Erratum. Quelques remarques sur le $u$-invariant

JOURNAL DE

THÉORIE DES

NOMBRES DE

BORDEAUX

B. K

AHN

Erratum. Quelques remarques sur le u-invariant

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome 3, n

o

_{1 (1991), p. 247}

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247

Erratum.

Quelques

remarques

sur

le

u-invariant

par B. KAHN

Pasquale

lB1ammone et Jean-Pierre

_Tignol

m’ont

_signalé

une lacune dans la démonstration de

_[1],

_proposition

_{2,3) :}

à la

_première

_ligne

de la _page

159,

l’algèbre

A

_pourrait

ne _pas être

produit

tensoriel de 3

algèbres

de

quaternions ;

pourrait

donc être à division. Par

_conséquent,

l’énoncé

de Ioc. cit. est

_peut-être

incorrect.

Cette erreur se

_présente

aussi au

_paragraphe

suivant :

_l’algèbre

_générique

d’exposant

2 et de

_degré

2"~’ n’est _pas

_produit

tensoriel

_{d’algèbres}

de

quater-nions dès _que m &#x3E; 3.

Pour clarifier la

_situation,

il faut introduire un troisième invariant

A~(.F) :

a"(F)

=

supIA"lil

existe un _corps

gauche

de centre

F, d’exposant

2 et de

_degré

_{2~‘~~ ~ .}

Il est évident _{que pour} tout _corps F on a

~l‘(F) a"(F) A(F).

De

plus,

les

_arguments

de

_[1]

démontrent en fait le résultat suivant :

Proposition.

I~

Il existe une fonction

f

telle _{que, pour tout corps}

F,

on ait

Il semble

_{possible qu’on puisse}

choisir

_{f (n) = 2"~-1.}

_J’ignore

s’il existe un _corps F tel _que

A’(F)

soit fini et

_À(F)

infini.

_D’après

_[1],

_prop. 2

₂₎

et th. 3

_a),

il faut _pour cela _que

_{a~(F) &#x3E;}

3 et

_{cd2(F) &#x3E;}

3.

RÉFÉRENCE

[1]

B. _{KAHN, Quelques remarques} sur le _u-invariant, Sém. Th. des Nombres Bordeaux