aléatoire incluse. En effet, puisque les quantités D(r, s) satisfont a\ix équations aux dif­

férences

D(r, s) = —^^TTD(r-l, s+1 )+( 1-Tr)D(r-1 , s)} + —{l+D(r, s-l)} Vr>l,Vs>1,

p+r p+r

D(r, 0) = D(0, s) Vr>0, Vs>0,

il est clair, par le corollaire (2.4) que M(r, s) = D(r, s)/p.

Récemment, Kryscio et Saunders [29] ont montré que pour que ce résultat soit valable dans des modèles d'épidémie à porteurs du type "right-shift", il suffit que le taux instantané d'élimination des porteurs soit proportionnel au nombre de porteurs.

L'épidémie de Downton est un exemple de processus de ce type pour lequel la condition suffisante est satisfaite.

Corollaire

En considérant la promenade aléatoire incluse, on peut montrer que peur tous r et s > 1

D(r, s) < s + ïïC(r, s) .

Ce résultat s'explique aisément puisqu'il établit que le nombre moyen de porteurs éliminés est inférieur à la somme du nombre initial de porteurs et du nombre moyen de susceptibles devenus porteurs. Par le théorème 2.9» nous déduisons alors que pour tous r et s ^ 1

M(r, s) < [s + ïïC(r, s)]/p (2.13)

(48)

§ 3. LE DEVELOFPEKENT DE M(r, s) COMME POLYNOME EN ïï

LEMME 2.10

Pour tout

3

entier

> I,

les solutions

i?., •

-(

q

) des équations

■t+j J1

2 . .

.(p) = l

i

=0 t

p+3+^ ^+3i'i' , r

>0

, satisfont aux équations

2 (^.)(- .(p) = 0 , r>l

i

=0 p+J+^

%+3y%

Démonstration

Les quantités D. . .(p) sont solutions des équations l'*’J > 1

2

C) V

. .(p)

i=0 ^ v=0 "" P+J+i

, r > 0 ,

c ’est-a-dire

r r-v ■ •. •

,T\ ^

/r-v^/ ^sr-v-i/ j+i vr-v-i

p (‘i H- = t ’

Il est clair que

D._o(p) = 1/0

et par conséquent, les équations (2.1 U) s'écrivent encore

('•) T

cy){-

.(p) . 0 , r > 1 .

v=0

i=0 ^

P+J+i 1+0.1

En considérant successivement r= 1, 2, 3, nous obtenons le lemme.

Grâce à ce lemme, nous allons montrer que les coefficients G^(p, "iï) définis au ccrollaire 2.4 sont des polynômes de degré i-1 en tt.

LEMME 2.11

Les coefficients peuvent encore s ^écrire i

-1

G.(p,

tt; ^ 2 or- 1

)‘

V=0 V

TT

D^Jp) , i>l.

les ^(p) étant successivement déterminés à partir des équations

(49)

2

.(p)=l , r>0,

^—Q ^ P"^ J 'Z'"^ J JT' 3

pour tout

3

entier >

1

.

Démonstration

Le lemme est vrai pour r = 1 puisque

G^(p, 7t) = q(p) = 1 .

Procédons dès lors par induction et supposons le lemme vrai pour i = 1, 2, r-1 >1.

Par le corollaire 2.1+, G^(p, tt) est donné par

Gj.(p, tt) =

^ J-

2 (i)(l ~ ^Gi(p, -iï)

i=1 i=1 ^

= I 1 - 'i’ (0 T (p.

i=1 i=1 j = 1 *' P

1=1

Considérons le deuxième terme du membre de droite de (2.15) - "z (^)

i=1 j=i ‘l P

= - ? ■'T'’ (p(ri)Æ)--i-jG,(p, „) r-1-j=0 i-1=0 J P

(2.15)

r-2

2: (/.,) j=o

r-2

= - 2 (,iJ 2 (P:')(V ^ \ \ j i V)>J-" 2 (":')(- 1)""^ TT^ „(p) j=0 j+1 i+1 p+i+1

v=0 V i+1 ,v

r-2 J J-v j + 1 wi+v+1w_ .vj-v j-i, i+1+v Nj-i-v

= - 2 (/^J 2 2 (.i^' )("^''"')(- D-J '' TT-^ "(

j=0 r-2

2 ( j=0

j + 1 v=0 i=0 i+v+1 ‘ P+1+I+V)" " ''D,i+1+v,v

= - i cirlK-DV-i ■’?

+ =o J+' + =0 ^+' v=0 ' P + 1+1+V i+1+v,v

(p)

(p)

Figure

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Références

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