= 225 soit x = 225 = 15. largeur du rectangle = 15 m ; longueur = 30 m. On appelle x la longueur initial du terrain carré

mathsbdp.fr problèmes et équations 2nde

Ex1. La longueur d'un rectangle est le double de sa largeur. Son aire est 450 𝑚². a) Si on note 𝑥 la largeur du rectangle, exprimer la longueur L en fonction de 𝑥.

𝐿 = 2𝑥

b) En utilisant l’aire du rectangle, écrire l’équation vérifiée par 𝑥.

Aire = 𝐿 × 𝑙 = 2𝑥 × 𝑥 = 2𝑥

= 450

c) Résoudre l’équation et en déduire les dimensions de ce rectangle.

2𝑥

= 450 ⇔ 𝑥

=

2

= 225 soit 𝑥 = √225 = 15 largeur du rectangle = 15 m ; longueur = 30 m

Ex2. Lors d'une cession de terrain, un jardin carré a été remplacé par un jardin rectangulaire.

Un côté a augmenté de 3 m, l'autre a diminué de 1 m.

Le nouveau propriétaire s'aperçoit que l'aire du terrain a augmenté de 13 𝑚².

Déterminer la longueur du côté du terrain carré initial ?

On appelle 𝑥 la longueur initial du terrain carré Aire = 𝑥 × 𝑥 = 𝑥

𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 = (𝑥 + 3) × (𝑥 − 1) = 𝑥

+ 13

en développant la partie gauche, on obtient : 𝑥

− 𝑥 + 3𝑥 − 3 = 𝑥

+ 13

soit 2𝑥 − 3 = 13 soit 2𝑥 = 16 soit 𝑥 =

2

= 8 m.

La longueur du côté du terrain carré initial est de 8 m

Ex3. Un théâtre propose des places à 15 € et d'autres places à 20 €. Le soir d'une représentation, la recette a été de 8 000 €. Le nombre de spectateurs était de 470.

1. En appelant 𝑥 le nombre de spectateurs à 15 €, exprimer le nombre de spectateurs à 20 € en fonction de 𝑥.

𝑦 = 470 − 𝑥

2. Déterminer 𝑥, puis le nombre de places à 20 €.

recette = 15𝑥 + 20𝑦 = 8000 soit 15𝑥 + 20(470 − 𝑥) = 80

15𝑥 + 9400 − 20𝑥 = 8000 ⇔ 5𝑥 = 1400 ⇔ 𝑥 =

5

= 280 𝑦 = 470 − 280 = 190

280 places à 15 € et 190 places à 20 €

Ex3. Trouver deux nombres entiers tels que leur différence est égale à 90 et leur quotient est égal à ⁵

2

On note 𝑥 et 𝑦 les deux nombres recherchés 𝑥 − 𝑦 = 90 et

𝑦

=

2

𝑥 = 90 + 𝑦 et

𝑦

=

2

soit 5𝑦 = 2(90 + 𝑦) soit 5𝑦 = 180 + 2𝑦 soit 3𝑦 = 180 soit

𝑦 =

3

= 60

Les deux nombres recherchés sont 𝑥 = 90 + 60 = 150 et 𝑦 = 60

Ex4. 𝑀 est un point du segment [𝐴𝐶] tel que 𝐴𝑀 = 4 𝑐𝑚 et 𝑀𝐶 = 10 𝑐𝑚

[𝐴𝐵] est un segment de longueur variable.

𝑁 est le point du segment [𝐴𝐵] tel que les droites (𝑀𝑁) et (𝐵𝐶) sont parallèles.

De plus, 𝑁𝐵 = 9 𝑐𝑚 On note 𝐴𝑁 = 𝑥 ( 𝑥 > 0 ) a) Expliquer pourquoi ^𝑥

𝑥+9 =²

7

D’après le théorème de Thalès, ^𝐴𝑁

𝐴𝐵 = ^𝐴𝑀

𝐴𝐶 soit ^𝑥

𝑥+9 = ⁴

14 = ²

7

b) En déduire la longueur 𝐴𝑁.

On fait les produits en croix ; on obtient : 7𝑥 = 2(𝑥 + 9) 7𝑥 = 2𝑥 + 18 soit 5𝑥 = 18 soit 𝑥 = ¹⁸

5 = 3,6

Ex5. Quel même nombre entier 𝑥 faut-il ajouter au numérateur et dénominateur de la fraction

3

7 pour obtenir ⁷

3 ? on a l’équation : ^𝑥+3

𝑥+7 =⁷

3

On fait les produits en croix : 3(𝑥 + 3) = 7(𝑥 + 7)

3𝑥 + 9 = 7𝑥 + 49

4𝑥 = −40 soit 𝑥 = −10

3−10

7−10

=

−3

=

3

Ex6. Un cylindre a pour rayon 5 cm et pour hauteur 14 cm.

Une boule a pour rayon 5 cm. On admet que la boule glisse dans le tube et que sa densité est supérieure à celle de l’eau.

Quelle hauteur d’eau maximum ℎ en cm, le cylindre doit-il contenir pour que, en plongeant la boule dans le récipient, l’eau ne déborde pas ?

𝑉

= 𝜋𝑟

× ℎ = 𝜋 × 5

× 14 = 350𝜋 𝑐𝑚

𝑉

+ 𝑉

= 𝑉

𝜋 × 5

× ℎ +

3

× 𝜋 × 5

= 350𝜋 25𝜋ℎ +

3

𝜋 = 350𝜋 25𝜋ℎ = 350𝜋 −

3

𝜋 =

3

−

3

=

3

ℎ =

550𝜋 3

25𝜋

=

3

≈ 7,3 𝑐𝑚

Il ne faut pas dépasser 7,3 cm de hauteur d’eau.

Ex7. Trois triangles équilatéraux identiques sont découpés dans les coins d’un triangle équilatéral de côté 6 cm.

Loan prétend que « la somme des périmètres des trois petits triangles équilatéraux est égale au périmètre de l’hexagone orange. »

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

𝑃é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 3 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 é𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡é𝑟𝑎𝑢𝑥 = 3𝑥 × 3 = 9𝑥

périmètre de l’hexagone : 3(6 − 2𝑥) + 3𝑥 = 18 − 6𝑥 + 3𝑥 = 18 − 3𝑥

Si l’hexagone orange est régulier, alors son côté vaut 2 donc son périmètre vaut 6 × 2 = 12 cm

le périmètre des trois triangles équilatéraux vaut : 3 × 3 × 2 = 18 cm Affirmation fausse.

Pour 𝑥 = 1,5 on a 9𝑥 = 18 − 3𝑥

Ex8. 1. On considère le nombre 𝑎 défini par :

𝑎 = 1,232 323 … tel que la période 23 se reproduit sans cesse.

a) Justifier que 𝑎 est solution de l’équation : 100𝑥 = 122 + 𝑥

100𝑎 = 123,23 23 23 = 122 + 1,23 23 23 … = 122 + 𝑎 donc 𝑎 est bien solution de l’équation 100𝑥 = 122 + 𝑥

b) En déduire une écriture fractionnaire de 𝑎.

On résout l’équation précédente : 99𝑥 = 122 soit 𝑥 =

99 2. Donner une écriture fractionnaire de : 𝑏 = 12,345 345 345 …

1000𝑏 = 12 345,345 345 345 … = 12333 + 12,345 345 … = 12333 + 𝑏

999𝑏 = 12333 soit 𝑏 =

999

=

33

Ex9. Déterminer cinq nombres entiers naturels consécutifs dont la somme des carrés des trois plus petits est égal à la somme des carrés de deux plus grands.

On note 𝑥 l’entier situé en 3

position dans la liste des 5 consécutifs 𝑥 − 2 ; 𝑥 − 1 ; 𝑥 ; 𝑥 + 1 ; 𝑥 + 2 sont les 5 entiers consécutifs avec 𝑥 ≥ 2 on veut :

(𝑥 − 2)

+ (𝑥 − 1)

+ 𝑥

= (𝑥 + 1)

+ (𝑥 + 2)

On développe : 𝑥

− 4𝑥 + 4 + 𝑥

− 2𝑥 + 1 + 𝑥

= 𝑥

+ 2𝑥 + 1 + 𝑥

+ 4𝑥 + 4

𝑥

− 12𝑥 = 0 soit en factorisant 𝑥(𝑥 − 12) = 0 soit 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 12

On choisit 𝑥 = 12 car 𝑥 ≥ 2

Les cinq entiers consécutifs recherchés sont : 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14

10²+ 11²+ 12² = 365 13²+ 14² = 365

Ex10. Clémentine est persuadée qu’il existe des solutions de l’équation (E) : 8𝑥³ + 14𝑥²− 2𝑥 − 3,5 = 0 dans l’intervalle [−1,5 ; 1,5 ].

Pour les rechercher, elle commence l’écriture d’un programme écrit en langage Python qui teste tous les nombres de −1,5 à 1,5 avec un pas de 0,25

a) Compléter les cadres par les instructions manquantes.

b) A-t-on résolu l’équation (E) avec ce programme ?

NON

on a testé les nombres de la suite

−1,5 ; −1,25 ; −1 ; −0,75 ; … ; 1,25 ; 1,5

donc il est possible d’avoir d’autres solutions qui ne soit pas dans cette liste.

c) Déterminer le nombre 𝑐 tel que pour tout nombre 𝑥

8(𝑥

− 0,25)(𝑥 + 𝑐) = (8𝑥

− 2)(𝑥 + 𝑐)

= 8𝑥

+ 8𝑐𝑥

− 2𝑥 − 2𝑐 = 8𝑥

+ 14𝑥

− 2𝑥 − 3,5

Par identification on trouve

−2𝑐 = −3,5 soit 𝑐 =

−2

=

4

d) En déduire la résolution de l’équation (𝐸).

8𝑥

+ 14𝑥

− 2𝑥 − 3,5 = 0 8(𝑥 − 0,5)(𝑥 + 0,5) (𝑥 +

4

) = 0 𝑥 − 0,5 = 0 OU 𝑥 + 0,5 = 0 OU 𝑥 +

4

= 0 Les solutions sont −0,5 ; −

4

= −1,75 ; 0,5

Ex12. Sur la figure ci-contre, 𝑥 désigne un nombre strictement positif.

Le disque et le rectangle ont le même centre et le cercle est tangente à deux côtés opposés du rectangle.

Déterminer la valeur exacte de 𝑥 pour laquelle le disque et la partie verte claire ont la même aire.

𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 = 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒 𝜋 × 𝑥

= 2𝑥 × 8 − 𝜋 × 𝑥

2𝜋 × 𝑥

− 2𝑥 × 8 = 0 𝜋 × 2𝑥 × 𝑥 − 2𝑥 × 8 = 0 2𝑥(𝜋𝑥 − 8) = 0

𝑥 = 0 ou 𝜋𝑥 − 8 = 0 𝑥 = 0 ou 𝑥 =

𝜋

La seule solution non nulle est

Ex11. Un ticket de tramway coûte 1,30 € sans abonnement.

Avec un abonnement annuel de 29 €, le même trajet ne coûte que 1 €.

a) Deux fonctions S et A écrite en langage Python figurent ci-contre.

Écrire un programme en langage Python, reprenant ces deux fonctions, qui calcule et affiche le nombre minimum de trajets à partir duquel l’abonnement est intéressant.

b) Retrouver ce résultat en résolvant une inéquation.

1,3𝑥 > 29 + 𝑥

⇔ 1,3𝑥 − 𝑥 > 29

⇔ 0,3𝑥 > 29

⇔ 𝑥 > ²⁹

0,3 ≈ 96,7 donc à partir de 97 trajets l’abonnement devient intéressant.