Traitement des interactions électrostatiques dans les systèmes moléculaires - Etude par simulation numérique de protéines fluorescentes

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systèmes moléculaires - Etude par simulation numérique

de protéines fluorescentes

Mickaël Lelimousin

To cite this version:

Mickaël Lelimousin. Traitement des interactions électrostatiques dans les systèmes moléculaires -Etude par simulation numérique de protéines fluorescentes. Biophysique [physics.bio-ph]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2009. Français. �tel-00446463�

pr´esent´ee par

LELIMOUSIN Micka¨

el

POUR OBTENIR LE TITRE DE DOCTEUR

DE L’UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER – GRENOBLE I

(Arrˆet´es minist´eriels du 5 Juillet 1984 et du 30 Mars 1992)

Sp´ecialit´e : Chimie physique mol´eculaire et structurale

Traitement des interactions ´

electrostatiques

dans les syst`

emes mol´

eculaires

-Etude par simulation num´

erique de prot´

eines fluorescentes.

soutenue le 25 mai 2009 devant le jury compos´e de :

S. P´EREZ, Pr´esident

I. DEMACHY, Rapporteur

X. ASSFELD, Rapporteur

D. PERAHIA, Examinateur

D. BOURGEOIS, Examinateur

M. J. FIELD, Directeur de th`ese

Th`ese pr´epar´ee au Laboratoire de Dynamique Mol´eculaire,

participées à m’orienter vers ce doctorat. Je pense notamment à certains professeurs d’Université ou certains amis comme Julian, qui m’ont transmis leur passion de la science. Par ailleurs, cette thèse n’aurait jamais pu voir le jour sans les financements du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche et du centre national de la recherche scientifique. Je remercie Martin Field de m’avoir accepté dans son laboratoire dès le Master 2, et de m’avoir permis de bénéficier de son excellence scientifique tout en m’accordant une grande confiance dans la réalisation de mes travaux.

Je remercie également Dominique Bourgeois d’avoir mis en œuvre avec talent le projet d’étude des protéines fluorescentes. Ce fût un grand plaisir de travailler avec lui et une chance rare d’apprendre tellement auprès de lui-même et des membres de son équipe.

Je remercie Serge Pérez d’avoir toujours été présent pour m’aider depuis le Master 2 et d’avoir accepté d’être président de mon jury de thèse.

Je remercie Isabelle Demachy et Xavier Assfeld pour leur investissement en tant que rapporteurs de mes travaux de thèse. Les discussions que nous avons pu avoir lors de congrès ou lors de la soutenance m’ont beaucoup apporté.

Je remercie David Perahia d’avoir eu la gentillesse d’accepter d’être examinateur de mes travaux de thèse. J’ai beaucoup apprécié l’intérêt qu’il a porté à mon travail et la discussion qui en a résulté le jour de la soutenance.

Je remercie tous les membres passés et présents du Laboratoire de Dynamique Moléculaire. Cette thèse a été avant tout une aventure humaine qui m’a permis de rencontrer des personnes fantastiques. Je remercie les personnes venues des quatre coins de la planète qui m’ont enrichi de leur culture, de leur personnalité, de leurs connaissances et de leur chaleur humaine : merci Smriti, Ignacio, Margherita, Ilaria, Feng, Brian, Laurence, Pasha.

Un merci spécial aux deux personnes qui m’ont courageusement supporté dans ce bureau au cours de ces années. Merci Martin et Grazie Loredana pour l’amitié que nous avons partagée et que nous partagerons encore longtemps, j’en suis sûre.

Je remercie Patricia Amara pour sa profonde générosité, et pour tout ce qu’elle pu m’apporter humainement et professionnellement. Merci de m’avoir permis de réussir mon Master 2 et décrocher cette bourse de thèse, de m’avoir toujours offert de bonnes conditions de travail au laboratoire, de m’avoir formé à tant de choses, de m’avoir soutenu dans les moments difficiles, d’avoir toujours été si irremplaçable … j’espère sincèrement pouvoir un jour retravailler dans le même couloir que le sien.

Je remercie Aline Thomas pour sa grande gentillesse et le soleil qu’elle a toujours apporté au laboratoire. Je la remercie pour tous ses conseils avisés et le recul scientifique dont elle m’a souvent fait bénéficier. Et je m’excuse auprès de Vincent et Cyril de ne pas avoir eu plus de temps pour venir jouer au foot à Meylan !

Merci à toutes les personnes que j’ai côtoyées avec plaisir à l’institut ; je pense à de nombreuses personnes, dont l’incontournable, le légendaire, le magnifique Georgio Bello Come Stai !

Je remercie chaleureusement l’ex quasi-docteur mais désormais officiel Dr Virgile Adam avec lequel j’ai vécu une aventure peu commune lors de cette thèse en tandem. Ce fut un plaisir et une grande chance de travailler de cette manière lors de ces trois ans et demi de thèse. J’y ai gagné un ami cher et j’ai énormément appris à ses côtés. Je lui souhaite le meilleur pour son post-doctorat et pour tout le reste.

Je remercie Antoine Royant pour cette collaboration très dynamique ! Je le remercie pour tout ce qu’il a fait pour moi et tout ce qu’il m’a apporté lors de la fin de cette thèse. Un grand merci coach !

Pour terminer, je remercie mes proches d’avoir toujours accepté mes choix et de m’avoir soutenu pendant le doctorat. Je remercie tout particulièrement mes parents qui ont toujours été là pour m’aider de toutes les manières que ce soit, et cela de façon exemplaire. Je m’excuse auprès de mes proches d’avoir eu peu de temps à leur consacrer en cette fin de thèse, mais c’était pour une bonne cause …

Introdu tion générale 3

Partie A - Traitement des intera tions éle trostatiques dans

les systèmes molé ulaires 4

Introdu tion 7 1 La mé anique quantique 9 1.1 Les fondements . . . 9 1.1.1 La dualité onde-parti ule . . . 9 1.1.2 L'in ertitude d'Heisenberg . . . 10 1.1.3 Les postulats . . . 11 1.2 La himie quantique . . . 13

1.2.1 Les états stationnaires . . . 13

1.2.2 Le prin ipe variationnel . . . 14

1.2.3 L'hamiltonien molé ulaire . . . 14

1.2.4 L'approximation de Born-Oppenheimer . . . 15

1.2.5 La théorie des orbitalesmolé ulaires . . . 16

1.2.6 Le prin ipe d'ex lusion de Pauli . . . 18

1.3 La théorieHartree-Fo k . . . 19

1.3.1 L'approximationorbitale . . . 19

1.3.2 L'équation de Hartree-Fo k . . . 20

1.3.3 Les équationsde Roothaan-Hall . . . 21

1.3.4 Les matri es ara téristiques . . . 22

1.3.5 La transformation symétrique . . . 23

1.3.6 La pro édure SCF . . . 24

1.4.1 Lethéorème de Kohn-Hohenberg . . . 27

1.4.2 L'équationde Kohn-Sham . . . 27

1.4.3 Lesfon tionnelles d'é hange- orrélation . . . 28

1.5 L'appro he semi-empirique . . . 30

1.5.1 Lesprin ipes . . . 30

1.5.2 Lamatri e densité . . . 31

1.5.3 Lesméthodes . . . 31

2 Les harges partielles 33 2.1 Les méthodes de al ul existantes . . . 33

2.1.1 Lesanalyses de population . . . 33

2.1.2 Lesfragmentationsde l'espa e . . . 35

2.1.3 Lareprodu tiondes observables . . . 37

2.1.4 Lesméthodes paramétrées . . . 39

2.2 Les méthodes de partition . . . 40

2.2.1 L'utilisationdes primitives . . . 41

2.2.2 Laquadrature numérique . . . 43

2.2.3 Less hémas de partition . . . 43

2.2.4 L'appli ationaux méthodes ab initio et DFT . . . 47

2.2.5 L'appli ationaux méthodes semi-empiriques . . . 49

2.3 Résultats etdis ussion . . . 50

2.3.1 Cal ulde harges ab initio . . . 50

2.3.2 Cal ulde diples ab initio . . . 53

2.3.3 Cal ulde diples DFT . . . 54

2.3.4 Cal ulde diples semi-empiriques . . . 54

2.3.5 Con lusiondes résultats . . . 57

3 Les intera tions éle trostatiques 59 3.1 La modélisationmolé ulaire . . . 59

3.1.1 Lesystème molé ulaire . . . 59

3.1.2 Lamé anique molé ulaire . . . 61

3.2.3 Le traitementproposé . . . 68

3.2.4 La matri ede Fo k . . . 69

3.2.5 Le gradient de l'énergie. . . 71

3.3 Résultats etdis ussion . . . 73

3.3.1 Cal ul d'énergies de formation de dimères . . . 73

Con lusion et perspe tives 76

Partie B - Etude parsimulation numérique de protéines

uo-res entes 78

Introdu tion 81

4 La dynamique stru turale des protéines ECFP et Cerulean 83

5 Le mé anisme de photo onversion d'EosFP 127

6 Stabilité thermodynamique des diérents états d'IrisFP 175

Con lusion et perspe tives 194

Con lusion générale 199

Annexes 199

A Informations supplémentaires sur les tests des méthodes de

parti-tion 201

B Base stru turale du photoblan himent d'une protéine uores ente

verte phota tivable 217

tion. Elles nous permettent désormais d'explorer la stru ture tridimensionnelle des protéines,àl'aide prin ipalementdes te hniques de ristallographieauxrayons X ou de résonan e magnétique nu léaire. Cette onnaissan e permet alors d'appréhender lafon tionbiologiquede laprotéine àun niveau atomique.Toutefois, lastru turede es ma romolé ules est en perpétuelleévolution dans leur onditions physiologiques. Cettedynamiquestru turaleest généralementdéterminantepourl'a tivitédela pro-téine.Or leste hniques expérimentales ne permettentpas toujours de renseigner les pro essus dynamiques. En ela, la modélisation molé ulaire est un omplément né- essaireaux appro hes expérimentales. Ainsi,la simulationdes systèmes biologiques permetd'a quérirdesinformationssurdespro essussedéroulantàdiérentesé helles de temps.

La modélisation molé ulaire repose dire tement sur les prin ipes de la physique etde la himie.Cependant,leséquations de lathéoriene peuvent êtrerésolues exa -tementet des approximations doivent être utiliséesdans lades ription d'un système molé ulaire. Il est don préférable d'avoir en référen e des données expérimentales qui permettent de valider les résultats de modélisation. De façon générale, les ap-proximations du modèle doivent être le plus satisfaisantes possible au regard des ara téristiquesdu système molé ulaire (taille, type des atomes,. . .) et des proprié-tés que l'on souhaite al uler. En ontrepartie, l'utilisation d'un modèle trop pré is peutengendrer destempsde al ulin on evables defaçon ourante. Par onséquent, le hoix du modèle re quiert un ompromis entre pré ision et e a ité. Des eorts importantssont onsa résaudéveloppementdeste hniquesdesimulationan d'amé-liorer onjointement es deux fa teurs. Unélement déterminantest le traitement des intera tions éle trostatiques prépondérantes dans les systèmes molé ulaires. Le tra-vailprésentéenpremière partiede ettethèse propose unenouvelleappro he pourle al ulde es intera tions.

De grands progrès ont également été a omplis es dernières années en biolo-gie ellulaire. Les te hniques d'imagerie dans e domaine ont été révolutionnées par l'utilisation des protéines uores entes. Elles ont permis d'améliorer onsidérable-ment notre ompréhension des pro essus ellulaires. Le dernierprix Nobel de himie

et la mise au point de son utilisation omme marqueur. Ces te hniques d'imagerie sonten pleinessordepuisquinzeans etleurpotentieln'ajamaisétéaussiprometteur qu'aujourd'hui. Leur développement va de paire ave la modi ation des protéines uores entes pour améliorer leurs propriétés. L'ingénierie de es marqueurs biolo-giques né essite une onnaissan e ne de leur propriétés physiques et himiques. En ollaborationétroiteave l'équipede ristallographie inétiquedenotreinstitut,nous avons étudié plusieurs protéines uores entes d'intérêt majeur. Ce travail ee tué à l'aide de te hniques de simulation numérique est présenté dans la se onde partie de ette thèse.

intera tions éle trostatiques dans les

Unsystèmemolé ulaireestgénéralement onstitué d'unensembledemolé uleset d'ions qui interagissent mutuellement. Parmi es intera tions, elles de type éle tro-statiquesontlesplus fortes.Par onséquent,ilest fondamentaldeles onsidérerave beau oup de pré autions.Un as de gureimportanten biologieest l'intera tion des résidus d'une protéine entre eux ou ave des molé ules de solvant. Les intera tions éle trostatiquesinuen ent ainsi la stru ture globale de la protéine etl'évolutionde elle- iau ours du temps. Ces intera tions sont d'ailleurs souvent ritiques pour la fon tionde laprotéine ( f. appli ationsdes hap.5 et 6).En parti ulier, ilest onnu quelesintera tionséle trostatiquesjouent un rledéterminantdans lepouvoir ata-lytiquedes enzymes[1,2℄.De plus,ellessubsistentàlonguedistan e ontrairementà d'autres typesd'intera tions plus faibles. Toutefois, es dernières peuvent également inuen erdrastiquement lespropriétés d'une protéine ( f. hap.4).

Au Laboratoire de Dynamique Molé ulaire, nous nous intéressons parti ulière-mentàlamodélisationdes réa tions himiquesdanslesprotéines.Pour efaire,ilest indispensablede traiter onvenablement lesintera tions éle trostatiquesentre le site a tifd'une protéine et son environnement. Le premier obje tif de ette thèse est de proposer un modèle ohérent de e type d'intera tions. L'appro he proposée se veut généralisableà diérentes méthodes de al ul.Un tel traitement n'existe pas a tuel-lementet ilpermettrait de répondre à ertains problèmesspé iques de e domaine. Leprojetambitionneàtermed'augmenter lapré isionetl'e a itédesméthodesde simulationnumérique pour l'étude de la réa tivitédes systèmesbiologiques.

Nous présentons e travail en trois hapitres progressifs partant des on epts de basepour aboutir auxrésultatsprin ipaux. Danslepremier hapitre, nousabordons lesprin ipesthéoriques essentielsàla ompréhensionde notretravail.Lese ond ha-pitreprésente l'ensembledes méthodes que nous avons développées pour le al ulde

harges partielles atomiques.Finalement, notre nouveau traitement des intera tions éle trostatiquesdans lessystèmes molé ulairesest exposé dansle troisième hapitre.

La mé anique quantique

L'essentieldesloisphysiquesné essairesàla ompréhensiondes systèmes molé u-lairesest issuede lamé anique quantique. Unbrefretourthéorique estproposé dans e hapitre, allant des fondements de ette physique vers les méthodes a tuelles de al ulen himie quantique. Plus spé iquement,nous abordons les on epts de base des méthodes exposées dans les hapitres suivants.

1.1 Les fondements

La physique quantique a vu le jour au début du XXe siè le pour expliquer des expérien es dont lesrésultats étaient inexpli ablespar laphysique lassique.

1.1.1 La dualité onde-parti ule

Laphysique lassique(dites"newtonienne")permetdedé rirel'évolutionspatiale ettemporelle de deux atégories d'objets qui transportentde l'énergie:

Les ondes.Ellesne sontpas lo aliséesdansl'espa emais sont ara tériséespar leur longueur d'onde. Ellestransportent de l'énergie de façondélo alisée.

Les parti ules. Elles sont lo alisées dans l'espa e. La onnaissan e instantanée de leur positionet de leur vitesse permet de al uler leur énergieet leur impulsion.

En 1900, Max Plan k réussit à expliquer le spe tre du orps noir en exprimant lesénergies absorbées et émises sous forme de quanta proportionnels à la fréquen e des ondeséle tromagnétiques [3℄.Cinq ans plus tard,Albert Einstein omprend l'ef-fetphotoéle triqueen armantque l'énergiedu rayonnement éle tromagnétiqueest elle-même quantiée [4℄. Les ondes éle tromagnétiques révèlent alors un omporte-ment de fais eau de parti ules appelées photons.

En1924,Louisde Brogliegénéraliseladualitéobservée pourlesphotons,en asso- iantàtouteparti uleun ara tèreondulatoire[5℄.Son hypothèseest onrméetrois ans plus tard par des expérien es de dira tion d'éle trons [6℄. Cette généralisation mèneàunerelationoùl'impulsionde touteparti uleest inversementproportionnelle àsa longueur d'ondeasso iée. Ainsi,la masse importante d'un objet ma ros opique induit une longueur d'onde trop ourte pour permettre l'observation du ara tère ondulatoire.

Louis de Broglie asso iait une onde réelle à toute parti ule, or les objets quan-tiques ne sont ni l'un nil'autre. Ils se omportent simplementsoit omme des ondes (interféren es,dira tion),soit ommedes parti ules(eet photoéle trique,diusion Compton)

1

.Des travauxthéoriques omplémentaires vontalors permettre dedénir plus pré isément la naturedes objets quantiques.

1.1.2 L'in ertitude d'Heisenberg

Pour lo aliser un objet quantique ave pré ision, un photon doit intéragir ave lui. Durant l'intera tion, une partie de l'impulsion du photon est transférée à la parti ule.Il est don impossiblede mesurer ave pré isionsimultanémentlaposition etl'impulsion d'un objet quantique

2

. Werner Heisenberg adéterminé ette relation d'in ertitude[7℄ ommeétant :

∆r ∆p ≥ ~/2 (1.1)

où ∆r et ∆p sont les in ertitudes respe tives sur la position et l'impulsion, et ~ la onstantede Plan k divisée par 2π.

Demême,ilexiste unerelationd'in ertitudeentre d'autres ouplesd'observables, omme elui du tempset de l'énergie:

∆E ∆t ≥ ~/2 (1.2)

1

Uneanalogiesimpleàladualitéonde- orpus uleestlaproje tiond'un ylindresurdeuxmurs perpendi ulairesquel'onobservesoit ommeunre tanglesoit ommeun er le,bienquel'objetne soitnil'unni l'autre.

2

où∆E et∆tsontlesin ertitudesrespe tivessurl'énergieetletemps.Ainsi,ladurée de vie d'un état ex ité détermine la largeur naturelle de la bande spe tros opique asso iée.

1.1.3 Les postulats

Entre 1920et1930, plusieurss ientiqueséminentsontdénipré isément leslois de ettephysique.TandisqueWernerHeisenbergdéveloppaitlamé aniquequantique sous une forme matri ielle, Erwin S hrödinger l'établissait omme une mé anique ondulatoire[8℄. Lesmembresdel'E olede Copenhaguesoutenaientquelamé anique quantique pouvaitêtre dénie par un ensemblede postulats.

Postulat 1 L'état d'un système physique est omplètement déni à tout instant t par la onnaissan e de son ve teur d'état |ψ(t)i.

La fon tion d'onde du système ψ({~ra}, t) est la représentation du ve teur d'état dans l'espa edes oordonnées, tel que:

ψ({~ra}, t) = h~r1, ~r2, · · · , ~rn|ψ(t)i (1.3)

où{~ra} est l'ensembledes oordonnées des parti ules 1, 2, · · · , ndu système.

Le arré du module de la fon tion d'onde représente la densité de probabilité de trouver le système dans la onguration spatiale {~ra}. La fon tion d'onde doit être normée, ar laprobabilité de trouverlesystème danstout l'espa eest égale àun,tel que: 1 = hψ(t)|ψ(t)i = Z Z Z ψ∗(~r1, ~r2, · · · , ~rn, t) ψ(~r1, ~r2, · · · , ~rn, t) d~r1, d~r2, · · · , d~rn = Z Z Z |ψ(~r1, ~r2, · · · , ~rn, t)|2 d~r1, d~r2, · · · , d~rn (1.4)

Postulat 2 A haque observable de la mé anique lassique, il orrespond un opéra-teurlinéaire et hermitique en mé anique quantique.

Postulat 3 Danstoutemesured'uneobservableasso iéeàunopérateurAˆ,lesseules valeursqui seront toujours obtenues sont les valeurs propres ak qui satisfont :

ˆ

A |ψki = ak|ψki (1.5)

Lesve teurs propres |ψki de Aˆsont orthonormauxentre eux,telque :

hψl|ψki = δlk =

(

1 si l = k

0 si l 6= k

(1.6)

oùδlk est le deltade Krone ker.

Le ve teur d'état du système ontient toutes les informations,notamment elles on ernantl'observableAenétantune ombinaisonlinéairedesesétats(ouve teurs) propres: |ψ(t)i = K X k=1 |ψki ck(t) (1.7)

oùK est le nombre d'états propresde A a essibles ausystème.

Lors d'une mesure de la propriété A, laprobabilité de trouver lavaleur ak est :

pk(t) = hψ(t)|ψki hψk|ψ(t)i

= c∗_k(t) ck(t)

= |ck(t)|2 (1.8)

Sideuxopérateurs ommutent,ilestpossibledeleur trouverunebasede ve teurs propres ommuns et par onséquent de mesurer simultanément ave pré ision les 2 observables asso iées. Dans le as ontraire, ilexiste une relationd'in ertitude entre lesdeux propriétés physiques( f Ÿ 1.1.2).

Postulat 4 La valeur moyenne de toute grandeur observable orrespondant à l'opé-rateur Aˆ est donnée par :

hAi = hψ(t)| ˆA|ψ(t)i (1.9)

Postulat 5 Le ve teur d'état d'un système évolue dans le temps suivant l'équation de S hrödinger dépendantedu temps :

i~ ∂

∂t|ψ(t)i = ˆH (t)|ψ(t)i (1.10)

où

ˆ

1.2 La himie quantique

La himie quantique est ledomainede lamé anique quantique onsa ré àl'étude des systèmes molé ulaires.

1.2.1 Les états stationnaires

En himiequantique,leséle trons etlesnoyauxsont onsidérés ommeparti ules élémentaires ar ils se onservent lors des réa tions

3

. Un éle tron gravitant autour d'unnoyauest assimilableàun ourantéle trique. Par onséquent,l'éle tron devrait rayonner de l'énergie et alors se rappro her du noyau pour nalement tomber sur lui. En 1913, Niels Bohr postula que les éle trons ne se dépla ent autour du noyau quesurdes orbitesdéterminéeseténergétiquementstables, orrespondantàdes états stationnaires[9℄. Iln'yaémissiondelumièrequelorsquel'éle tronpassed'uneorbite àune autre.

Dans le référentiel propre à lamolé ule, on peut alors onsidérer que les harges sontaureposetquelesintera tionsentre elles- isontde typeéle trostatiqueetnon pas éle tromagnétique. Ainsi, l'hamiltonien d'un système molé ulaire au repos est indépendantdu temps, e quiesten a ordave leprin ipede onservationd'énergie pour un système isolé. En onséquen e, les variables de temps et d'espa e peuvent être séparées dans la fon tiond'onde du système :

ψ({~ra}, { ~RA}, t) = Φ({~ra}, { ~RA}) e−iE t/~ (1.11)

Même dans les as où l'hamiltonien évolue dans le temps, omme lors d'une ex-périen ede spe tros opie, seulsles étatsstationnairesΦn({~ra}, { ~RA})seront généra-lement re her hés. Ils sont les états propres de l'hamiltonien du système au reposet ainsi solutionsde l'équation de S hrödinger indépendante du temps :

ˆ

H _{Φ({~ra}, { ~RA}) = E Φ({~ra}, { ~RA})} (1.12)

1.2.2 Le prin ipe variationnel

Toutétatappro héΦ˜ d'unsystèmepossèdeuneénergiesupérieureouégaleà elle de l'état fondamentalexa t, telque :

h˜Φ| ˆH_|˜Φi | {z } E ≥ hΦ0| ˆH|Φ0i | {z } E0 (1.13)

Uneextensionde eprin ipeest laméthode des variationslinéaires,danslaquelle la fon tion d'essai Φ(~r)˜ représentant l'état du système est une ombinaison linéaire de plusieursfon tions : ˜ Φ(~r) = L X i=1 fi(~r) ci (1.14)

La fon tion d'essai optimale est obtenue en minimisant l'énergie par rapport aux oe ients{ci}.Cesdérivationsmènentàunsystèmed'équationslinéairesquis'é rit sous laforme d'un déterminant sé ulaire:

|H − E S| = 0 (1.15)

oùH et E sont lesmatri es respe tives de l'hamiltonienet de l'énergie du système.

S est la matri e de re ouvrement dont un élement Sij représente le volume partagé par 2 fon tionsfi(~r) etfj(~r)dans tout l'espa e, telque :

Sij =

Z Z Z

f_i∗(~r) fj(~r) d~r (1.16)

Larésolutiondudéterminantsé ulaire(1.15)fournitLsolutionsΦ˜n(~r)qui onstituent une représentation appro hée des états de plus basse énergie.Si un nombre inni de fon tions était utilisé, alors les solutions représenteraient exa tement tous les états stationnairesdu système.

1.2.3 L'hamiltonien molé ulaire

Enunitésatomiques,l'hamiltoniennon-relativisted'un systèmedeN éle trons et

M noyaux est : ˆ H _{= −} M X A=1 1 2MA∇ 2 A− N X a=1 1 2∇ 2 a− M X A=1 N X a=1 ZA | ~RA− ~ra| + N X a=1 N X b>a 1 |~ra− ~rb| + M X A=1 M X B>A ZAZB | ~RA− ~RB| (1.17)

où R~A, MA et ZA sont la position, la masse et le numéro atomique respe tifs du noyau A;~ra est la positionde l'éle tron a.

Lesdeuxpremierstermessontlesopérateursd'énergie inétiquedesnoyauxetdes éle trons,dénispar lelapla ien∇

2

.Lestroisderniers termesdénissentl'ensemble des intera tions éle trostatiques entre parti ules par la loi de Coulomb. La présen e des distan es inter-parti ules, dans es derniers, rend impossible la séparation des variables et ainsi la résolution exa te de l'équation de S hrödinger indépendante du temps(1.12) pour un système molé ulaire.Des approximations doiventêtre utilisées pour trouverles solutionsappro hées de l'équation.

1.2.4 L'approximation de Born-Oppenheimer

Parladiéren ede leur masse respe tive, lesé hellesde temps desnoyauxet des éle trons peuvent être séparées dans lafon tion d'onde telque :

Φ({~ra}, { ~RA}) = Φel({~ra}; { ~RA}) Φnuc({ ~RA}) (1.18)

oùles oordonnéesnu léaire{ ~RA}deviennentdesparamètrespourlafon tiond'onde éle troniqueΦ

el_({~r

a}; { ~RA}).

A l'é helle de temps laplus rapide,les éle trons sedépla ent dans le hamps des noyaux xes etl'hamiltonienmolé ulaire (1.17) devient :

ˆ H _{= −} N X a=1 1 2∇ 2 a− M X A=1 N X a=1 ZA | ~RA− ~ra| + N X a=1 N X b>a 1 |~ra− ~rb| | {z } ˆ Hel + M X A=1 M X B>A ZAZB | ~RA− ~RB| (1.19) Letermed'intéra tion entre noyaux étant onstant,le problème (1.12)se réduitàla résolution de lastru ture éle tronique :

ˆ

H el_Φel_{({~ra}; { ~RA}) = E}el_{({ ~RA}) Φ}el_{({~ra}; { ~RA})} (1.20)

oùl'énergieéle tronique E el_{({ ~R}

des éle trons et l'hamiltonienmolé ulaire (1.17)devient : ˆ H _{= −} M X A=1 1 2MA∇ 2 A + * − N X a=1 1 2∇ 2 a− M X A=1 N X a=1 ZA | ~RA− ~ra| + N X a=1 N X b>a 1 |~ra− ~rb| | {z } ˆ Hel + + M X A=1 M X B>A ZAZB | ~RA− ~RB| = − M X A=1 1 2MA∇ 2 A + Eel({ ~RA}) + M X A=1 M X B>A ZAZB | ~RA− ~RB| | {z } Epot_{({ ~R} A}) (1.21) oùE pot_{({ ~R}

A}) onstitue l'énergiepotentielle du système.

Dansl'approximationde Born-Oppenheimer [10℄,lesnoyaux sedépla ent sur des surfa esd'énergiepotentielle orrespondantauxétatséle troniquesΦ

el

n delamolé ule. Cetteapproximation"adiabatique"esten généralparfaitementvalide.Toutefois,elle peut devenir dis utable dans ertains as, notamment en photo himie. Avant toute explorationdessurfa esd'énergiepotentielle,ilest né essairederésoudreleproblème (1.20)de lastru ture éle tronique

4 .

1.2.5 La théorie des orbitales molé ulaires

L'équation de S hrödinger (1.20) ne peut être résolue analytiquement que pour l'atome d'hydrogène et les ions hydrogénoides. Les solutions de l'équation orres-pondent alorsàdes orbitalesatomiquesque l'éle tronpeuto uper. Pourles atomes à plusieurs éle trons, seule une forme appro hée des orbitales peut être déterminée. Letermede répulsionentre leséle trons dansl'hamiltonien(1.19)rend impossiblela résolution exa te de l'équation de S hrödinger. En himie génerale, une forme simi-laire auxorbitales des ions hydrogénoides est ommunémentutilisée pour dé rire les orbitales des atomes polyéle troniques. Leur numéro atomique doit ependant être onsidéré an de ara tériser onvenablement latailleet l'énergiedes orbitales.

Pour une molé ule, la théorie des orbitales molé ulaires énon e que les orbitales spatialessontune ombinaisonlinéaire d'orbitalesatomiques [11℄. Cettethéorie per-mit de omprendre la nature des liaisons himiques ainsi que de nombreux

phéno-4

And'allégerlesnotations,l'indi e"el"etlesparamètres{ ~

mènesexpérimentaux(diamagnétismedu dioxygène, ondu tivité du graphite, . . .).

Pour déterminer les orbitales d'une molé ule, il est peu ommode d'utiliser les orbitales issues des ions hydrogenoides qui sont le produit d'une harmonique sphé-rique et d'une fon tion radiale. John Slater proposa de rempla er le polynme de la omposante radiale par une fon tion exponentielle plus simple à manipuler [12℄. Bienqu'ellesdé rivent onvenablementlesorbitalesatomiques,lesfon tionsdeSlater onduisentàdesintégralesdi ilesà al uler;ainsi, desgaussiennes(Gaussian Type Orbital) appelées "primitives" leur sont géneralement préférées:

ηGT O_{(α, ~r − ~}RA) = N (x − xA)k(y − yA)l(z − zA)m e−α(~r− ~RA)

2

(1.22) oùR~A est la position du noyau atomique A de oordonnées artésiennes (xA,yA,zA) etN lefa teurde normalisationde laprimitive.L'exposant αdénitlalargeur dela fon tion gaussienne an de ara tériser une ou he éle tronique (nombre quantique prin ipal).Lasymétriedesdiérentstypesd'orbitalesatomiques(s,p,. . .)est respe -tée par lesfa teurs k,l et m dont lasomme est égale aunombre quantiqueazimutal (0,1,. . .).

Une ombinaison linéaire de primitives (Contra ted Gaussian Fun tions) est e-pendant né essaire pour retrouverune formejustedes orbitalesde haque atome :

η_µCGF_{(~r − ~}RA) = K

X

g=1

ηGT O_{g (α, ~r − ~}RA) Dgµ (1.23)

où Dgµ sont les oe ients de ontra tion, dont les valeurs optimales sont tabulées tout omme elles des exposants α; K est le nombre de primitives utilisées pour onstituer les fon tions gaussiennes ontra tées, lesquelles orrespondent aux fon -tions de base disponiblespour représenter une orbitale atomique.

Diérents types de base de fon tions sont utilisées en himie quantique et une nomen laturespé ique leur est asso iée.Lesbases minimalesdé rivent une orbitale atomiqueàl'aided'uneseule fon tionde base.Parexemple,lafon tionuniqued'une orbitaleatomiqueutiliséepar lesbases STO-3Gest une ombinaisonde 3 primitives qui permet de retrouver la forme appro hée d'une orbitale de Slater (Slater Type Orbital).Lesbasesétenduesutilisentplusieursfon tionsde base pourdé rireune

or-sus eptiblesd'évoluerau ours dutemps :lesorbitalesde ÷ursontreprésentées par une fon tion de base omposée de 6 primitives, tandis que les orbitales de valen e sont somme de deux fon tions de base omposées l'une de 3 primitives et l'autre d'uneseule.Pourlesorbitalesdevalen e,lepoidsde ha une des 2fon tionsde base est optimisé lors du al ul variationnel. Cette exibilité permet de mieux ajuster l'extensionspatialed'uneorbitaledonnée dansson environnementmolé ulaire.Dans une base 6-31+G*,des fon tions de base supplémentairesdites de diusion (+) per-mettentde représenter ladensitééle troniqueloindes noyaux.Ladéformationd'une orbitaleatomiquepar l'appro he d'un autreatomeest prise en onsidérationpar des orbitales de polarisation (*). D'autres bases étendues ommunément utilisées sont ellesde type -pVXZ ( orrelation- onsistent polarized valen e X zeta) quiutilisent X fon tionsde base pour dé rire une orbitale atomiquede valen e.

Au nal, une orbitale molé ulaire obtenue par le al ul est une ombinaison li-néairede fon tionsde base telque :

φi(~r) = L

X

µ=1

ηµ(~r) Cµi (1.24)

Plus le jeu de fon tions de base est étendu, plus la fon tion d'essai possède de para-mètresvariationnelsCµi etmieux l'orbitalemolé ulaire est déterminée.

1.2.6 Le prin ipe d'ex lusion de Pauli

Commetouteparti ulequantique, l'éle tron possèdeune propriété intrinsèquede spin asso iée à son moment angulaire. Cette propriété a été dé ouverte experimen-talement an d'expliquer l'eet Zeeman[13℄ et le dédoublement de la raie jaune du spe tre d'émission du sodium [14℄.

Un éle tron possède deux états propres de spin |αi et |βi pour lesquels la om-posante selon l'axe z du moment angulairede spin est égale respe tivement à +1/2 et -1/2. L'état éle tronique d'un système de spin total S est de multipli ité 2S+1 relativeaunombre d'étatspropresde la omposanteselon zdu momentangulairede spin. Par exemple,un état triplet (S=1) est onstitué de trois mi ro-états dégénérés de omposantes de spin +1, 0 et -1selon l'axez.

Toutefois, l'hamiltonien éle tronique non-relativiste de notre équation (1.20) dé-pend uniquement des oordonnées spatiales des éle trons et ne peut pas expliquer ertains phénomènes tels que eux ausés par le ouplage spin-orbite. Seuls des ha-miltoniensprenant en onsidération le spin peuvent être utilisés pour interpréter la stru turehypernedespe tres, ommelepermetnotamment eluidelathéorie quan-tiquerelativisteformuléeparPaulDira [15℄.Lafon tiond'ondeéle troniqueestpour sapart fon tiondes oordonnéesspatiales~rde l'éle tronetde sa oordonnée de spin

w,et devient ainsi Φ({~xa}) ave pour oordonnée éle tronique :

~x = (~r, w) (1.25)

Du fait de l'indis ernabilité des éle trons, la fon tion d'onde éle tronique doit êtreantisymétriquepar rapport àl'é hangedes oordonnées~x de 2éle trons,telque l'énon e leprin iped'ex lusion de Pauli:

Φ(~x1, · · · , ~xi, · · · , ~xj, · · · , ~xN) = − Φ(~x1, · · · , ~xj, · · · , ~xi, · · · , ~xN) (1.26)

Dans un système molé ulaire, haque éle tron o upe une spin-orbitale qui est le produit d'une orbitalespatiale etd'une fon tion de spin :

χ(~x) =      φ(~r)α(w) ou φ(~r)β(w) (1.27)

Leprin iped'ex lusiondePauliimposequeseuls2éle tronsdespinsopposéspeuvent o uper lamême orbitalespatiale [16℄.

1.3 La théorie Hartree-Fo k

La méthode Hartree-Fo k est un moyen d'obtenir des solutions appro hées de l'équationde S hrödinger pour des systèmes àplusieurséle trons.

1.3.1 L'approximation orbitale

Les éle trons sont orrélés entre eux par le fait que la probabilité de trouver un éle tron dans une position donnée dépend dire tement de la position instantannée des autres éle trons du système. L'approximation orbitale onsiste à négliger ette orrélationéle troniqueen formulantlafon tiond'onde

5

d'un systèmeàN éle trons 5

Nous onservonslanotationΦetE pourlafon tiond'ondeéle troniqueexa teetnousadoptons lanotationΨet Epourlessolutionsappro héesdetypeHartree-Fo k.

ommele produit des spin-orbitaleso upées [17℄ :

ΨHP(~x1, ~x2, · · · , ~xN) = χa(~x1)χb(~x2) · · · χq(~xN) (1.28)

Toutefois,leproduitdeHartreeΨ HP

nerespe tepasleprin iped'antisymétrie[18℄ etil est né essaire d'é rire lafon tion d'onde sous formede déterminantde Slater :

Ψ(~x1, ~x2, · · · , ~xN) = (N!)−1/2          χa(~x1) χb(~x1) · · · χq(~x1) χa(~x2) χb(~x2) · · · χq(~x2) . . . . . . . . . . . . χa(~xN) χb(~xN) · · · χq(~xN)          (1.29) où(N!) −1/2

est lefa teur de normalisation du déterminant.

1.3.2 L'équation de Hartree-Fo k

Dans le adre de l'approximation orbitale, la fon tion d'essai antisymétrique la plus simple pour dé rire l'état fondamentaléle tronique d'un système à N éle trons est le déterminant de Slater (1.29) quel'on peut réé rire

6

omme :

|Ψ0i = |χaχb· · · χqi (1.30)

La exibilité du al ul variationnel réside dans le hoix des spin-orbitales. En mini-misant l'expression de l'énergie asso iée au déterminant par rapportau hoix de ses spin-orbitales, nous obtenons une équation aux valeurs propres appelée équation de Hartree-Fo k qui détermine lesspin-orbitales optimales:

−1₂∇21− M X A=1 ZA | ~RA− ~r1| + * _N X e6=1 1 |~r1− ~re| +! | {z } ˆ f1 χ(~x1) = E χ(~x1) (1.31)

oùfˆ1 estun opérateuree tifmono-éle troniqueappeléopérateurde Fo k. Lesdeux premierstermesde fˆ1 rassemblentlesopérateursmono-éle troniquesrelatifsà l'éner-gie inétique de l'éle tron et son attra tion ave les noyaux

7

. Letroisième terme a-ra térise lepotentiel moyen ressenti par l'éle tron 1 ausé par laprésen e de ha un desautres.De e fait,l'opérateurfˆ1 dépenddes spin-orbitalesdes éle tronsdiérents de1etpar onséquent de es fon tionspropres. Ainsi,l'équationde Hartree-Fo k est

6

Cettenotation onserveuniquementladiagonaledudéterminant ompletenrespe tantl'ordre des oordonnéesd'éle tronsde1àN.

7

non-linéaireetdoit être résolueitérativement.

L'astu e de l'approximation Hartree-Fo k (HF) est de rempla er le problème à plusieurs éle trons (1.20) par un problème à un seul éle tron (1.31) dans lequel la répulsionéle troniqueest traitéede façonmoyennée.Ledéterminantde Slater(1.30) est onstitué des spin-orbitales de plus basse énergie. La meilleure estimation de l'énergiedel'étatfondamentalquel'onpuisseobteniràpartirde ettefon tiond'onde est appeléela limiteHartree-Fo k.La diéren eentre ette valeur limiteetla valeur exa te orrespond à l'énergiede orrélation.

1.3.3 Les équations de Roothaan-Hall

Pourunsystèmemolé ulairedontl'étatfondamentalestunsingulet,ilestd'usage d'appliquer laméthode RHF(Restri ted Hartree-Fo k). Dans e traitement,les orbi-talesspatialesde plusbasse énergiesont ontraintes d'être doublement o upées par des éle trons de spins opposés. Ces orbitalesappelées ou hes fermées onstituentle déterminant de Slater de l'état fondamental. La méthode RHF permet de transfor-merl'équation générale de Hartree-Fo k (1.31)en une nouvelleéquationaux valeurs propres:

ˆ

f1 φi(~r1) = εi φi(~r1) (1.32)

oùfˆ1 est l'opérateurde Fo k et εi l'énergiede l'orbitalespatiale φi(~r1).

Pour un système molé ulaire de spin total non nul, ertaines orbitales spatiales appelées ou hes ouvertes ne ontiennent qu'un éle tron. Dans e as, il est né es-saired'utiliser laméthode UHF(Unrestri ted Hartree-Fo k)pour laquelle deux jeux d'orbitales spatiales diérents sont déterminés pour les spin-orbitales de type α et pour ellesde type β.Leséquationsdénissant lesdeux systèmes de spin demeurent similairesà elles du traitement RHF.

L'appli ationdelathéoriedesorbitalesmolé ulaires(1.24)àl'équationRHF(1.32) mèneaux équations de Roothaan-Hall[19,20℄ :

L X ν=1 Fµν Cνi = εi L X ν=1 Sµν Cνi i = 1, 2, · · · , L (1.33)

L'élémentFµν de la matri ede Fo k F est :

Fµν =

Z Z Z

φ∗_µ(~r1) ˆf1 φν(~r1) d~r1 (1.34)

L'élémentSµν de lamatri e de re ouvrement S est :

Sµν =

Z Z Z

φ∗_µ(~r1) φν(~r1) d~r1 (1.35)

Le système d'équations (1.33) peut être réé rit sous formematri ielle:

F C = S C ε (1.36)

oùC est la matri e arrée des oe ients linéairesCµi :

C =      C11 C12 · · · C1L C21 C22 · · · C2L . . . . . . . . . . . . CL1 CL2 · · · CLL      (1.37)

etε est lamatri e diagonaledes énergies εi :

ε =      ε1 0 ε2 . . . 0 εL      (1.38)

1.3.4 Les matri es ara téristiques

Lesdéveloppements pré édentsmènentà deux matri es ara téristiques: La matri e densité

La densité éle tronique est dénie omme le arré de la fon tion d'onde éle tro-nique( fŸ1.1.3:postulat1).SiLorbitalesHFsontdéterminéesàpartirdesfon tions de bases, alors nous pouvons é rire ladensité éle tronique omme:

ρ(~r) = L X i=1 ni φ∗i(~r) φi(~r) (1.39) = L X i=1 ni L X ν=1 η_ν∗(~r) C_νi∗ ! _L X µ=1 ηµCµi(~r) ! = L X µ=1 L X ν=1 L X i=1 niCµiCiν† | {z } Pµν η∗ ν(~r)ηµ(~r) (1.40)

oùni est lenombred'éle trons (0,1ou2)o upantl'orbitaleφi etPµν un élementde lamatri edensité P.

La matri e de Fo k

Ladensitééle troniquepouvantêtredéniesoitparlamatri eCoulamatri eP, il est fa ile d'exprimer les élements de la matri ede Fo k RHF en fon tion de ette densité: Fµν = (µ|ˆh1|ν) | {z } Hcore µν + L X λ=1 L X σ=1 Pλσ[(µν|σλ) − 1 2(µλ|σν)] | {z } Gµν (1.41) où H core

µν est un élément de la matri e de l'hamiltonien de oeur H core

et Gµν un élémentde lapartiebiéle troniqueGdelamatri ede Fo k.Laprésen e deséléments

Pλσ de la matri e densité rappelle que les équations de Roothaan-Hall doivent être résoluesitérativement.

Le oût prin ipald'un al ulRHFréside dans ladéterminationdes intégrales bi-éle troniquesàquatre entres (µν|σλ)etde lamatri eG. Letempsd'un al ulRHF estainsi proportionnelaunombre defon tionsde base àlapuissan equatre, soitL

4 .

1.3.5 La transformation symétrique

Les équations de Roothaan-Hall (1.36) ne orrespondent pas à un problème aux valeurspropres,puisquelejeudesfon tionsdebasen'estpasorthonormal.Une ortho-gonalisationdes fon tionsde base est d'abord né essaire an de pouvoirdiagonaliser lamatri ede Fo k. Une des pro édures possible est la transformationsymétrique.

L'étape initiale onsiste à diagonaliser la matri e de re ouvrement par transfor-mationunitaire:

T†S T = s (1.42)

oùs est une matri e diagonale ontenant lesvaleurs propres de S.

Test lamatri eunitairequi ontientles oe ients asso iésauxve teurs propresde S.

L'étape suivante onsisteà obtenir lamatri ede transformationX :

X ≡ S−12 = T s− 1 2 T†

Sion appliquela matri ede transformationà lamatri e C,alors :

C′ = X−1 C C = X C′ (1.44)

lasubstitution dans leséquations de Roothaan-Halldonne:

F X C′ = S X C′ ε (1.45) etla multipli ationpar X † donne 8 : X† F X | {z } F′ C′ = X†S X | {z } I C′ ε (1.46) oùF ′

est la matri ede Fo k transformée etI lamatri e identité.

On obtient nalementun problème auxvaleurs propres:

F′ _C′ _{= C}′ _ε

(1.47)

Unediagonalisationde lamatri eF ′

permetd'obtenirlesvaleurs etve teurs propres voulus.

1.3.6 La pro édure SCF

Commenous l'avons mentionnéauparagraphe1.3.2, ladéterminationde la fon -tiond'ondeHartree Fo k né essite un al ulitératif. Lesétapesde lapro édureSCF (Self ConsistentField)d'un al ul RHFsont brièvementénumérées i-dessous :

1. Dénitiondu système ({ ~RA}, {ZA}, N) etdes fon tions de base ({ηµ(~r)}). 2. Cal uldes matri esS ,H

core

et des intégrales (µν|σλ). 3. Diagonalisationde lamatri e Set al ulde lamatri e X. 4. Suggestioninitiale de la matri edensité P.

5. Cal ulde lamatri e Gà partir de lamatri e P et des intégrales(µν|σλ). 6. Cal ulde lamatri e de Fo k F = H

core_{+ G} . 7. Cal ulde lamatri e de Fo k transformée F

′ _{= X}† _{F X} . 8. Diagonalisationde lamatri e F ′ pour obtenirC ′ et ε. 8

9. Cal ul de la matri eC = X C ′

.

10. Cal ul de la nouvellematri e densitéP àpartir de C.

11. Comparaison de lanouvellematri e densitéave la pré édente :si le ritèrede onvergen e n'est pas satisfait, retourà l'étape5 ave la nouvelle matri eP. 12. Obtention de P pouvantservir au al ul de propriétés.

1.3.7 Le al ul des observables

Au même titre que la fon tion d'onde, la matri e densité ontient toutes les in-formations on ernant lastru tureéle troniquedu systèmeàl'étatfondamental.Par onséquent, ilest possible de retrouvertoute propriété dusystème àpartir de la ma-tri edensité.

La plupart des observables sont une somme de ontributions monoéle troniques etil est possible d'é rireleur valeur moyenne omme :

hAi = L X µ=1 L X ν=1 PµνAνµ (1.48)

où Aνµ est un élement matri iel de l'opérateur monoéle tronique asso ié à l'obser-vable A.

En revan he, si une observable est ara térisée par une somme de ontributions bi-éle troniquesalors la valeur moyenne sera :

hBi = 1₂ L X µ=1 L X ν=1 L X η=1 L X λ=1 PµνPηλBνµλη (1.49)

oùBνµλη est un élementmatri ielde l'opérateurbiéle tronique asso iéàl'observable B.

L'énergie de l'état fondamental E0 étant dénie par un somme d'opérateurs mo-noéle troniqueset biéle troniques(1.41), nous pouvons l'é rire omme :

E0 = L X µ=1 L X ν=1 Pµν  Hcore νµ + 1 2 Gνµ  (1.50)

1.3.8 L'énergie de l'état fondamental

L'expression (1.50) est le résultat d'un al ul RHF réalisé à l'aide d'un jeu de fon tions de base. Cette énergie RHF peut s'exprimer autrement en fon tion des orbitalesspatiales,tel que:

E0 = 2 N/2 X i=1 (i|ˆh1|i) + N/2 X i=1 N/2 X j=1 2 (ii|jj) | {z } Jij − (ij|ji) | {z } Kij (1.51)

Jij est appelée intégralede Coulomb:

(ii|jj) = Z Z Z Z Z Z |φi(~r1)|2 1 |~r1− ~r2||φ j(~r2)|2d~r1d~r2 (1.52)

L'intégralede Coulombreprésente larépulsion oulombienne lassique entre les den-sités éle troniques |φi(~r1)|

2

et|φj(~r2)| 2

.

Kij est appelée intégraled'é hange :

(ij|ji) = Z Z Z Z Z Z φ∗ i(~r1)φj(~r1) 1 |~r1− ~r2| φ∗ j(~r2)φi(~r2) d~r1d~r2 (1.53)

L'intégrale d'é hange représente le phénomène non lassique que deux éle trons de mêmespin s'évitent etdon réduisent larépulsion éle tronique.

D'une manière générale, l'énergie Hartree-Fo k s'exprime dans le jeu des spins-orbitaleso upées, telque :

E0 = N X a=1 ha|ˆh1|ai + N X a=1 N X b>a hab|abi − hab|bai | {z } hab||abi (1.54) avec _{hab|abi =} Z Z Z Z Z Z Z Z χ∗_a(~x1)χ∗b(~x2) 1 |~r1− ~r2| χa(~x1)χb(~x2) d~x1d~x2

L'énergieHFest en résuméune sommedes ontributionsha|ˆh1|aide haque éle tron etdes intera tions hab||abi entre paire unique d'éle trons telque :

hab||abi = (

Jab sispins opposés

Jab− Kab sispins parallèles

Les intégrales de Coulomb et d'é hange étant positives, la prise en ompte des in-tera tions d'é hange entre éle trons de même spin diminue E0 an de l'appro her de lavaleur exa te de l'énergieàl'état fondamental.Des méthodes omplémentaires permettentde al ulerla orrélationéle troniquequisubsisteentreéle tronsde spins opposés. Cependant, l'utilisationdes méthodes post-Hartree-Fo k augmente rapide-ment le oût de al ul.

1.4 La théorie de la fon tionnelle de la densité

Lathéorie de la fon tionnelle de ladensité ouDFT (Density Fun tional Theory) est une appro he alternative aux al uls Hartree Fo k. Elle permet de dé rire l'état fondamentald'un système en in luantdire tement la orrelationéle tronique.

1.4.1 Le théorème de Kohn-Hohenberg

Enutilisantleprin ipevariationnel,WalterKohnetPierreHohenbergdémontrent en 1964 quel'énergied'un système à l'étatfondamentalest une fon tionnelle unique de la densité élé tronique [21℄. Du fait que la fon tion d'essai n'est plus la fon tion d'ondemaisladensitééle tronique,leprin ipevariationnel ara téristiquedelaDFT devient :

E_{0[˜ρ] ≥ E0[ρ]} (1.56)

Dans le adre de l'approximation de Born-Oppenheimer, la fon tionnelle de la densitédénissantl'énergie éle tronique fondamentale E0 s'é rit :

E_{0[ρ] = T [ρ] +} M X A=1 Z Z Z ZAρ(~r) | ~RA− ~r| d~r + 1 2 Z Z Z Z Z Z ρ(~r) ρ(~r′₎ |~r − ~r′_| d~rd~r ′_{+ E} xc[ρ] (1.57)

Lesdeuxpremierstermes orrespondentàl'énergie inétiquedeséle tronsetà l'éner-gie d'intera tion éle trostatique noyaux-éle trons. Les deux derniers termes orre-pondent aux énergies de répulsion oulombienne et d'é hange- orrelation éle tro-niques.

1.4.2 L'équation de Kohn-Sham

déterminer la fon tionelle de la densité [22℄. Ainsi, e terme devient la somme des énergies inétiques de haque éle tron :

T = N X a=1 hχa| − 1 2 ∇ 2 1|χai (1.58)

La densité éle tronique s'é rit par onséquent de la même manière (1.39) que dans le formalisme Hartree-Fo k. La exibilité du al ul variationnel réside alors dans le hoix des spin-orbitales onstituant la densité. En minimisant l'expression de la fon tionnelle(1.57)par rapport àladensité,nous obtenons uneéquationauxvaleurs propresappelée équation de Kohn-Sham qui détermine lesspin-orbitales optimales:

−1₂∇21− M X A=1 ZA | ~RA− ~r1| + Z Z Z ρ(~r) |~r1− ~r| d~r + ∂Exc[ρ] ∂ρ ! | {z } ˆ fKS 1 χ(~x1) = E χ(~x1) (1.59) oùfˆ KS

1 est un opérateuree tifmono-éle tronique appeléopérateurde Kohn-Sham. Les deux premiers termes de fˆ

KS

1 rassemblent les opérateurs mono-éle troniques re-latifsàl'énergie inétiquede l'éle tronetson attra tionave lesnoyaux.Letroisième termedénitlarépulsion oulombienneressentieparl'éle tron1 auséeparladensité éle troniquedusystème.De efait,l'opérateurfˆ

KS

1 dépenddeladensitééle tronique et par onséquent de ses spin-orbitales propres. Ainsi, l'équation de Kohn-Sham est non-linéaire etdoit être résolue itérativement par une pro édure similaireà elle du hampauto- ohérent( f Ÿ1.3.6).Commepourlesméthodes Hartree-Fo k, unjeu de fon tionsdebaseestutilisépour formerlesorbitalesmolé ulaires.Laformeduterme d'é hange- orrelation n'étant pas onnue, nous l'exprimons pour le moment par la dérivée de sa fon tionnelle par raportà la densité.

La densité exa te du système pourrait alors être déterminée si la fon tionnelle d'é hange- orrelation orrigeait l'approximation faite sur le al ul de l'énergie i-nétique des éle trons indépendants. En appliquant la densité exa te à la fon tion-nelle (1.57), l'énergie exa te du système à l'état fondamental serait obtenue. Or, la fon tionnelled'é hange- orrelationn'estpas onnue etdesformes appro héesdoivent être utilisées.

1.4.3 Les fon tionnelles d'é hange- orrélation

d'é hange-Approximation de la densité lo ale

L'approximationde ladensitélo aleouLDA (Lo alDensity Approximation) per-met de formuler une fon tionnelle d'é hange- orrélation pour une densité uniforme d'éle trons: E_xcLDA[ρ] = Z Z Z ρ(~r) εx[ρ(~r)] d~r + Z Z Z ρ(~r) εc[ρ(~r)] d~r (1.60)

où εx[ρ(~r)] et εc[ρ(~r)] sont les énergies respe tives d'é hange et de orrélation par éle tron.

Laformeanalytiquedelafon tionnelled'é hangeest onnuepourungazuniforme d'éle tron,tel que:

εx[ρ(~r)] = − 3 4  3 ρ(~r) π 1/3 (1.61) Pour l'énergiede orrélation,plusieursfon tionnellesont été paramétréesàpartirde al ulsMonte-Carloquantique sur le gaz uniforme d'éle trons[23℄.

Approximation du gradient généralisé

Dans le as des systèmes réels où la densité n'est pas uniforme, l'approximation LDA n'estvalablequelo alement.Laprise en omptedu gradientde ladensitédans la fon tionnelle permet de traiter onvenablement les zones de grande variation de densité. Diérentes fon tionnelles ont été développées dans l'approximation du gra-dientgénéralisé ouGGA(GeneralizedGradient Approximation), e quiapermis une netteamélioration des résultatspour es systèmes.

Lafon tionnelleBLYP(Be keLee Yang Parr)estunefon tionnellede typeGGA qui regroupe deux améliorations par rapport à elles de type LDA : Axel Be ke a toutd'abord proposé une orre tion ∆E

B88

x du terme d'é hange [24℄; Chengteh Lee, Weitao Yang et Robert Parr ont ensuite développé une fon tionnelle de orrélation

ELY P

c tenant également ompte du gradient de la densité[25℄.

Les fon tionnelles hybrides

Uneaméliorationsupplémentaireaété apportéeauxfon tionnellesde type GGA, en traitantune partie des intera tions d'é hange par l'opérateurd'é hange Hartree-Fo kappliquéaudéterminantdeSlaterdesspin-orbitalesdeKohn-Sham.La

fon tion-B3LYP (Be ke 3 parameters Lee Yang Parr) [26℄. Elle propose une amélioration de lafon tionnelleBLYP en in luantune fon tionnelled'é hangeE

HF

x de type Hartree-Fo k, tel que:

E_xcB3LY P = E_xcLDA+ a(E_xHF _{− Ex}LDA) + b∆E_xB88+ c(E_cLY P _{− Ec}LDA) (1.62)

où a ≈ 0, 2 , b ≈ 0, 7 etc ≈ 0, 8 sont des paramètres qui ont été déterminés

empiri-quement.

1.5 L'appro he semi-empirique

Lesméthodes Hartree-Fo ksontditesab initio arelles n'ontau unre oursàdes données expérimentales. Pour les méthodes ab initio et DFT, la tailledes systèmes étudiés ne peut ex éder quelques dizaines d'atomes. En revan he, des systèmes de plusieurs entainesd'atomespeuvent êtretraités ourammentparlesméthodes semi-empiriquesqui pour leur part utilisentdes données expérimentales.

1.5.1 Les prin ipes

Les méthodes semi-empiriquesles plus ourantes ont pour vo ation de réduire le nombre d'intégrales à al uler.Ellessont fondées sur lesapproximationssuivantes :

• Seules les éle trons de valen e sont traités expli itement. Leurs orbitales sont représentées par une base minimalede fon tions.

• Lesintégralesde re ouvrement sont négligéeslors de la pro édureSCF.

• Les intégrales bi-éle troniques à 3 ou 4 entres sont supposées nulles; la prise en onsidération des intégrales bi-éle troniques à 1 ou 2 entres dépend de la méthode utilisée.

Ces approximations sont ompensées par l'utilisationde données expérimentales :

• Lesélémentsnondiagonauxde lamatri eH core

sontestimésaumoyende rela-tionsempiriquesqui onsidèrentque estermessontproportionnelsàl'intégrale de re ouvrement des orbitalesatomiques on ernées.

• Les intégrales mono et bi-éle troniques à 1 entre sont estimées à partir de donnéesspe tros opiquesd'atomesetd'ions,enparti ulieràpartirdepotentiels d'ionisationet d'anités éle troniques.

• Les intégrales bi-éle troniques à 2 entres sont paramétrisées an que les mé-thodes reproduisent au mieux les données expérimentales ou tirées de al uls

Larédu tiondunombred'intégralesbi-éle troniquesà al ulertransformel'ordre du temps de al ul de la matri ede Fo k en L

2

( arré du nombre de fon tions de la baseminimale).Cependant,le tempsd'un al ul semi-empiriqueest proportionnelà

L3

en onséquen e de l'étapede diagonalisationde la matri ede Fo k.

1.5.2 La matri e densité

Lors de la pro édure SCF, l'approximation S = I simplie onsidérablement la résolution des équations de Roothaan-Hall ar elle permet d'a éder dire tement à l'équationaux valeurs propres (1.47). Ainsi,la matri e densité déterminée lors d'un al ulsemi-empirique est dénie par :

Pµν′ = L X i=1 niCµi′ C ′_† iν (1.63)

Ande omprendre la naturede ette matri edensité, nous utilisonsla transforma-tion symétriqueà partir d'un élement de la matri edensitéexa te :

Pµν = L X i=1 niCµiCiν† = L X i=1 ni L X a=1 XµaCai′ ! _L X b=1 C_ib′†X_bν† ! = L X a=1 L X b=1 Xµa L X i=1 niCai′ C ′_† ib ! X_bν† = L X a=1 L X b=1 XµaPab′ X † bν (1.64)

Aunal,lamatri edensitéexa tepeut êtreretrouvée partransformationsymétrique de lamatri e densitéappro hée

9 :

P = X P′ X† (1.65)

1.5.3 Les méthodes

An d'améliorer les approximations onsidérées, une série de méthodes semi-empiriques a progressivement été développée depuis un demi-siè le. Pendant ette thèse, inq d'entre elles parmi lesplus évoluées ontété utilisées:

9

MNDO (Modied Negle t of Diatomi Overlap) [27℄ AM1 (Austin Model 1) [28℄

RM1 (Reparameterized Model 1)[29℄ PM3 (Parametri Method 3)[30℄

PDDG/PM3 (Pairwise Distan e Dire ted Gaussian) [31℄

Ces méthodes reposentsur lemême type d'approximations,mais dièrent prin i-palementparleurparamétrisation.Ellesfournissentgénéralementdesrésultatsables pourdes omposésorganiques, notammentpour dessystèmes onjugués.Cependant, leur apa itéàtraiterdesatomesdius ommelesoureoulephosphoreest générale-ment ritique. Parailleurs,laparamétrisationetl'appli ationdes métauxdemeurent très di iles.

Lorsd'appli ations,ilestpréférabled'utiliserplusieursméthodessemi-empiriques an de vérierla reprodu tibilité des résultats. Pour e faire,AM1 etPDDG onsti-tuent des méthodes de référen eutilisant ha une des modes de paramétrisation dif-férents. Enn, il est important de disposer de données expérimentales ou de al uls quantiques plus pré is an de jugerde la validité des résultats.

Les harges partielles

Les hargespartiellespermettentdereprésenterdefaçonsimplelarépartitiondela densitééle tronique dansun systèmemolé ulaire.Ellessontfréquemment appliquées à la loi de Coulomb pour al uler les intera tions éle trostatiques. Par ailleurs, les harges partielles sont des indi es importants pour la ompréhension de diéren es stru turalesoudemé anismesréa tionnels.Defaçongénérale,l'obtentionde harges partielles reportant dèlement l'état réel des atomes dans une molé ule est ainsi un enjeu important. Dans le adre de ette thèse, une détermination pré ise de la répartitiondes harges est une étape ru iale dans notre traitementdes intera tions éle trostatiques( f hap.3).

2.1 Les méthodes de al ul existantes

Le on ept de harges partielles demeure arti iel ar elles ne sont pas des ob-servables physiques. De e fait,diérentes dénitions existent sans qu'au unene soit réellement plus légitime qu'une autre [32, 33℄. Du moins, la méthode de al ul doit être hoisie en fon tion des propriétés que l'on souhaite analyser. Il est même utile d'essayer plusieurs méthodes an d'avoir un re ul ritique sur les harges obtenues. Lesprin ipales méthodes de al ul sont présentées i-dessous.

2.1.1 Les analyses de population

Lesméthodes de himie quantiquesontgénéralement utiliséesdansle formalisme desjeuxdefon tionsdebase entréessurlesatomes( fŸ1.2.5).Uneappro he immé-diatepour le al ul de hargespartiellesest par onséquent l'analysedes populations éle troniques onstituées par es fon tions de base.

Les harges de Mulliken

En intégrant dans l'espa e l'expression (1.39) de la densité éle tronique, nous retrouvons lenombre total d'éle trons :

N = L X µ=1 L X ν=1 PµνSνµ ≡ L X µ=1 (P S )µµ (2.1)

Il est possible de dé omposer lapopulationéle tronique en 2 termes,telque :

N = L X µ=1 PµµSµµ+ L X µ=1 L X ν6=µ PµνSνµ (2.2)

oùlepremierterme orrespondàlasommedes populationsnettesde haquefon tion etle se ondà elle des populations de re ouvrement entre fon tions de base.

A partirde ette dé omposition de la populationéle tronique,Robert Mulliken pro-posa une dénition pour les hargespartielles atomiques[34℄ :

qA= ZA− L X µ∈A PµµSµµ− L X µ∈A L X ν6=µ PµνSνµ (2.3)

Cettedénition revient àpartager entre deux atomes une partieégale (lamoitié) de lapopulation de re ouvrement de deux fon tions de base leur appartenant.

Nouspouvons é rire nalementles harges de Mulliken omme:

qA= ZA− L X µ∈A L X ν=1 PµνSνµ ≡ ZA− L X µ∈A (P S )µµ (2.4)

L'analyse de Mulliken est simple, rapide et donne une représentation orre te des hargespartiellesave des jeuxdefon tionsdebasede taillepetiteoumoyenne.Mais l'utilisationd'orbitales diuses donne lieuà des variations imprévisiblesdes harges partielles.Eneet,une fon tiondiusedé ritprin ipalement

1

ladensitééle tronique sur les atomes voisins à elui sur lequel elle est entrée et don attribuée par l'ana-lysede Mulliken. Ainsi,l'extension des jeux de fon tions de base ne mène pas à une onvergen e des harges de Mulliken.

Cette analyse de population permet également de al uler un autre on ept théo-riqued'importan e, l'ordrede liaison [35℄ :

BAB = L X µ∈A L X ν∈B (P S )µν(P S )νµ (2.5)

Les harges de Löwdin

Uneautredénitionde hargespartiellesaétéproposéeparPer-OlovLöwdin[36℄. Ilutilisa judi ieusementla propriété suivante sur lestra esde matri esande refor-muler larelation (2.1),tel que:

N = tr(P S) = tr(S12 P S 1 2)

(2.6) Par ette propriété, les harges de Löwdin sont dénies omme :

qA= ZA− L X µ∈A (S12 P S 1 2) µµ ≡ ZA− L X µ∈A P′ µµ (2.7)

En omparaisonave l'analyse deMulliken, elle de Löwdinn'ee tue au unpartage depopulationdere ouvrementmais onserveleproblèmeren ontréave desorbitales diuses.

L'ordrede liaison devient dans l'analyse de Löwdin :

BAB = L X µ∈A L X ν∈B P_µν′ P_νµ′ (2.8)

Les harges NAO

L'analyse des NAO (Natural Atomi Orbitals) et des NBO (Natural Bond Orbi-tals) est une pro édure de diagonalisationde la matri edensité [37℄. Cette méthode permetderedistribuerladensitééle troniquedansdes orbitalesnaturellesatomiques et molé ulaires. Des harges atomiques peuvent alors être dérivées de es orbitales naturelles.Bienquemoinsdépendanteauxjeux defon tionsde basequelesanalyses de Mulliken et Löwdin, ette méthode né essite un temps de al ulplus important.

2.1.2 Les fragmentations de l'espa e

Le on ept de harges partielles revient à partager entre les atomes la densité éle troniquedelamolé ule.Ainsi,unepossibilitéde al uldes hargesestdepartager

Les harges AIM

Laméthode de Bader ouAIM (Atoms InMole ules) onsidère ladensité éle tro-nique ommeunesommedesdensitésappartenantauxatomes[38℄.Levolumepropre de haque atome dans lamolé uleest délimitépar une surfa e sur laquelle leux de ladensité est nulle, tel que :

∇ρ(~r) . ~n = 0 (2.9)

où~n est leve teur normalà lasurfa e.

Cette dénition fournit une analyse topologique intéressante. L'évaluation des harges AIM s'avère peu dépendante aujeu de fon tions de base utilisé.Cependant, la méthode de Bader est très oûteuse et a entue généralement la polarisation des liaisons.

Les harges de Hirshfeld

Laméthode de Hirshfeld ousto kholder (a tionnaires)partageladensité éle tro-niquede lamolé uleen fon tionde ladensitéatomiqueinitialede haqueatome[39℄. Cettedémar he permet de al uler des harges partiellesatomiques :

qA= ZA− Z Z Z ρat A(~r) PM I=1ρatI (~r) ρ(~r) d~r (2.10) où ρ at

I (~r) est la densité éle tronique de l'atome I isolé à la même position que dans lamolé ule.

La forme analytique omplexe du fa teur de pondération né essite une résolu-tion numérique ( f Ÿ 2.2.2). Cetteméthode présente une faibledépendan e aux jeux de fon tions de base, mais attribue généralement aux liaisons un ara tère trop o-valent[40℄.

Il existe des appro hes voisines à elle d'Hirshfeld, telle que la méthode VDD (Voronoi Deformation Density) [41℄. La méthode des polyèdres de Voronoi est un partage géométrique de l'espa e de la molé ule. Les droites reliant un atome aux autressont oupées en leur entre par un plan perpendi ulaire, formantun polyèdre deVoronoiquidénitlevolumepropredel'atome[42,43℄.Laméthodedesatomesde

éle troniquede lamolé ule[44℄.Les hargespartiellesde es appro hessont di iles àobtenir etgénéralement de valeurtrop grandes.

2.1.3 La reprodu tion des observables

Le al uldes hargespartiellesasouvent pour butde ara tériserlesintera tions éle trostatiquesdu système ave son environnement. Il est don judi ieux de dénir les hargespartiellespar rapportàdes observablestelles quele momentdipolaire ou lepotentieléle trostatique.

Les harges GAPT

LaméthodeGAPT(Generalizedatomi polartensor)dénitles hargespartielles àpartir d'un tenseur atomique ara téristique [45℄ :

VAP T =    ∂µx ∂xA ∂µx ∂yA ∂µx ∂zA ∂µy ∂xA ∂µy ∂yA ∂µy ∂zA ∂µz ∂xA ∂µz ∂yA ∂µz ∂zA    (2.11)

où µx, µy, µz sont les omposantes du moment dipolaire de la molé ule, tandis que

xA, yA, zA sont les oordonnées artésiennesde l'atomeA.

Les harges GAPT sont dénies omme le tiers de la tra e du tenseur polaire ato-mique, telque :

q_AGAP T = 1 3  ∂µx ∂xA + ∂µy ∂yA + ∂µz ∂zA  (2.12) Cette méthode est parti ulièrement oûteuse du fait qu'elle né essite le al ul de la dérivéese onde de l'énergie. Par onséquent, ellen'estutiliséegénéralementqu'après un al ul de fréquen es de vibration. Tout omme le moment dipolaire, les harges GAPT sontdépendantes du niveau de al ul de la fon tiond'onde. Ellesfournissent des résultats pré is lorsque la orrelation éle tronique est susamment bien traitée dans le al ul de la densitééle tronique.

Les harges ESP

Laméthode ESP (Ele troStati Potential) [46,47,48℄ permetd'obtenir unjeude harges partiellesqui reproduit aumieux lepotentiel éle trostatique al ulé sur une surfa e de Connolly

2

de la molé ule. Une fon tion d'ajustement est appliquée aux 2

points~rg d'unegrillepla ée sur la surfa e molé ulaire: F = points X g=1 Vobs(~rg) − Vf it(~rg)
2 (2.13)

L'observable potentieléle trostatique V obs

est de formeanalytique :

Vobs(~rg) = M X A=1 ZA |~rg− ~RA| − Z Z Z ρ(~r) |~rg− ~r| d~r (2.14)

Lepotentieléle trostatique ajustéV f it

est de forme analytique:

Vf it(~rg) = M X A=1 qA |~rg− ~RA| (2.15)

Les harges partiellessont optimaleslorsqu'elles onduisent lafon tion d'ajustement àun minimum, telque :

∂F ∂qA = − 2 points X g=1 Vobs_(~r g) − Vf it(~rg) |~rg − ~RA| = 0 (2.16)

Enoutre,ilestné essaired'imposerà etteminimisationune ontraintesurlasomme des harges partiellespar la méthode des multipli ateurs de Lagrange.

La méthode ESP donnentdes harges partiellesde référen e pour de petites mo-lé ules[49℄.Dansle asde grandssystèmesmolé ulaires,les hargesESP sont onve-nablespourlesatomespro hes delasurfa edeConnollymaissontmalévaluéespour lesatomes"enfouis"dans lesystème.Parailleurs,les hargesESP sonttrès sensibles àde faibles hangementsde onformation.

Les harges RESP

LaméthodeRESP(RestrainedEle troStati Potential)[50℄utiliseunefon tionde pénalitéquipermetd'éviterles harges souventtrop élevées pour lesatomesenfouis. D'autres ontraintes sont imposées an de permettre la transférabilité des résultats d'un système à un autre. La molé uleest divisée en fragmentsdont la harge totale de ha un est maintenue neutre. Par ailleurs, la symétrie est prise en ompte en égalisant les harges des hydrogènes d'un méthyle. Les ontraintes RESP réduisent égalementla sensibilitéaux hangements onformationnels.Une solutionalternative maisplus oûteuse estl'ajustementdes hargessurlepotentieléle trostatique al ulé

2.1.4 Les méthodes paramétrées

Bienqueles hargesESPsoientappropriéespourtraiterdepetitesmolé ules,leur temps de al ul est non négligeable. Pour évaluer les harges d'une série de ligands ou de molé ules organiques, il est parfois préférable d'avoir re ours à des méthodes paramétréesplus rapides.

Les harges basées sur l'éle tronégativité

Beau oup de méthodes ont été proposées pour al uler les harges atomiques à partirdeparamètres.Lesméthodeslesplusaboutiessontbaséessurleprin ipe d'éga-lisation des éle tronégativités [52℄. Cette appro he a prin ipalement été développée par Johann Gasteiger [53℄, William Goddard III [54℄ et Patri k Bultin k [55, 56℄. Elle onstitue un des moyen les plus e a e pour dénir les harges atomiques des molé ules étudiées en drug design.

Les harges CM

La méthode CM (Charge Model) développée par Christopher Cramer et Donald Truhlar permet une orre tion des harges partielles de Löwdin par le biais d'une fon tion paramétrée. La fon tion de orre tion de la harge atomique dépend des ordres de liaison impliquant l'atome et son environnement ovalent. Les paramètres de lafon tionont été initialementoptimisés parrapportauxmomentsdipolaires ex-périmentauxd'un grand nombre de molé ules organiques.

Laméthode CMpermetd'obtenir des hargespartiellesde hautequalité pourun temps de al ul peu élevé. Néanmoins, elle né essite une paramétrisation spé ique pour les diérents types de liaison ovalente du modèle et pour haque méthode de himiequantiqueasso iéàun jeude fon tionsde basedonné. Cemodèle de hargea étéparamétrépour ertaines méthodessemi-empiriques[57℄,puis ertainesméthodes ab initio et DFT [58℄.

Les harges RLPA

La méthode RLPA (Redistributed Löwdin Population Analysis) [59℄ utilise une appro hesimilaireaumodèleCMande orrigerles hargesdeLöwdinobtenuesave

par une fon tionparamétrée, e qui permet de orrigerl'in ompatibilitéde l'analyse de Löwdin ave l'utilisationd'orbitalesdiuses ( fŸ 2.1.1).

Les harges AM1-BCC

Laméthode AM1-BCC(Bond ChargeCorre tions)estune orre tiondes harges de Löwdin-AM1 par le biais d'une fon tion paramètrée ara térisant la topologie de la molé ule [60, 61℄. Les paramètres de orre tions AM1-BCC des divers types de liaisons ovalentes ont été initialement optimisés sur une série d'environ 2700 molé ules an de reproduire leur potentiel éle trostatique al ulé au niveau HF/6-31G*. La simpli itéet laparamétrisation ab initio du modèle AM1-BCCpermet de al ulertrès rapidement des harges de haute qualité pour des ligandsorganiques.

2.2 Les méthodes de partition

Notre obje tifest d'utiliserle on ept de hargespartiellespour al ulerles inter-a tionséle trostatiques mises en jeu dans les systèmes biologiques.L'environnement d'un atome pouvant hanger brutalement au ours d'une réa tion, nous souhaitons une méthode qui n'impose pas de topologie donnée au système. De plus, nous envi-sageons une appro he standard pouvant être appliquée à toute méthode de himie quantiquequelque soitle niveau de al ul.Pour es diérentes raisons,les méthodes paramétréessont inadaptées ànotre obje tif.

Par ailleurs, la forme analytique des fon tions utilisées doit être fa ilement dé-rivable et l'évolution des harges doit être numériquement stable par rapport à de faibles hangementsde onformation.Laméthodedoit demêmeêtre apablede dé-nirun systèmede tailleimportante.Ainsi,lesméthodes de type ESP sontelles aussi inadaptéesànotreprojet.Lesméthodesde typenumériquespourraitêtreenvisagées, bien que leur forme analytique soit souvent trop ompliquée pour assurer une déri-vation fa ileet un al ul rapide.

Defaçon générale,nousutilisonsdes fon tionsdebase pourle al ulde ladensité éle tronique. Les méthodes de Mulliken et Löwdin répondent ainsi à nos ritères de séle tion. Lasimpli itéde es méthodes étant toutefois ritiquable,nousavons tenté