Sur le codage du flot géodésique dans un arbre

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Preprint submitted on 18 Nov 2005

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Sur le codage du flot géodésique dans un arbre

Anne Broise, Frédéric Paulin

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Anne Broise, Frédéric Paulin. Sur le codage du flot géodésique dans un arbre. 2005. �hal-00014071�

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ccsd-00014071, version 1 - 18 Nov 2005

Anne Broise-Alamihel Frédéri Paulin

Laboratoire deMathématique UMR8628 CNRS

Equipe deTopologieetDynamique (Bât.425)

Université Paris-Sud

91405ORSAYCedex, FRANCE.

e-mail : Anne.Broisemath.u-psud.fr

Département de MathématiqueetAppliations, UMR 8553 CNRS

Eole NormaleSupérieure

45 rued'Ulm

75230PARIS Cedex05,FRANCE

e-mail : Frederi.Paulinens.fr

Résumé

Étant donné un arbre T ^et ^un ^groupe Γ d'automorphismesde T^, ^nous ^étudions ^les

propriétésmarkoviennesduotgéodésiquesurlequotientdel'espaedesgéodésiques

de T ^parΓ^.^Parêxemple,^quandT êst^l'arbre^deBruhat-Titsd'ungroupealgébrique linéaireonnexesemi-simpleG^de ^rang¹âu^dessus^d'unôrps^loal^nonârhimédien Kb êt^si Γêst ^réseau(éventuellement non uniforme)dans G(Kb)^, ^nous ^montrons^que

l'ation des puissanes paires de la transformation géodésique est Bernoulli d'en-

tropie nie. Sous des hypothèses générales bénignes, nous montrons que si le ot

géodésique est mélangeant pour une mesure de probabilité de Patterson-Sullivan-

Bowen-Margulis, alors il est lâhementBernoulli.

Abstrat

Given a tree T ând â ^group Γ ôf automorphisms of T^, ^we ^study ^the ^markovian

properties of the geodesi ow onthe quotient by Γ ôf ^the ^spae ôf ^geodesis ôf T^.

For instane, when T îs ^the Bruhat-Tits tree of a semi-simple onneted algebrai group G ôf ^rank ône ôver â ^non ârhimedian ^loal êld Kb^, ând Γ îs â ^(possibly

non uniform) lattie in G(K)b ^, ^we ^prove ^that ^the ^type ^preserving ^geodesi ^ow ^is

Bernoulli with nite entropy. Under some mild assumptions, we prove that if the

quotientgeodesiowismixingforaprobabilityPatterson-Sullivan-Bowen-Margulis

measure, then it is looselyBernoulli.

1

AMS odes : 20G25, 20E 08,37 A25. Keywords : groupationson trees,Bruhat-Tits

trees,geodesiow,oding,Bernoullishifts.

(3)

Soit T ûn ârbre ^loalement^ni, Γ ûn sous-groupe disret d'automorphismes de

T^,GT ^l'espae ^des géodésiquesde T ^(i.e. ^des ^isométriesℓ:R→T ^d'origineℓ(0)^un

sommet de T^), ^et ϕe : GT → GT ^la transformation géodésique sur GT^, ^dénie ^par ℓ 7→ {t7→ℓ(t+ 1)}^.

Lebut deet artileestd'étudierladynamiquesymboliquede latransformation

géodésiquequotientϕ : Γ\GT →Γ\GT ^de ϕe^,^pour^obtenir^des^propriétés^ergodiques

plus nes que elles obtenues dans [BM, Rob℄. Il ne s'agit pas de se restreindre au

asoùΓêstûn^réseauûniforme,^quiêst ^bienônnuêt^bien^plusélémentaire(voirpar exemple les référenes [Coo, CP ℄, qui s'intéressent au as plus général des groupes

hyperboliques).Nousnousintéressonsauontraireauasdesréseauxnonuniformes

(voirlelivre[BL ℄pour avoirune idéede larihessedes exemples); en généralonne

peut pas sedébarasser de la torsionpar passage àun sous-groupe d'indieni, ei

est unproblèmeruialen equionerneleodage.Ensupposantquelamesurede

Patterson-Sullivanne harge paslesensemblesde pointsxes d'élémentselliptiques

non triviaux, un premierrésultatde odage (voir paragraphe4) est lesuivant (voir

paragraphe 2 pour des rappelsde dénitions),

Théorème 1.1 Soit µe^BM ^une^mesure^de (Patterson-Sullivan)-Bowen-Margulispour

Γ ^surGT^.^Supposons^que^le^système ^dynamique^mesuré ^quotient ^de(GT,ϕ,e eµ^BM) ^par Γ ^soit ^de probabilité et mélangeant. Alors il est lâhement Bernoulli.

Voir [BM , Rob℄ (ou le paragraphe 3) pour de grandes lasses d'exemples où

les onditions de nitude de la mesure et de mélange sont vériées. Dans le adre

algébrique, nous amélioronsenore e résultat,de la manièresuivante.

Soit Kb ûn ôrps ^loal, G ûn ^groupe âlgébrique ^linéaire ônnexe semi-simple, déni sur e orps, S ûn ^tore Kb^-déployé ^maximal, êt Γ ûn ^réseau ^de G = G(K)b ^.

Les propriétés dynamiques et ergodiques de l'ation de S =S(K)b ^par translations à droite sur l'espae quotient Γ\G ^font atuellement l'objet de nombreuses études (voirpar exemple [Mar1, Zim, Mar2, Tom, LW℄).Nous nous intéresserons dans et

artile au as où S êst ^de Kb^-rang 1 êt Kb êst ^non arhimédien, surtout dans la situation peu étudiée où Γ êst ^non ûniforme (l'existene d'un tel Γ împlique ^que Kb êst îsomorphe ^à ûn ôrps ^de ^séries ^formelles ^de ^Laurent ^sur ûn ôrps ^ni). ^Pour Kb = F_q((X⁻¹))^, G = PGL2^, S ^le sous-groupe diagonal et Γ = PGL2(F_q[X])^, ^la

situationa été omplètement dérite dans [BP℄,en termes arithmétiques.

SiM ^est ^lesous-groupeompat maximal de S^,^il^revient^presqu'au ^même^(voir

par exemple[Moz , LP℄)d'étudier l'ation par translations àdroite du groupe S/M

sur l'espae Γ\G/M^. ^Celle-i s'interprète en termes d'ations de groupes sur des arbres,delamanièresuivante.SoitT^l'arbre^deBruhat-Tits[BT ℄de(G,K)b ^(biparti,

de sommets bleus ou verts). Alors G ^agit transitivement (par translation au but) sur lesous-espaeG0T^de GT^formé^des géodésiquesd'origineunsommetvert,etM

est le stabilisateurd'un pointde G0T^.^L'ation ^à ^droite ^de S/M^, ^qui^est ^isomorphe

à Z^, ^sur G/M^, ^qui ^s'identie ^à G₀T^, ^orrespond ^à ^l'ation ^des ^puissanes ^paires ^de

(4)

LorsqueΓêst ûniforme,îlêstônnu^(voir^parêxemple^{[CP ℄)}^que^l'ation^de S/M

sur Γ\G/M ^est ^Bernoulli ^pour ^la^mesure^naturelle^sur Γ\G/M ^venant ^de ^la^mesure

de Haar sur G ^(voir ^par ^exemple ^[HK℄ ^pour ^les ^dénitions ^et ^rappels ^de ^théorie

ergodique). Nousgénéralisons e résultatauas non uniforme.

Théorème 1.2 Pour toutréseau Γ ^deG=G(K)b ^, ^l'ation^par translations àdroite de S/M ^sur Γ\G/M ^est ^Bernoulli ^d'entropie^nie.

Nous montrons en fait un résultat (voir le théorème 5.1) valable pour de nom-

breux sous-groupes géométriquement nis d'automorphismes d'arbres loalement

nis au sens de [Rob, Pau ℄.

Plusgénéralement,étant donnéun arbreT ^et^un sous-grouped'automorphismes

Γ ^de T^, ^nous ^nous intéresserons auodage du ot géodésique sur Γ\GT^. ^Nous^don-

nonsdans lapartie6desodagesintrinsèques,ausensoùilsn'utilisentquelastru-

ture de graphe de groupes quotient (au sens de [Ser ℄) de T ^par Γ^. ^Les ^propriétés

anoniques de ette onstrution devraient être utiles (voir par exemple [LP ℄). Ces

odages markoviens(sur des alphabets éventuellement innis)sont obtenus pour le

as d'ations k-aylindriques au sens de Sela [Sel℄ de n'importe quel groupe Γ ^sur

n'importequelarbre simpliialT ^(en ^partiulier^sans ^supposer T ^loalement^ni,^et

sans supposer nis lesstabilisateurs de sommetsdans Γ^), ^voir^le ^théorème ^6.5.

Les réseaux non uniformes du théorème 1.2 n'agissent pas de manière aylin-

driquesurleurarbredeBruhat-Tits,maisnousmontronsdanslapartie6.2omment

modier es ations pour les rendre aylindriques. En partiulier, l'ation modiée

de l'ationde PGL2(F_q[X]) ^sur ^l'arbre ^de Bruhat-Titsde (PGL2,F_q((X⁻¹))) ^est 5^-

aylindrique,etdonnelieuàun odagepar laméthode générale, quiest trèsprohe

du odage partiulier obtenudans [BP ℄.

La partie 6 de et artile a été érite avant la partie 4.1 de [Pau ℄, où le seond

auteurétudie d'autres propriétésdynamiques du otgéodésique sur un arbre,et en

partiulierertainsargumentsdelapartie4.1de [Pau ℄ontété inspirésdeeux dela

partie6,etpas inversement.Ilfautremarquerquelorsquel'on autorisede latorsion

dans les réseaux, le ot géodésique n'est pas a priori markovien.C'est préisément

pour obtenir un aratère markovien (et don un odage par une dynamique sym-

bolique) que nous avons introduit un ot géodésique d'ordre k ^sur ^un ^arbre ^dans

la partie6.

Remeriements : Nous remerions J.-P. Thouvenot pour son aide préieuse, en partiu-

lier onernant les référenes, ainsi que S. Mozes et F. Ledrappier. Nous remerions le

rapporteur anonyme d'uneversionpréédentede etartile,ertains deses ommentaires

nousont permis de démontrer lethéorème1.1.

2 Notations et rappels

Nousrenvoyons à[Ser ,Coo,Pau ,Rob℄pour des preuvesetomplémentsoner-

nantettepartie. Pour touteationd'ungroupeΓ^sur ^un ^ensemble, ^nous^notonsΓx

lestabilisateur d'unpoint x^. ^Par^boule^d'un ^espae^métrique,^nous ^entendons ^boule

fermée.

(5)

Si X êst ûn ^graphe, ôn ^note V X ^l'ensemble ^de ^ses ^sommets êt EX ^l'ensemble

de ses arêtes. Pour toute arête e^, ^on ^désigne ^par o(e) ^son ^sommet ^origine, t(e) ^son

sommet terminal et e ^son ^arête ^opposée. ^Les ^longueurs ^d'arêtes ^(des réalisations géométriques) sont supposées égales à 1^.

Onappellegraphe degroupes, etonnote(X, G∗)^,^la^donnée ^des ^objets^suivants^:

un grapheX ^(supposé ^onnexe ^dans ^la^suite)^;

pour tout sommetv ^de X^, ^un ^groupe Gv^;

pour toutearête e ^de X^,^un ^groupe Ge^, ^tel^que Ge=Ge^;

pour toutearête e ^de X^,^un ^morphisme ^injetifρe :Ge →Gt(e)^.

Par exemple, si Γ ^est ^un ^groupe d'automorphismes (sans inversion) d'un arbre

T^,âlors ^le^grapheX = Γ\T êst ^muni ^d'une^struture^de ^graphe^de ^groupes, âppelée

graphe de groupes quotient et notée Γ\\T^. Ôn ^proède âinsi ^pour ^la ônstruire. Ôn

xeunrelevéev ^dansT ^de ^haque^sommetv^de X^,ûn^relevéee^dansT ^de^haqueârête e ^de X^, ônîmpose ^queee=ee êtôn^xe ûn ^élémentge ^de Γ ^tel^queget(e) =g t(ee)^. Ôn

dénitalorsGe êtGv ômme^les^xateurs^dansΓ^de eeêtev^.Âlorsρe:Ge →G_t(e) êst

dénie omme la restrition à Ge ^de ^la ^onjugaison ^par g_e⁻¹^. ^Le ^graphe ^de ^groupes

quotientΓ\\T ^ne^dépend^pas^(àisomorphismedegraphesdegroupesprès),duhoix des ee^, ev êt g_e ^(voir ^{[Ser ℄} ^pour ^tout omplément). Si T êst ^loalement ⁿⁱ êt Γ êst

disret, alors lesgroupesGe êtGv ^sont ^nis. ^Si^de ^plus Γ\T êst ^ni, âlors Γ\\T êst

un graphe(onnexe) ni de groupesnis.

SoitT ^un^arbre^simpliial,^muni^de^sa^topologie^faible.^L'espae^desgéodésiquesde

T ^est ^l'espaeGT ^des appliationssimpliialesinjetives de R^dans T ^(ave R^muni

de sa struture simpliialeusuelle d'ensemblede sommets Z^),^muni ^de ^la^topologie

ompate-ouverte.CommeT êstûnârbre,^laônditiond'injetivitéestéquivalenteà la ondition d'injetivité loale. Notons Aut(T)^son ^groupe d'automorphismes sans inversion. Il est loalement ompat pour la topologie ompate-ouverte si T êst

loalementni.

Le groupe Z âgit ^sur GT ^par translations à la soure (n, f) 7→ {x 7→ f(x+ n)}^.^Le ^groupe Aut(T) âgit ^par homéomorphismes sur GT ^par ômposition âu ^but (γ, f) 7→ {x 7→ γf(x)}^. ^Ces ^deux âtions ômmutent. Âppelons transformation géodésique sur GT l'appliation ϕe : GT → GT ^dénie ^par ℓ 7→ {t 7→ ℓ(t + 1)}^.

Appelons renversement du temps sur GT l'appliation eτ : GT → GT ^dénie ^par ℓ 7→ {t7→ℓ(−t)}^.

Soit Γ ûn sous-groupe de Aut(T)^. Ôn ^munit ^les ^quotients Γ\T êt Γ\GT ^de ^la

topologie quotient. On note π : T → Γ\T ^et π^′ : GT → Γ\GT ^les ^projetions

anoniques. L'appliation ϕe înduit ûne âppliation ôntinue ϕ : Γ\GT → Γ\GT^,

aussi appelée la transformation géodésique sur Γ\GT^. L'appliation eτ ^induit ^une

appliation τ : Γ\GT → Γ\GT^, ^que ^nous ^appelerons renversement du temps sur

Γ\GT^.

(6)

Soit T ûn ârbre ^loalement^ni. ^Notons T ∪∂T ^la ompatiationpar l'espae des bouts de T^, êt ∂2T ^le ^produit ∂T ×∂T ^privé ^de ^sa ^diagonale. ^Rappelons ^que

toute arêtee ^de T ^dénit ûne^partitionên ^deux ^parties ∂eT êt^c∂eT ^de ∂T^, ^de ^sorte

que toute droitegéodésique d'originedans ∂eT ^etd'extrémité dans

c∂eT ^parourt e

suivantl'orientationde e^.^Nous^dirons^queT êst ûniforme^s'ilêxiste ûn sous-groupe disret dans Aut(T) ^tel^que ^le ^grapheΓ\T ^soit ^ni. ^Par êxemple, ûn ârbre ^régulier

ou bi-régulier est uniforme.

Notonsx0 ^un ^point ^base^de T^. ^L'entropie^volumique ^de T^,^qui ^ne ^dépend ^pas ^de x0^, ^est

δT = lim sup

n→∞

1

nlog Card(B(x0, n)∩V T).

Soit Γ ^un sous-groupe disret de Aut(T)^. ^En partiulier, l'ation de Γ ^sur GT

est proprementdisontinue (mais pasforémentlibreen général),etdon Γ\GT ^est

loalementompat.

Le groupe Γ êst ^dit ^non élémentaire s'il ne préserve ni point ni paire de points de T ∪∂T^. Îlêxiste âlors ûn ûnique ^plus^petit^sous-arbre Γ^-invariant^non ^vide,^noté TΓ,min^.

On appellerayon uspidal de groupes un graphede groupesnis (R, G∗)^ave R

un rayon,de suitedesarêtesonséutives(en)n∈N^orientées^vers^le^bout^deR^,^tel^que

pourtoutn ^dansN− {0}^,^le^morphismeGen →Go(en) ^soit^surjetif.^Le^groupeΓ ^est

ditgéométriquementni s'ilest non élémentaire etsile graphede groupes quotient

Γ\\TΓ,minêst^réunion^d'un^grapheⁿⁱ^de^groupes^nisêt,^reollésên^leursextrémités, d'unnombre nide rayons uspidauxdegroupes.Voir[Pau ℄pour l'équivaleneave

la dénition dynamiqueusuelle (ommedans [Rob℄),et des développements.

Nousrenvoyons parexempleà[BH℄pourladénitiondeshoroboules(ferméespar

défaut) dans un espae métrique géodésique CAT(0)^. ^Comme ^montré ^dans ^[Pau℄,

la préimage des rayons uspidaux maximaux dans TΓ,min ^forme ^alors ^une ^famille

disjointe Γ-invariante maximale d'horoboules ouvertes. Les points à l'innis de es horoboules, qui sont don les extrémitésdes rayons géodésiques relevant les rayons

uspidaux, seront appelés les points paraboliques bornés de Γ ^(voir ^[Rob, ^Pau℄ ^pour

l'expliationdynamique).

Par exemple, soit Kb ûn ôrps ^loal ^non arhimédien, G ûn ^groupe âlgébrique

linéaire onnexe semi-simple sur Kb^, ^de Kb^-rang 1^. ^Soit Γ ^un ^réseau ^de G =G(K)b ^.

Soit T ^l'arbre ^de Bruhat-Tits de (G,K)b ^. Âlors, ^par ûn ^théorème ^de Â. ^Lubotzky

[Lub ℄, l'ation de Γ ^sur T ^est géométriquement nie etT =TΓ,min^.

SoitΓ^unsous-groupegéométriquementnideAut(T)^.^Nous^dirons^queΓ^possè^de

la propriété de Selbergs'il admetun sous-grouped'indie ni, dont tout élément de

torsionest onjuguéàun élémentdu grouped'unsommetintérieurd'unsous-rayon

uspidaldeΓ\\T^.^Par^exemple,^'est^vrai^siΓ\\T ^n'a^pas^de^sous-rayon^uspidal^(voir

[Ser ℄).ParlelemmedeSelberg[Alp℄,'est aussivraipour Γ^un ^réseau^de G=G(K)b

agissantsurl'arbredeBruhat-Titsde(G,K)b ^,âveKb ûnôrps^loal^nonârhimédien

(7)

et G ûn ^groupe âlgébrique ^linéaireônnexe semi-simple sur Kb^, ^de Kb^-rang 1^. ^Cette

propriété est aussi vériée si tout stabilisateur de point parabolique borné dans Γ

est résiduellementni, ar onpeut alorsutiliser lerésultat susnomméde [Ser ℄ pour

enleverla torsionsur legrapheprivéde ses rayons uspidaux, et reollerdes rayons

uspidauxorrespondantàdessous-groupesd'indienidesstabilisateursdepoints

paraboliquesbornés.Rappelonsqu'un groupeestrésiduellementnisil'intersetion

de ses sous-groupesd'indie ni est réduite àl'élémentneutre.

L'exposantritiqueδ=δΓ ^deΓ^,^qui^ne^dépend^pas^dex0^,^est^l'élément^de[0,+∞]

tel quela série de Poinaré de Γ

P(s) = PΓ,x0(s) =X

γ∈Γ

e^−sd(x⁰^,γx⁰⁾

onverge pour s > δ ^et^diverge ^pour s < δ^. ^Le ^groupe Γ ^est ^de ^type ^divergent ^si ^sa

série de Poinaré P(s)^diverge ^pour s=δ^.

Si Γ êst ^de ^type ^divergent ^d'exposant ^ritique ⁿⁱ ^non ^nul, âlors îl êxiste ^(voir

[Coo℄)une famille(µ_x)_{x∈V T} ^de ^mesures ^nies^sur ∂T^, ^appelée ^mesure ^de ^Patterson-

Sullivan,unique à salaire multipliatifprès, de supports ∂TΓ,min^, ^telle ^que

∀γ ∈Γ, γ∗µx =µγx^,

∀x, y ∈V T, ∀ξ∈∂T , ^dµ_dµ^x

y(ξ) = e^−δβ^ξ^(x,y)^,

où βξ(x, y) = d(x, z)−d(z, y) ^pour ^tout ^sommet z ^susamment ^prohe ^de ξ^.

Pourtoutegéodésiqueℓ^,^notonsℓ₋, ℓ₊^les^points^de∂T ôrigineêtêxtrémité^de ℓ^.

L'appliationGT →∂2T ×Z^, ^qui^àℓ âssoie(ℓ−, ℓ+, t)âve t^la^distane âlgébrique

sur ℓ êntre ℓ(0) êt ^le ^point ^de ℓ ^le ^plus ^prohe ^de x0^, êst ûn homéomorphisme. Ce paramétragedépend dupointbasex₀^.^SiΓêst^de ^type^divergent^d'exposant^ritique

ni nonnul,ondénitune mesureme^BM ^surGT^,^appelée ^mesure ^deBowen-Margulis, par

dme^BM(ℓ₋, ℓ₊, t) = dµx0(ℓ−)dµx0(ℓ+)dt dx0(ℓ−, ℓ+)^2δ ,

oùdx0 ^est ^la^distane ^sur ∂T ^dénie^par dx0(ℓ−, ℓ+) =e^−u ^ave u^la^longueur^de ^l'in-

tersetiondes rayons géodésiquesissus dex0 ^onvergeant^versℓ−^etℓ+^.^(L'origine^de

ette mesure remonte aussi auxtravauxde Patterson-Sullivan, mais nous préférons

donner des noms diérents à deux mesures diérentes, la mesure de Patterson-

Sullivanqui vitsur ∂T ^et^elle ^de Bowen-Margulisqui vit sur GT^.) ^La^mesure me^BM

ne dépend pas de x0^. Êlle êst învariante ^par ^la transformation géodésique sur GT

et par Γ^. Êlle înduit ^don ûne ^mesure m^BM ^sur Γ\GT^, âppelée ^mesure ^de ^Bowen-

MargulissurΓ\GT^.^Le^support^dem^BMêstΓ\GTΓ,min^.^LorsqueΓêstôompat,êtte

mesure est lamesure d'entropie maximalepour ϕ ^(voir^{[CP ,} ^Kai, ^Bou℄).^Lorsque T

est un arbre de Bruhat-Tits ommedans l'introdution,alors larestrition de me^BM

à G0T ^(déni ^dans l'introdution) s'identie (à un salaire multipliatif près) ave l'image dans G/M ^de ^la^mesure ^de ^Haar^de G^.

(8)

Lesrésultatsdeeparagraphedéoulentessentiellementderésultatsonnus(voir

[BM , Rob℄). En partiulier, lestrois premières assertions de laproposition suivante

déoulent du Corollary 6.5de [BM ℄, l'avant-dernière de la Proposition 7.3 de [BM℄

etladernièreassertion,en utilisantl'avantdernièreetlatroisième,déoulede [Rob℄

(adaptantdes idéesde [DOP ℄). Nousne donnons la preuve regroupée que par soui

de omplétude.

Proposition 3.1 Soit T ûn ârbre ^loalementⁿⁱ êt Γ ûn sous-groupe géométrique- ment ni de Aut(T)^. ^Si TΓ,min êst ûniforme, âlors

δΓ ^est ^ni, ^non ^nul^;

δ_Γ =δ_T_Γ,min^;

Γ ^est ^de ^type ^divergent^;

pour tout point parabolique borné ξ ^de ∂T êt ^tout ^point y0 ^dans V T^, îl êxiste

une onstante c≥ 1 ^telle ^que ¹_c e^nδ^Γ ≤ Card (B(y₀,2n)∩Γ_ξy₀) ≤c e^nδ^Γ ^pour

tout n ^dans N^;

pour tout point parabolique borné ξ ^de ∂T^, ^on ^a δΓξ =δΓ/2^;

la mesure de Bowen-Margulissur Γ\GT ^est ^nie.

Remarques. (1) L'hypothèse queTΓ,min êst ûniforme ^ne ^peut ^être ômise. Ên êet,

pour tout n ^dans N^, ^posons q_n = 2²ⁿ ^et Γ_n = (Z/2Z)^qⁿ^. ^Notons ^que Γ_n ^s'injete

naturellement dans Γn+1^. Considéronslegraphede groupessuivant (detype Nagao au sens de [BL℄), qui est géométriquement ni (et de volume ni) :

Γ₁

Γ1

Γ₁ Γ0

Γ₂ Γ2

Γ₃ Γ_n

Γn

Γ_n+1

Soit T ^le ^revêtement ûniversel ^de ê ^graphe ^de ^groupes ^(qui êst ûn ârbre ^non ûni-

forme, ar de valenes non uniformément bornées) et Γ ^son ^groupe fondamental, pour des hoix indiérents de points bases (voir [Ser ℄). Si x0 ^est ^un ^sommet ^de T^,

préimage del'originede e rayonde groupes,alors laboulede rayon2n êt^de êntre x0 ôntientâu ^moins qn/qn−1−1 =qn−1−1 ^points,^don

δΓ ≥lim sup

n→∞

1

2nlog(qn−1−1) = +∞,

et l'exposantritique de Γ^est ^inni.

(2)SoitT ûn ârbre ^loalementⁿⁱ êtΓ^′ ûn sous-groupedisret de AutT^.Âlors δΓ^′ ≤δT^, âr

PΓ^′,x0(s) = (Card Γ^′_x₀) X

y∈Γx0

e^−sd(x⁰^,y)≤(Card Γ^′_x₀) X

y∈V T

e^−sd(x⁰^,y),

qui onverge si s > δT^. ^Si Γ^′ êst ^non élémentaire, alors δΓ^′ êst ^non ^nul, âr âlors Γ^′

ontient au moins un groupe libre de rang 2 ^de ^Shottky ^(voir ^par ^exemple ^[Lub℄).

Si les valenes de T ^sont uniformément bornées, disons par q+ 1^, ^alors δ_Γ^′ ^est ^ni,

ar δT ≤logq^.