Hiérarchisation de modèles mal conditionnés lors des problèmes inverses en acoustique

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Submitted on 18 Jun 2015

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Hiérarchisation de modèles mal conditionnés lors des problèmes inverses en acoustique

Mathilde Griveaux, Vincent Martin

To cite this version:

Mathilde Griveaux, Vincent Martin. Hiérarchisation de modèles mal conditionnés lors des problèmes inverses en acoustique. Congrès Français d’Acoustique, Apr 2014, Poitiers, France. �hal-01165112�

Hiérarchisation de modèles mal conditionnés

lors des problèmes inverses en acoustique

Mathilde G

et Vincent M

Institut Jean Le Rond d’Alembert, 4 place Jussieu 75005 Paris

griveaux.m@gmail.com vincent.martin@upmc.fr

Motivation et introduction

Envisageons le champ acoustique rayonné par un jet turbulent en aéroacoustique. Cette modélisation s’appuie sur un modèle de rayonnement supposé. Lors d’un problème inverse, on souhaiterait déterminer le modèle de rayonnement le plus proche de la réalité. Disposant ainsi de plusieurs modèles est-il possible de les hiérarchiser afin de connaître le meilleur?

Les problèmes inverses en acoustique reposent souvent sur la connaissance de pressions mesurées et d’un modèle de propagation des sources aux microphones. Dès lors, les inconnues sont les commandes appliquées aux sources qui sont à

l’origine des pressions acquises. Prenons par exemple le rayonnement d’un tambourin où la pression est acquise par un réseau de microphones mobile. A la fin du processus, on obtient la vitesse modale de la vitesse de la membrane.

Il a été montré [1] que l’interprétation géométrique de problèmes inverses donne accès à un outil de hiérarchisation dans le cadre de modèles bien conditionnés et que cet outil ne dépend pas en théorie de la régularisation [2]. Il faut alors vérifier pratiquement que la régularisation de modèles mal conditionnés ne modifie pas leur hiérarchisation.

Contexte

Le problème direct en acoustique est défini par 𝑝 = 𝐸𝑣

où p est un vecteur de dimension m et v de dimension n. Quant à E, il s’agit d’une matrice m.n.

Le problème inverse correspond en général à un système surdimensionné (m>n) qui peut être résolu par une minimisation au sens des moindres carrés:

min

𝑣 𝐸𝑣 − 𝑝

2 dont la solution est

𝑣_𝑜𝑝𝑡 = 𝐸∗𝐸 −1𝐸∗𝑝 = 𝐸†𝑝

où E*et 𝐸†sont respectivement la transposée conjuguée et la pseudo-inverse de la matrice E.

La hiérarchisation s’appuie sur l’angle Ψ obtenu via l’interprétation géométrique du problème inverse (cf. figure ci-dessous), ainsi défini :

𝑐𝑜𝑠 𝛹 = 𝑝

𝑝 =

𝐸𝐸†𝑝 𝑝

où 𝑝 est la projection de p dans l’espace des pressions que la matrice E est capable d’engendrer.

Plus faible est l’angle Ψ, meilleur est le modèle considéré, parfait si Ψ = 0.

Cas étudié (cf. figures ci-dessous)

Les divers modèles à hiérarchiser sont inexacts dans leur forme mais certains dans la connaissance de leurs paramètres. Les pressions exactes sont engendrées par le modèle de référence E0, composé de 10 sources (3 dipôles orientés selon (Oy), 4 monopôles et 3 dipôles orientés selon (Oz)) et d’un réseau de 20 microphones.

Bilan de la simulation et une interprétation possible des résultats

La hiérarchisation pré et post-régularisation est conservée (cf. figures ci-après). Le modèle E1 est le plus proche de la situation de référence E0 (𝛹₀ = 0) tandis que la configuration E3 est la plus éloignée. Le rayonnement dans le modèle de référence est surtout dû aux 3 dipôles orientés selon (Oy) et les 4 monopôles. E3 est le modèle le plus aberrant car aucune source ne peut rayonner notablement dans la direction des microphones. Le modèle E4 est le plus proche de E0 car l’agencement des sources entre les 2 modèles est presque identique (2 monopôles remplacent respectivement un dipôle orienté selon (Oy) et un autre orienté selon

(Oz)). Quant aux modèles E1 et E2, l’ensemble des sources (vu par le réseau de

microphones) peuvent rayonner, ce qui est ici un inconvénient. En effet, pour se rapprocher de la configuration de référence les 3 dernières sources doivent rayonner peu dans la direction des microphones tandis que les 7 autres doivent rayonner. Ces 2 configurations ont en commun le rayonnement possible des sources centrales. Le modèle E1 est plus proche de E0, car il est également constitué de 4 monopôles centraux.

Conclusion

La régularisation intervient dans l'espace des vitesses mais pas dans celui des pressions. L’angle Ψ, dont la définition est acquise par voie géométrique du problème inverse, permet de hiérarchiser des modèles inexacts et certains. Après hiérarchisation disposant d’un modèle le mieux adapté à la pression mesurée, l’étape suivante consiste à qualifier la qualité des vitesses des sources identifiées.

Références

1. V. Martin, J.R.F. Arruda, P.A.G. Zavala, Ranking of uncertain models in presence of erroneous objectives in inverse acoustic problems, 11th _{International Conference on Vibration Problems, Lisbon (2013).}

2. V. Martin, The fundamental elements in certain inverse acoustic problems: their roles and interactions, J. Braz. Soc. Mech. Sci. & Eng. vol.34 no.spe2, Rio de Janeiro (2012).

3. A. Deneuve, P. Druault, R. Marchiano et P. Sagaut, A coupled time-reversal/complex differentiation method for aeroacoustic sensitivity analysis: towards a source detection procedure, J. Fluid Mech., vol. 642, pp. 181–212, (2010). 4. T. Le Bourdon, Interprétation géométrique de l’holographie acoustique de champ proche: utilisation pour l’adaptation du propagateur, thèse, UPMC, Paris (2009).

5. P. C. Hansen, Rank-Deficient and Discrete ill-Posed Problems, Numerical Aspects of Linear Inversion, SIAM, (1998).

La régularisation d'un modèle mal conditionné s'effectue en contrôlant par un paramètre ε le résultat recherché lors de la minimisation de la distance entre la pression mesurée et rayonnée théoriquement:

min

𝑣 𝐸𝑣 − 𝑝

2 _{+ 𝜀 𝑣} 2 dont la solution est

𝑣_𝑜𝑝𝑡 = 𝐸∗𝐸 + 𝜀𝐼 −1𝐸∗𝑝

Après régularisation, le modèle 𝐸_𝜀 [2] est défini par: 𝐸_𝜀 = 𝑈Λ_𝜀𝑉∗. Les matrices U et V sont obtenues par décomposition en valeurs singulières de E i.e. E=UΛV* [5]. L’angle 𝛹_𝜀 est défini à partir du modèle régularisé tel que

𝑐𝑜𝑠 𝛹_𝜀 = 𝐸𝜀𝐸𝜀 †_𝑝 𝑝

Il est alors remarquable que 𝛹_𝜀 ne dépend pas de ε [2], i.e. 𝛹_𝜀 = 𝛹 ∀𝜀.

Modèles à hiérarchiser (de haut en bas et de gauche à droite): E1, E2, E3 et E4.

Modèle de référence E0.

Réseau de microphones. Jet turbulent en aéroacoustique [3].

Vision concrète d’un problème inverse [4].

Visualisation géométrique du problème inverse.