Seconde 1 IE4 vecteurs S1. Seconde 1 IE4 vecteurs S2

Exercice 1 : (3 points) ABC est un triangle.

1) Construire le point M tel que :

^

AM = 3 2



AB – 1 2



AC

2) Exprimer

^

BM en fonction de

^

BC .

Que peut-on en déduire pour les points B, M et C ? Exercice 2 : (7 points)

Soit A(-2;1), B(3;3), C(-5;-3), D(5;1) et T(0;-1). K est le point de coordonnées (-1;y).

1) Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? 2) Même question pour (AB) et (DC).

3) Les points C, D et T sont-ils alignés ?

4) Calculer le réel y tel que C, K et A soient alignés.

5) Calculer les coordonnées du point E symétrique du point T par rapport au point C.

6) Le point R est le milieu de [AC]. Les points E, R et B sont-ils alignés ? 7) Calculer les coordonnées de M tel que :

2



MA + 3



MB =



0 .

Seconde 1 IE4 vecteurs 2016-2017 S2

Exercice 1 : (3 points) ABC est un triangle.

1) Construire les points E et F tels que :



AE = - 2 3



AB et

^

AF = - 2 3



AC

2) Exprimer

^

EF en fonction de

^

BC puis interpréter géométriquement ce résultat.

Exercice 2 : (7 points)

Soit A(-5;-1), B(-3;-3), C(2;-1), D(5;3) et T(0;1). K est le point de coordonnées (x;-2).

1) Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ? 2) Même question pour (AB) et (CD).

3) Les points A, D et T sont-ils alignés ?

4) Calculer le réel x tel que C, D et K soient alignés.

5) Calculer les coordonnées du point E symétrique du point T par rapport au point D.

6) Le point R est le milieu de [CD]. Les points E, R et B sont-ils alignés ? 7) Calculer les coordonnées de M tel que :

2



MB + 3



MC =



0 .

CORRECTION

Exercice 1 : (3 points) ABC est un triangle.

1) Construire le point M tel que :

^

AM = 3 2



AB – 1 2



AC

2) Exprimer

^

BM en fonction de

^

BC .

Que peut-on en déduire pour les points B, M et C ? 1)

2) En utilisant la relation de Chasles on a :



BM =

^

BA +

^

AM= -

^

AB +

^

AM = -

^

AB + 3 2



AB – 1 2



AC = 1 2



AB – 1 2



AC = 1 2 (



AB –

^

AC )



BM = 1 2 (



CA +

^

AB ) = 1 2



CB = - 1 2



BC

Les vecteurs

^

BM et

^

CB sont colinéaires; donc les points B, M et C sont alignés.

CORRECTION

Exercice 2 : (7 points)

Soit A(-2;1), B(3;3), C(-5;-3), D(5;1) et T(0;-1). K est le point de coordonnées (-1;y).

1) Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ? 2) Même question pour (AB) et (DC).

3) Les points C, D et T sont-ils alignés ?

4) Calculer le réel y tel que C, K et A soient alignés.

5) Calculer les coordonnées du point E symétrique du point T par rapport au point C.

6) Le point R est le milieu de [AC]. Les points E, R et B sont-ils alignés ? 7) Calculer les coordonnées de M tel que :

2^MA + 3^MB = ^0.

1) ^AC

  

 

xC – xA



yC – yA =

  

 

-3



-4 et

BD

  

 

xD – xB



yD – yB =

  

 

2



-2

x^AC y^BD - y^AC x^BD = (-3)(-2) – (-4)2 = 6 + 8 = 14  0 Donc les vecteurs ^AC et ^BD ne sont pas colinéaires.

Donc les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.

2) ^AB

  

 

xB – xA



yB – yA =

  

 

5



2 et

DC

  

 

xC – xD



yC – yD =

  

 

-10



-4

x^AB y^DC - y^AB x^DC = 5(-4) – 2(-10) = -20 + 20 = 0 ou bien on remarque que ^DC = -2^AB.

Donc les vecteurs ^AB et ^DC sont colinéaires.

Donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

3) ^CT

  

 

xT – xC



yT – yC =

  

 

5



2

CORRECTION

On remarque que : ^CD = 2^CT

Donc les vecteurs ^CD et ^CT sont colinéaires.

Donc les points C, D et T sont alignés.

4) Pour que les points C, K et A soient alignés, il faut que les vecteurs ^AC et ^AK soient colinéaires.

AC

  

 

-3



-4 et

AK

  

 

-1 + 2



y - 1

AC et ^AK colinéaires  -3(y – 1) + 4 = 0  -3y + 7 = 0  y = 7 3.

5) Soit E(xE;yE)

Si E est le symétrique de T par rapport à C alors :^TC = ^CE Soit

  

 

-5



-2 =

  

 

xE + 5



yE + 3 D'où : xE = -10 et yE = -5 E(-10;-5)

6) Les coordonnées de R sont : xR = xA + xC

2 et y^R = yA + yC

2 Soit : xR = -3,5 et yR =-1

R(-3,5;-1)

ER

  

 

-3,5 + 10



-1 + 5 =

  

 

6,5



4 et

EB

  

 

3 +10



3 + 5 =

  

 

13



8 Donc ^EB = 2^ER

Donc les vecteurs ^EB et ^ER sont colinéaires.

Donc les points E, B et R sont alignés.

7) 2^MA + 3^MB = ^0  2^MA + 3(^MA +^AB ) = ^0

 5^MA +3^AB = ^0

^AM = 3 5

AB

Soit M(xM;yM)

AM = 3 5

AB 

  

 



xM + 2

yM - 1 = 3 5

  

 



5 2 



 

^{xM = 3 – 2} yM = 6

5 + 1 Donc M

  

 

1;11



5

CORRECTION

Exercice 1 : (3 points) ABC est un triangle.

1) Construire les points E et F tels que :



AE = - 2 3



AB et

^

AF = - 2 3



AC

2) Exprimer

^

EF en fonction de

^

BC puis interpréter géométriquement ce résultat.

1)

1) En utilisant la relation de Chasles, on a :



EF =

^

EA +

^

AF = -

^

AE +

^

AF = 2 3



AB – 2 3



AC = 2 3 (



AB –

^

AC ) = 2 3 (



CA +

^

AB ) = 2 3



CB = - 2 3



BC

Les vecteurs

^

EF et

^

BC sont colinéaires.

Donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

(BCEF est un trapèze)

CORRECTION

Exercice 2 : (7 points)

Soit A(-5;-1), B(-3;-3), C(2;-1), D(5;3) et T(0;1). K est le point de coordonnées (x;-2).

1) Les droites (AD) et (BC) sont-elles parallèles ? 2) Même question pour (AB) et (CD).

3) Les points A, D et T sont-ils alignés ?

4) Calculer le réel x tel que C, D et K soient alignés.

5) Calculer les coordonnées du point E symétrique du point T par rapport au point D.

6) Le point R est le milieu de [CD]. Les points E, R et B sont-ils alignés ? 7) Calculer les coordonnées de M tel que :

2^MB + 3^MC = ^0.

1) ^AD

  

 

xD – xA



yD – yA =

  

 

10



4 et

BC

  

 

xC – xB



yC – yB =

  

 

5



2

AD = 2^BC

Donc les vecteurs ^AD et ^BC sont colinéaires.

Donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

2) ^AB

  

 

xB – xA



yB – yA =

  

 

2



-2 et

DC

  

 

xC – xD



yC – yD =

  

 

-3



-4

x^AB y^DC - y^AB x^DC = 2(-4) + 2(-3) = -8 - 6 = -14 Donc les vecteurs ^AB et ^DC ne sont pas colinéaires.

Donc les droites (AB) et (DC) ne sont pas parallèles.

3) ^AT

  

 

xT – xA



yT – yA =

  

 

5



2

On remarque que : ^AD= 2^AT

Donc les vecteurs ^AD et ^AT sont colinéaires.

CORRECTION

Donc les points A, D et T sont alignés.

4) Pour que les points C, D et K soient alignés, il faut que les vecteurs ^CD et ^CK soient colinéaires.

CD

  

 

3



4 et

CK

  

 

x – 2



-1

CD et ^CK colinéaires  3(-1) – 4(x – 2) = 0  -3 – 4x + 8 = 0  x = 5 4 5) Soit E(xE;yE)

Si E est le symétrique de T par rapport à D alors :^TD = ^DE Soit

  

 

5



2 =

  

 

xE - 5



yE - 3 D'où : xE = 10 et yE = 5 E(10;5)

6) Les coordonnées de R sont : xR = xC + xD

2 et y^R = yC + yD

2 Soit : xR = 3,5 et yR =1

R(3,5;1)

ER

  

 



3,5 - 10

1 - 5 =

  

 



-6,5

-4 et

EB

  

 



-3 - 10

-3 - 5 =

  

 



-13

-8 Donc ^EB = 2^ER

Donc les vecteurs ^EB et ^ER sont colinéaires.

Donc les points E, B et R sont alignés.

7) 2^MB + 3^MC = ^0  2^MB + 3(^MB+^BC ) = ^0

 5^MB +3^BC = ^0

^BM= 3 5

BC

Soit M(xM;yM)

BM= 3 5

BC 

  

 



xM + 3 yM + 3 = 3

5

  

 



5 2 



 

^{xM = -3 + 3} yM =-3 +6 5 Donc M

  

 

0;-9



5