RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES I. Résolution d équations trigonométrique.

1. E xe rc i ce 92 p ag e 228 : Réso l ut io n d e l éq u atio n (E ) : cos (x ) 3 2 . On remarque que 3

2 cos  

 

6 .

On trace le cercle trigonométrique et on repère le point A associé à

6 sur le cercle et 3 2 sur l axe des abscisses (axe des cosinus).

Remarque : on sait que sin  

  6

1

2 donc on peut placer facilement

6 sur le cercle (à la moitié de la hauteur)

On remarque qu un autre point (le point B) symétrique de A par rapport à l axe des abscisses correspond au même cosinus.

On c h er c he u n nombr e a ssoc i é a u poi nt B :

6 est associé à B.

 On c her c he l es solut i ons da ns .

On cherche toutes les solutions dans . Il y a une infinité de réels qui correspondent à chaque point.

Il y a donc une infinité de solutions.

Les réels qui correspondent au point A sont les réels de la forme

6 2k où k est un entier relatif.

Les réels qui correspondent au point B sont les réels de la forme

6 2k où k est un entier relatif.

Les solutions sont donc les réels de la forme

6 2k ou

6 2 k où k est un entier relatif.

On écrit S

 



 



6 2 k

6 2k ,k

 On c her c he l es solut i ons da ns l i nt er va l l e [ ] .

[ ] cor r esp ond à un t our de c er c l e en pa r t a nt de I , dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.

P our l e p oi nt A :

6 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point A est 6 . P our l e p oi nt B :

6 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point B est 6 .

On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [ ] sont

6 et 6 : S

 



 



6 6 .

 On c her c he l es solut i ons da ns l i nt er va l l e [0; 2 ].

[0; 2 ] c or r esp ond à un t our de c er c l e en pa r t a nt de I, dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.

P our l e p oi nt A : 6 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point A est 6 . P our l e p oi nt B : 6 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B n est pas

6 . Pour trouver d autres réels correspondant à B, on ajoute ou enlève des "paquets" de 2 . Ici,

6 est trop petit donc on va ajouter 2 :

6 2 11

6 et 11

6 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B est 11 6 . On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (E ) dans [0 2 ] sont

6 et 11 6 : S

 



 



6 11

6 .

2. Réso l ut io n de l é q uat io n (F ) : si n(x ) 3 2 . On remarque que 3

2 sin  

 

3 .

On trace le cercle trigonométrique et on repère le point A associé à

3 sur le cercle.

On remarque qu un autre point (le point B) symétrique de A par rapport à l axe des ordonnées correspond au même sinus.

On c her c he u n nombr e a ssoc i é a u poi nt B . 3

2

3 est associé à B.

 On c her c he l es solut i ons da ns .

On cherche toutes les solutions dans . Il y a une infinité de réels qui correspondent à chaque point.

Il y a donc une infinité de solutions.

Les réels qui correspondent au point A sont les réels de la forme

3 2k où k est un entier relatif.

Les réels qui correspondent au point A sont les réels de la forme 2

3 2 k où k est un entier relatif.

Les solutions sont donc les réels de la forme

3 2k ou 2

3 2 k où k est un entier relatif.

On écrit S

 



 



3 2 k 2

3 2k , k

 On c her c he l es solut i ons da ns l i nt er va l l e [ 0; 2 ].

[0; 2 ] c or r esp ond à un t our de c er c l e en pa r t a nt de I, dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.

P our l e p oi nt A :

3 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point A est 3 . P our l e p oi nt B : 2

3 [0 2 ] donc la solution dans [0 2 ] qui correspond au point B est 2 3 .

On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (F ) dans [0 2 ] sont

3 et 2 3 : S

 



 



3 2

3 .

 On c her c he l es solut i ons da ns l i nt er va l l e [ ] .

[ ] cor r esp ond à un t our de c er c l e en pa r t a nt de I , dans le sens direct donc il y aura une solution pour chacun des deux points dans cet intervalle.

P our l e p oi nt A :

3 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point A est 3 . P our l e p oi nt B : 2

3 [0 2 ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point B n est pas 2 3 . Pour trouver d autres réels correspondant à B, on ajoute ou enlève des "paquets" de 2 . Ici, 2

3 est trop grand donc on va enlever 2 : 2

3 2 4

3 et 4

3 [ ] donc la solution dans [ ] qui correspond au point B est 4

3 .

On a une solution pour chacun des deux points et l intervalle correspond à un tour, donc on ne passe qu une fois par chacun des deux points, donc les solutions de (F ) dans [0 2 ] sont 2

3 et 4 3 : S

 



 

2 

3 4

3 Remarque : les réels qui correspondent au point B sont aussi les réels de la forme 4

3 2k où k . Ainsi, dans , on a aussi S

 



 



3 2k 4

3 2k , k : il y a une infinité de façons d écrire l ensemble des

solutions dans .

II. Résolution d inéquations trigonométrique.

1. Réso l ut io n d ans [0;2 ] d e l i né q uat io n (E ) : cos (x ) 2 2 .

On remarque que 2

2 cos  

 

4 .

 On trace le cercle trigonométrique et on repère le point A associé à

4 sur le cercle.

On remarque qu un autre point (le point B) symétrique de A par rapport à l axe des abscisses correspond au même cosinus.

On c her c he u n nombr e a ssoc i é a u poi nt B . est associé à B mais 4

n appartient pas à [0 2 ] (intervalle de l énoncé) donc on cherche un réel associé à B et qui appartient à [0 2 ] : 4 est trop petit donc on ajoute 2 (un tour) :

4 2 7

4 est aussi associé à B.

 on repasse en couleur la partie du cercle qui correspond à un cosinus inférieur à 2 2 (toute la partie à gauche du segment en pointillés bleus)

 on cherche l ensemble des solutions dans [0 2 ]donc on part de I et on fait un tour dans le sens direct.

La partie du cercle repassée en rouge correspond aux réels de 4 à 7

4 . L ensemble des solutions est S

 

  4

7 4 .

2. Réso l ut io n d ans [0;2 ] d e l i né q uat io n (E ) : cos (x ) 2 2 .

On reprend le cercle précédent. Les solutions sont les réels correspondant à la partie non repassée en rouge sur le cercle ci-dessus.

On cherche l ensemble des solutions dans [0 2 ]donc on part de I et on fait un tour dans le sens direct.

S  

  0 4  

  7

4 2 .