ESPé de Lyon Capes Externe
M1 MEEF 2015-2016 Epreuve sur dossier
Dossier Div 7 Thème : Utilisation d’un tableur
L’exercice
On étudie les flux de populations entre trois zones géographiques : une ville Agrandville, une zone périphérique Bordville et une zone de campagne Campaville.
Pour modéliser les flux de populations, on fait les hypothèses suivantes : - la population totale des trois zones reste constante ;
- chaque année, Agrandville perd 10 % de sa population, mais accueille 10 % de la population de Bordville et 1 % de la population de Campaville ;
- chaque année, Bordville perd 10 % de sa population, mais accueille 10 % de la population de Agrandville et 1 % de de la population de Campaville ;
- chaque année, Campaville perd 2 % de sa population.
Au 1er janvier 2015, Agrandville comptait 5 000 habitants, Bordville comptait 2 000 habitants et Campaville comptait 4 000 habitants.
On désigne par an, bn et cn les nombres d’habitants respectifs d’Agrandville, de Bordville et de
Campaville au premier janvier de l’année 2015 + n. On admettra, pour l’étude mathématique, que les nombres réels an, bn et cn peuvent ne pas être entiers.
On souhaite décrire, avec le modèle précisé ci-dessus, l’évolution des trois populations.
1. a. Représenter graphiquement, à l’aide du tableur, les trois suites an, bn et cn. b. Quelles conjectures peut-on faire sur l’évolution à long terme des trois villes ?
2. Pour chaque année 2015 + n, on note dn la différence de population entre Agrandville et Bordville.
Conjecturer la nature de la suite (dn), puis démontrer cette conjecture.
3. a. Déterminer l’expression de cn et de dn en fonction de n.
b. En déduire l’expression de an, et de bn en fonction de n.
4. a. À l’aide des expressions précédentes, déterminer l’année à laquelle la population de Campaville passera en dessous du seuil des 1 000 habitants.
b. Quelle sera, à cette date, l’écart du nombre d’habitants entre Agrandville et Bordville ?
Les réponses de deux élèves
Elève 1 (réponse à la question 1) J’ai représenté la population des trois ville durant 60 ans. La population des deux villes Agrandville et Bordville se rejoignent pour se stabiliser autour de 5000 habitants. La population de Campaville se stabilise autour de 1000 habitants.
Elève 2 (réponse à la question 2) On a dn = an – bn.
Donc on calcule les termes de la suite (dans une nouvelle colonne E sur le fichier).
On a : d0 = 3000, d1 = 2400 d2 = 1920 d3 = 1536
On cherche la raison soit d’où = 0,8.
On effectue le calcul avec toutes les valeurs (colonne F sur le fichier) et on constate que les résultats sont presque tous égaux à 0,8.
On a donc la suite dn qui est une suite géométrique de raison 0,8.
Le travail à exposer devant le jury
1) Analyser les réponses des élèves, en mettant en évidence les réussites et en discutant l’origine des éventuelles erreurs.
2) Présenter une correction de l’exercice comme devant une classe, dont vous préciserez le niveau et en indiquant les compétences, les méthodes et les savoirs mis en jeu.
3) Proposez deux ou trois problèmes où l’utilisation d’un tableur est pertinente.
