graphes multimodaux dépendants du temps
Grégoire Scano
Marie-José Huguet - Sandra Ulrich Ngueveu
LAAS-CNRS équipe ROC MobiGIS
Roadef 2014
1 / 19
Problématiques
Etat de l’art Algorithme proposé
Résultats
2 / 19
I
une offre complexe à comprendre
I
des alternatives préférentielles au trajet le plus court
La problématique générale consiste donc à calculer
I
des alternatives pour des chemins multimodaux - multiplicité
I choix d’itinéraires liés aux préférences
I qualification des réseaux de transport
I robustesse
I
sans présupposer la différence - généralité
I chaque utilisateur a des préférences inconnues à l’avance
I certains utilisateurs ont besoin d’infrastructures particulières
I
par énumération en coût croissant - optimalité
I un seul objectif à minimiser
I garantie d’avoir l’alternative de meilleur coût
3 / 19
Problématiques Etat de l’art
Algorithme proposé Résultats
4 / 19
I
Multimodalité
I représentation multi couches des différents réseaux de transport
I les arcs portent un symbole définissant le type de transport qui l’emprunte
I les chemins sont alors des mots restreints à un langage
I la restriction à un langage régulier, généralement satisfaisante, est de complexité pseudo-polynomiale
I
Dépendance au temps
I le coût d’un arc est fonction du coût au moment de le traverser
I la propriété FIFO s’établit lorsque cette fonction est croissante sur tout arc
I cette caractéristique assure une complexité polynomiale
5 / 19
Types de recherche
I EAs,d(t): arrivée au plus tôt en d en partant de s à l’instant t
I LDs,d(t): départ au plus tard de s pour arriver en d à l’instant t
La résolution de
EAs,d(t)en parcours arrière ou
LDs,d(t)en parcours avant
I
inverse l’automate ce qui, de façon générale, donne une complexité exponentielle
I
dispose uniquement des bornes inférieures ou supérieures
6 / 19
I
Méthode à fixation d’étiquettes de Dijkstra
I
La condition de Bellman ne s’applique pas
I
Sauvegarde de tous les successeurs d’une étiquette
1.
Insertion de l’origine dans le tas
2.
Fixation d’étiquettes tant que la destination n’est pas fixée k fois
3.
Propagation d’une étiquette à tous ses voisins sauf sur le noeud de départ
Le nombre d’étiquettes par noeuds n’est pas limité La complexité en temps est
O(km+knlog(kn))7 / 19
I
Calcul de l’arbre de plus courts chemins de tous les noeuds vers la destination
I
Construction d’un graphe auxiliaire de déviations
I
Application de l’algorithme de k plus courts chemins naïf sur ce graphe
I
Reconstruction des solutions à partir des solutions sur le graphe auxiliaire
La complexité en temps est
O(m+n+klog(k)).1. Eppstein, Finding the k shortest paths SIAM J. Computing 28(2) 1999 652-673
8 / 19
I Calcul de l’arbre de plus courts chemins de tous les noeuds vers la destination
I
Construction d’un graphe auxiliaire de déviations
I
Application de l’algorithme de k plus courts chemins naïf sur ce graphe
I
Reconstruction des solutions à partir des solutions sur le graphe auxiliaire
La complexité en temps est
O(m+n+klog(k)).1. Eppstein, Finding the k shortest paths SIAM J. Computing 28(2) 1999 652-673
8 / 19
Obligation de conserver plusieurs labels par noeuds - certains sont dépilés, d’autres pas encore
I
Sur un noeud, le choix du pivot local est déterminé par le coût minimum des labels non dépilés
I
Les candidats au pivot global sont restreints aux pivots locaux dont tous les prédécesseurs sont sur un chemin déjà généré
I
Le pivot global est le minimum des candidats
(label number of the node, cost) (4,11)
(3,7)
(2,3) (1,2)(4,11) (3,7)
(2,3) (1,2)(4,11)
(3,7) (2,3) (1,2)stacked
unstacked path stop
global candidate
local candidate time
9 / 19
Problématiques Etat de l’art Algorithme proposé
Résultats
10 / 19
Extension de l’algorithme de Dijkstra
I
Une itération correspond à l’énumération d’un chemin
I
Lors de la première itération, tous les noeuds peuvent être dépilés une fois
I
Les noeuds sur un chemin énuméré ou non encore dépilés dans les itérations précédentes peuvent être dépilés au tour suivant
I
Lors d’une itération, au plus un label par noeud peut être dépilé
Pour réduire le nombre de labels, on peut utiliser une borne supérieure de deux façons :
I
soit la borne supérieure est fixée au
kemelabel de coût le plus grand et la taille n’est pas limitée
→
test d’infériorité pour entrer dans le tas
I
soit la taille est fixée à k et la borne supérieure peut diminuer
→
utilisation d’un tas min-max
11 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9 1
(0,∅)1
(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9 1
(0,∅)1
(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9 1
(0,∅)1
(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9 1
(0,∅)1
(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7 8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 1
(0,∅)1
(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(6,1.1)1
6
(11,6.3)3
9
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(6,1.1)1
6
(11,6.3)3
9
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3 (8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(11,6.3)3
9
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
2
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(7,2.1)1
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)15
(7,2.1)18
(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3
(8,8.1)3
(9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
2
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(11,6.3)3
9
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1 3
4
6
7
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3
(8,8.1)3
(9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1 3
4
6
7
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3
(8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
Exemple de ksp de 1 vers 9
1
2
3
4
5
6
7 8
9
36
7
1 4
2
3
4
1
1
2
5 2
(0,∅)1
1 3
4
6
7
9
1
(0,∅)1(6,1.1)1
(3,1.1)1
(7,1.1)1
(0,∅)1
(3,1.1)1
(4,2.1)2
(3,1.1)1
3
(4,2.1)2(5,3.1)2
(6,3.1)1
(4,2.1)2
6
(6,3.1)1(5,3.1)2
(9,6.1)2
(7,6.1)1
(8,6.1)1
(8,6.1)3
(6,3.1)1
4
(7,1.1)1(7,6.1)1
(11,5.1)3
(8,5.1)2
(10,4.1)2
(11,4.1)1
(8,6.1)3
(8,8.1)3 (9,8.1)2
(8,8.1)2
(7,1.1)1
(7,2.1)1
(7,6.1)1
9
(8,6.1)1(8,6.1)1
(8,6.1)1
(5,3.1)2
(6,2.2)4
(9,2.2)3
(5,3.1)2
3
(6,1.1)1(7,3.1)4
(8,3.1)4
(6,1.1)1
6
(8,8.1)3(10,6.3)5
(9,6.3)3 (10,6.3)3
(11,6.3)3
(8,8.1)3
9
(9,8.1)2(9,8.1)2
(9,8.1)2
12 / 19
