TRI 36

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 36

EXTRI360-EXTRI369

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans

Fabienne Zoetard

Octobre 2013

(2)

EXTRI360 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2012.

1 1

1 1 1 1 2

2 2

Deux bateaux initialement situés en et naviguent en direction du point . On mesure 50 km et les angles 85 et 65 . Au temps , les deux bateaux se trouvent en et ayant parcouru r

A B C

A B t

A B

      

1 2 1 2

1 2

1 1 2 2

espectivement 30 km et 50 km. On mesure les angles et entre les trajectoire et le segment de droite en les bateaux.

a) Démontrer que les angles satisfont . b) Déterminer l'angle

A A B B

C

 

 

      

1 1

2 2 2 2 2

et les distances et .

c) Calculer la distance entre les bateaux en et les angles et . Donner es résultats numériques avec 4 chiffres après la virgule.

A C B C

A B t  

(3)

1 1 1 1

1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

1

: 180

a)

: 180

b) 180 85 65 30

sin sin 65

c) 50 90.6308 km

sin sin sin sin 30

sin sin 85

50 99.6195

sin sin sin sin 30

A CB C

C

A C A B

C C

B C A B

C C

             

     

       

 

     

 

 

     

 

2 2

2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

km 60.6308 km

d) 2. . .cos

49.6195 km

60.6308 49.6195 2 60.6308 49.6195 cos 30 30.4527 km

30.4527 60.6308 49.6195

cos 0.57

2 30.4527 60.6308 2. .

A C A B A C B C A C B C C

B C

A B A C CB A B A C

     

 

      



   

   

 

2 2

988

54.5579 95.4424

       

Le 15 octobre 2013

EXTRI361 – FACSA, ULG, Liège, septembre 2012.

Résoudre

3 cos 2xsin 2x2

  ^ ^

sin 2 3 sin 2 2

On pose tan 3 60

L'équation devient : sin 2 2 cos 60 sin 2 60 1

2 60 90 360 15 180

x x

x k x k

 

     

      

           

Le 15 octobre 2013

(4)

EXTRI362 – POLYTECH, Umons, Mons, juillet 2012.

2 2

Résoudre l'équation trigonométrqiue suivante :

sin 4 cos 2sin cos 2 1 2sin et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique

x x x x  x

Solution proposée par Fabienne Zoetard

 

2 2

2sin 2 cos 2 cos 2

sin 4 cos 2 sin cos 2 1 2 sin cos 2 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 1 0 1) cos 2 0 2

2 4 2

2) 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 1 0 sin 3 1 2

3 2 2

6 18 3

5 5 2

3 2

6 18 3

Soluti

x x x

x x x x x

x x k x k

x x x x x

x k x k

  

   

  

       

    

  

      

   

      

  

ons dans 0, 2 :

5 3 13 17 5 25 7 29

, , , , , , , , ,

18 4 18 4 18 18 4 18 4 18



         

Le graphique est donné à titre purement indicatif. Les résolutions graphiques sont interdites.

21 octobre 2013

(5)

Soit un triangle isocèle en . On désigne par le pied de la hauteur issue du sommet de ce triangle. Que vaut l'angle , si les longueurs du côté et du segement sont égales? Résoudre le tri

ABC A H

C A BC AH

angle (donner les valeurs numériques des autres angles et des côtés) si la longueur AB est égale à 4 cm.

2

:sin sin

On a : cos

sin sin 90 cos

2 2

cos cos cos sin cos cos 2 sin cos

sin cos 2 2 2 2

2

1) cos 0 90 180 180 360 A rejeter

2 2

2) cos 2 sin 0 1 2 sin 2 sin 0

2 2 2

a b

ABC A B

AHC a b A

A A

B

b A b A A A A

A A A

A A

k A k

A A A

A

 



 

  

    

 



     

          

      1 3

... sin

2 2

21.47 360 42.94 720 42.94

1 3 2

2.1) sin

2 2

158.53 360 A rejeter 2

1 3

2.2) sin 0 A rejeter

2 2

Conclusion : 42.94 , 68.53

A

A k A k A

A

A k

A

A B C

    

           

  

  

   



   

    

21 octobre 2013

(6)

Dans un plan considéré au niveau du sol, une caméra embarquée sur un robot mobile voit une barre de fer sous un angle de 18°. Après que le robot se soit déplacé de 3 m, le long de la bissectrice de cet angle, et en direction de la barre de fer, la caméra voit cette dernière sous un angle de 41°. L'extrémité la plus proche de la barre de fer est alors située à 2 m de la caméra. Calculer la longueur de la barre de fer.

 

2 2

2

: 4 2 2 .cos 41 1

157.53 sin 9 sin

: 13.57 161.57

2 3

9.43

Donc : 3 2.86

sin 9 sin 9.43

Valeur que l'on injecte dans 1 : 3.56 1.89 m

ABD a b b

ADC

ADC DAC DAC BDC

DBC

b b

a a

      

  

 

       

  



  

 

   

21 octobre 2013

(7)

2 2

Résoudre l'équation trigonométrique suivante :

sin sin cos 0.75 0

avec la condition supplémentaire : cos 2sin

Représenter les solutions (en et ) sur le cercle trigonométrique.

x y y

y x

x y

   



 

2 2

2

2 2

3 cos 2 sin 2

sin sin cos 0

4 7

3sin 2 sin 0 1

cos 2 sin sin 1 4 sin 4

1 6 2

2 5 sin 2 7

De 1 : sin 2

6 6

sin 7 A rejeter.

6

De 2 : cos 1 2 '

Solution :

y x

x y y

x x

y x y x

x k

x

x x k

x

y y k

x

      

 

 

   

     



     

   

 

    

       

 



       

 7

2 2

6 ou 6

2 ' 2 '

k x k

y k y k

 

       

 

 

         

 

21 octobre 2013

(8)

4 3

Vérifier l'identité suivante :

sin 2sin 2 sin 3 8sin cos 2sin 2

a a a a a  a

 

? 4 3

? 4 2

? 4 2 2

?

2 2 2 2

2 ?

sin 2 sin 2 sin 3 8sin cos 2 sin 2

2 sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 4 cos sin 2

2 sin 2 cos 1 2 sin 4 cos 4 sin cos

2 2 2

2 sin 2 2 cos 2 sin 4 cos cos sin

2 2 2 2

4 sin 2 cos 8sin .co 2

a a a a a a

a a a

a a a a

a a

a a a

   

 

     

 

     

 

      

  ²

2 2

s .cos 2

4 sin 2 cos 4 sin 2 cos OK

2 2

a a

 

21 octobre 2013

(9)

Lors de la construction de nouvelles voies férrées, on désire assurer la jonction entre deux lignes de façon progressive. Les directions des deux lignes concernées (que l'on peut assimiler à des droites, en négligeant l'écartement des rails) se coupent à 120°, en un point vituel . On désire effectuer le changement de direction en suivant l'arc d'un cercle, de rayon 1 km, dont le centre est situé sur

O

la bissectrice de l'angle, de sommet , formé par les deux voies.

Soient et les points de contact entre les voies et l'arc de cercle considéré.

Calculer : 1) les distances et ; 2) la longueur de l'a

O

A B

OA OB

rc de cercle ;

3) la distance maximale entre cet arc de cercle et la corde . AB

AB AB

1 3

1) . tan 60 0.577 km

3 3 2) 360° intercepte un arc de 2 km

60 intercepte un arc de km 1.047 km

3 3

3) 1 1 cos 30 1 3 0.134 km

2

AC OA OA

AB

ED CE DC

    



 

  

       

21 octobre 2013

(10)

3 3

Résoudre l'équation trigonométrique suivante : sin 2

cos 2sin . 1 2sin 0

4

et représenter les solutions sur le cercle trigonométrique x x  x  x

   

 

3 3

3 2 3

2 2 2

2

sin 2

cos 2 sin . 1 2 sin 0

4

2 sin .cos

cos 2 sin . 2 sin 2 sin 0

4

cos sin cos 2 sin 2 sin 0

cos cos sin 2 sin 1 sin 0

cos 2 sin cos 0 cos 1 sin 2 0 1) cos 0

2 2) sin 2 1 2

2

x x x x

x x

x x x x

x x x x x

x x k

x x

 

    

 

    

    

     

    

   

 

2 4

5 3

Solutions 0, 2 , , ,

4 2 4 2

k x k

x

     

   

 

    

Le graphique est donné à titre indicatif. Les résolutions graphiques sont interdites.

21 octobre 2013

(11)

2

Montrer que, lorsque les côtés d'un triangle ont pour expression 1

2 1 avec 1

1

alors, l'un des angles du triangle vaut 120°. Résoudre le triangle pour 2

a x x

b x x

c x

x

   

   

  





2 2 2

Si 1 alors on a 1 2 1 et 1 1

On peut dès lors supposer que l'angle de 120° est l'angle opposé au côté . On doit alors vérifier : 2 cos

En effet, si on remplace et que l'on d

x x x x x x x

A a

a b c bc A

        

  

 ² ²  ²  ² ²   ² 

éveloppe, on constate que la relation est bien vérifiée:

1 2 1 1 2 2 1 1 1

2 On a donc 120 , 7, 5, 3

5 3 5 3

sin sin sin . 38.21

7 2 14

180 120 38.21 21.79

x x x x x x

A a b c

B b A B B

a C

 

          

    

       

        

21 octobre 2013