Fonction zêta des hauteurs des variétés toriques non déployées

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Fonction zêta des hauteurs des variétés toriques non déployées

David Bourqui

To cite this version:

David Bourqui. Fonction zêta des hauteurs des variétés toriques non déployées. American Mathe- matical Society, pp.vii-151, 2011, Memoirs of the American Mathematical Society volume 211 n° 994, 978-0-8218-4936-1. �10.1090/S0065-9266-2010-00609-4�. �hal-00004037v2�

hal-00004037, version 2 - 17 Jul 2007

toriques non déployées

Height zeta funtions of nonsplit tori varieties

David BOURQUI

Abstrat : We investigate the antianonial height zeta funtion of a (non

neessarily split)tori varietydened over aglobal eld of positive harateristi,

drawing our inspiration from the method used by Batyrev and Tshinkel to deal

with the analogous problem over a number eld. By the way, we give a detailed

aount of their method.

Résumé : Nous étudions la fontion zêta des hauteurs antianonique d'une

variététorique(non néessairementdéployée)déniesurunorps globalde ara-

téristiquepositive.NousnousinspironspoureladelaméthodeutiliséeparBatyrev

etTshinkelpourtraiterlasituationanalogueenaratéristiquezéro,méthodeque

nousrappelons d'ailleurs endétail.

AMS Classiation : 11G35, 11G50,14M25, 11M41

Table des matières

1 Introdution 4

1.1 Position et originedu problème . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 L'adaptationde laméthode de BatyrevetTshinkel en ara-

téristique positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Rappels et notations 11

2.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Rappelssur lesorps globaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Hauteurs d'Arakelov, mesure de Tamagawa et onstante de

Peyre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Tores algébriques 20

3.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 L'espae adéliqueassoiéà un tore algébrique . . . . . . . . . 22

3.3.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.2 Propriétés du degré loaldans le as d'une plae nie 32 3.3.3 Propriétés du degré dans leas arithmétique . . . . . . 32

3.3.4 Propriétés du degré dans leas fontionnel . . . . . . . 34

3.4 Groupede lasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 La dualitéde Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5.1 Les groupes de ohomologie àla Tate . . . . . . . . . . 38

3.5.2 Énoné de la dualitéde Nakayama . . . . . . . . . . . 40

3.6 Coompaité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Résultatsloaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Résolutionasque d'un tore algébrique etappliations . . . . 46

3.8.1 Rappelset notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8.2 Un résultatloal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8.3 Approximation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.8.4 Un invariantdes tores algébriquesdénis sur lesorps de fontions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.9 Mesure adélique etnombre de Tamagawa d'un tore algébrique 58 4 Hauteurs sur une variété torique et fontion zêta assoiée 60 4.1 Géométrie des variétéstoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.1 Variétés toriquesdéployées . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.2 Variétés toriquesnon déployées . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Hauteurs sur une variététorique . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Hauteurs loales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2 Remarques sur le as fontionnel . . . . . . . . . . . . 69

4.2.3 Hauteurs globaleset fontion zêta des hauteurs . . . . 71

4.3 Mesure et nombre de Tamagawad'une variété torique . . . . . 71

4.4 Le résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5 Stratégie de Batyrev et Tshinkel . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5.1 Un peu d'analyseharmonique . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5.2 Appliationà lafontion zêta des hauteurs . . . . . . . 78

5 Caluldes transforméesde Fourieretexpression intégrale de la fontion zêta des hauteurs 80 5.1 Caratères du groupedes idèles . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2 Caratères de

T (

^AK

)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81}

5.2.1 Cas arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.2 Cas fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Préliminaires aualul des transformées de Fourier . . . . . . 84

5.4 Les transformées de Fourier loales . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.2 Cas arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4.3 Cas fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.4 Cas des plaesnon ramiées . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Propriétés analytiques de la transformée de Fourierglobale . . 103

5.5.1 Cas arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.2 Cas fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.6 L'expression intégralede lafontion zêta des hauteurs . . . . . 109

5.6.1 Cas arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.6.2 Cas fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6 Évaluation de l'intégrale : le as arithmétique 127 7 Évaluation de l'intégrale : le as fontionnel 129 7.1 Dénition d'uneertaine lasse de fontions . . . . . . . . . . 129

7.2 Un premierexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.3 Enore quelques dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Avertissement au leteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.5 Un lemmede déomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.5.1 Version simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.5.2 Version générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.6 Comportement des fontions étudiées par intégration . . . . . 143

7.6.1 Le lemmetehnique : formedépouillée . . . . . . . . . 144

7.6.2 Le lemmetehnique : formesimple . . . . . . . . . . . 144

7.6.3 Le lemmetehnique : formegénérale . . . . . . . . . . 146

8 Appliation aux fontions zêta des hauteurs 152 8.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.2 Appliationdu lemme tehnique dans le as arithmétique . . . 153

8.3 Appliationdu lemme tehnique dans le as fontionnel . . . . 154

8.3.1 Le as d'une extension de déploiementnon ramiée . . 154

8.3.2 Un as plus général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.4 Calul du terme prinipalde la fontion zêta des hauteurs . . 163

8.4.1 Calul de

C

0 ^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163}

8.4.2 Cas arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.4.3 Cas fontionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A Appendie : le as où l'hypothèse ?? n'est pas vériée 168

1.1 Position et origine du problème

Soit

V

^{unevariétéprojetivedéniesurunorpsglobal}

K

^{,i.e.unorpsde}

nombresouleorpsdefontionsd'uneourbeprojetive,lisseetgéométrique-

ment intègre, dénie sur un orps ni. Soit

H

^{une hauteur} exponentielle relative àun bré en droites ample.Alors pour tout réel

B

^{le nombre}

n

_V,H

(B) = # { x ∈ V (K), H(x) 6 B }

^(1.1)

est ni. Si l'ensemble

V (K)

^{est dense pour la topologie de Zariski, la quan-}

tité

n

V,H

(B)

^{tend don vers l'inni quand}

B

^{tend vers l'inni.Une question}

naturelle est alors d'essayer de dérire le omportement asymptotique de la

quantité

n

V,H

(B)

^{,end'autrestermesle}omportementasymptotiquedunom- bre de pointsde hauteur bornée.On herhe notamment à interpréter ette

desription en termesde lagéométriede lavariété

V

^{.C'est l'objetd'un pro-}

gramme initiépar Manin etses ollaborateurs, qui s'est révélé extrêmement

riheetouvert:pourlavériationdespréditionsdeManinpourdeslasses

partiulières de variétés, des tehniques très diverses ont pu être employées.

Ces préditions (ranées par Peyre puis Batyrev et Tshinkel) sont main-

tenant établies pour plusieurs lasses de variétés. Nous renvoyons le leteur

auxtextes[Pe5 ℄et[Pe6 ℄pourunétat généralde laquestionauxalentoursde

2003etlesréférenes denombreuxtravauxsurlesujet.Onpourraégalement

onsulter [Bro℄ pour un état des lieux réent onernant le as des surfaes.

Soulignons que latrès grande majorité de es travaux se plaent dans le

as où

K

^{est un orpsde nombres.Ii nous nous}intéressons auas où

K

^est

de aratéristiquenonnulle,as enorepeuexplorédanslalittérature.Avant

toute hose, nous allons préiserl'une des préditions de Manin onernant

le omportement asymptotique de

n

V,H

(B )

^{, dans le as où le orps de base}

est un orps de nombres. Ellepeut s'énoner de la manièresuivante.

Question 1.1

Soit

V

^{une variété projetive et lisse dénie sur un orps de nombres}

K

^.

On suppose que lalasse du faiseau antianonique est à l'intérieur du ne

eetif, et que l'ensemble

V (K )

^{des points rationnels de}

V

^{est dense pour}

la topologie de Zariski. Soit

t

^{le rang du groupe de} Néron-Séveri de

V

^{. Soit}

H

^{une hauteur relative au faiseau} antianonique. Existe-t-il un ouvert de Zariskinon vide

U

^de

V

^{et une onstante}

C > 0

^{tels qu'on ait}

n

_U,H

(B) ∼

B→+∞

C B log(B)

^t−1

?

^(1.2)

La restrition à un ouvert

U

éventuellement strit de

V

^{est néessaire en}

raison de l'existene possible de fermés aumulateurs, dont un prototype

est donnépar lesdiviseurs exeptionnels sur les surfaes de delPezzo.

Soulignons que bien qu'il ait été démontré que la question 1.1avait une

réponse positive pour de large lasses de variétés, un ontre-exemple dû à

Batyrev et Tshinkel montre quela réponse à ette question est négative en

général(leontre-exemple portesur lapuissanedu logarithmeapparaissant

dans la formule(1.2), f. [BaTs3℄).

Il existe une version fontionnelle immédiate de laquestion 1.1: il sut

de remplaer dans l'énoné l'hypothèse

K

^{est un orps de nombres par}

K

^{est un orps global de} aratéristique positive. Cependant, la nature dispersée de l'ensembledes valeurs prises par les fontions hauteurs dans

leasfontionnelentraînequ'uneformuledutype(1.2)nepourrajamaisêtre

vériée. Plus préisément, et ensemble de valeurs sera typiquement inlus

dans

q

^{Z où}

q

^{est le ardinaldu orps des onstantes. On adon dans e as}

∀ n ∈

^N

, n

V,H

q

ⁿ⁺¹²

= n

V,H

(q

ⁿ

)

^(1.3)

etuneformuledutype(1.2)entraîneraitalorsaussittlaontradition

√ q = 1

^.

Pour obtenir une version fontionnelle satisfaisante de la question 1.1,

onremarque queleomportement asymptotiquede

n

_U,H

(B)

^est étroitement lié, par des théorèmes taubériens, au omportement analytique de la série

génératrie

ζ

_U,H

(s) = X

x∈U(K)

H(x)

^{−s (1.4)}

(

s

^{désignant une variable omplexe), quel'on baptisefontion zêta des hau-}

teurs. Undes moyens ourammentutilisés pour obtenirune formuledutype

(1.2) est d'ailleurs d'étudier d'abord le omportement analytique de ette

fontion,puis d'appliquer unthéorème taubérien adéquat,telquelerésultat

suivant.

Théorème 1.2

S'il existe un ouvert

U

^{non vide tel que}

ζ

U,H

(s)

^{onverge absolument pour}

ℜ (s) > 1

^{etun nombre réel}

ε > 0

^{tels que lafontion}

s 7−→ (s − 1)

^t

ζ

U,H

(s)

^(1.5)

se prolonge en une fontion

g

^{holomorphe sur l'ouvert}

{ℜ (s) > 1 − ε }

^{, et}

vériant

g(1) 6 = 0

^{alors la formule (1.2) est vériée pour et ouvert}

U

^ave

C =

_(t−1)!^{g(1) .}

de laquestion 1.1.

Question 1.3

Soit

V

^{une variété projetive et lisse dénie sur un orps global}

K

^{de ar-}

atéristique positive.On suppose quelalasse du faiseau antianoniqueest

à l'intérieur du ne eetif, et que l'ensemble

V (K)

^{des points rationnels}

de

V

^{est dense pour la topologie de Zariski. Soit}

t

^{le rang du groupe de}

Néron-Séveride

V

^{. Soit}

H

^{une hauteur relativeau faiseau} antianonique.

Existe-t-ilun ouvert de Zariskinon vide

U

^de

V

^{telque lasérie}

ζ

U,H

(s) = X

x∈U(K)

H(x)

^{−s (1.6)}

onvergeabsolumentpour

ℜ (s) > 1

^{et, pourun ertain}

ε > 0

^{,seprolongeen}

une fontion méromorphesur l'ouvert

{ℜ (s) > 1 − ε }

^{, quia un ple d'ordre}

t

^en

s = 1

^?

Naturellement,eten aordave lesremarques déjàfaites,mêmesiette

questionadmetuneréponsepositive,onnepourrapas appliquerlethéorème

1.2. En aratéristique non nulle, la fontion zêta des hauteurs a d'autres

ples que

1

^{sur la droite}

ℜ (s) = 1

^{, ne serait-e que eux provenant de la}

périodiité de

H

^.

Dansleasdesorpsde nombres,Peyreaétélepremierdans[Pe1 ℄àpro-

poser(moyennantquelqueshypothèsessupplémentairessur lavariété

V

^)une

expression onjeurale de la onstante

C

apparaissant dansla formule(1.2).

Cette expression onjeturale dépend d'invariants géométriques et arithmé-

tiques de la variété

V

^{, ainsi que du hoix de la hauteur. Elle a ensuite été}

ranée par Batyrev et Tshinkel, et adaptée au as fontionnel par Peyre

dans [Pe3 ℄. Nous rappelons la dénition de la onstante de Peyre ranée à

la setion2.3. Nousla noterons

C

_V,H^{∗ .}

On a ainsi des versions ranées des questions 1.1et 1.3.

Question 1.4

Soit

V

^{une variété projetive et lisse dénie sur un orps de nombres}

K

^.

On suppose que lalasse du faiseau antianonique est à l'intérieur du ne

eetif, et que l'ensemble

V (K )

^{des points rationnels de}

V

^{est dense pour}

la topologie de Zariski. Soit

t

^{le rang du groupe de} Néron-Séveri de

V

^{. Soit}

H

^{une hauteur relativeau faiseau} antianonique. On suppose en outre que

V

^{vérie les hypothèses néessaires pour que la onstante de Peyre ranée}

C

_V,H^{∗ soitdénie.}

Existe-t-ilun ouvert de Zariskinon vide

U

^de

V

^{telqu'on ait}

n

_U,H

(B ) ∼

B→+∞

C

_V,H^∗

B log(B)

^t−1

?

^(1.7)

sait montrer que laréponse àla question 1.1 est positive,on sait également

montrer que laréponse à laquestion 1.4 est positive.

Question 1.6

Soit

V

^{une variété projetive et lisse dénie sur un orps global}

K

^{de ar-}

atéristique positive.On suppose quelalasse du faiseau antianoniqueest

à l'intérieur du ne eetif, et que l'ensemble

V (K)

^{des points rationnels}

de

V

^{est dense pour la topologie de Zariski. Soit}

t

^{le rang du groupe de}

Néron-Séveri de

V

^{. Soit}

H

^{une hauteur relative au faiseau} antianonique, On suppose en outre que

V

^{vérie les hypothèses néessaires pour que la}

onstante de Peyreranée

C

_V,H^{∗ soitdénie.}

Existe-t-ilun ouvert de Zariskinon vide

U

^de

V

^{telque lasérie}

ζ

U,H

(s) = X

x∈U(K)

H(x)

^{−s (1.8)}

onvergeabsolumentpour

ℜ (s) > 1

^{et, pourun ertain}

ε > 0

^{,seprolongeen}

une fontion méromorphesur l'ouvert

{ℜ (s) > 1 − ε }

^{, quia un ple d'ordre}

t

^en

s = 1

^{,et vériant}

s→1

lim (s − 1)

^t

ζ

U,H

(s) = (t − 1)! C

_V,H^∗

?

^(1.9)

Conernantlaquestion1.6,leasdesespaesprojetifsesttraitéparWan

dans [Wa℄, montrant ainsi une formule gurant déjà dans [Se2 ℄. Le as des

variétésde drapeaux, quienglobelepréédent,aété traité indépendamment

par Peyre dans [Pe3 ℄, et Lai et Yeung dans [LaYe℄ (sans interprétation de

la onstante dans e dernier as, 'est-à-dire que seule la question 1.3 est

onsidérée).

Dans e texte, on étudie la question 1.6 pour une variété torique pro-

jetive et lisse dénie sur un orps global de aratéristique positive, non

néessairement déployée.

Une de motivations de e travail est que le problème analogue sur les

orps denombres adéjàététraitéave suès 1

, quiplusest de deux manière

diérentes : Batyrev etTshinkel ont démontré dans [BaTs1℄et [BaTs2 ℄que

la réponse à la question 1.4 était positive pour les variétés toriques, en ex-

ploitantlastruture de groupedutore pour utiliserdestehniquesd'analyse

harmonique.ParlasuiteSalbergeraredémontrédans[Sa℄lerésultatdansun

adre plus restreint (variétés toriques déployées, dénies sur Q, de faiseau

antianonique globalement engendré) mais par une méthode omplètement

1

C'étaitégalementleaspourlesvariétésdedrapeaux.