Opérations sur les mots de Christoffel

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

É

RIC

L

AURIER

Opérations sur les mots de Christoffel

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

11, n

o

_{1 (1999),}

p. 111-132

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Opérations

sur

les

mots

de Christoffel

par

ÉRIC

LAURIER

RÉSUMÉ. On _peut définir la _pente d’un mot écrit avec des 0 et des 1 comme le nombre de 1 divisé par le nombre de 0, et

_{généraliser}

cette définition aux mots de

_longueur

infinie. Considérant le lien entre les mots de Christoffel et les fractions _continues, on se

pro-pose d’étudier le comportement de tels mots

_lorsqu’on

additionne

leurs _pentes, ou

_qu’on

les

_multiplie

_par un entier

_positif.

Après

un bref _exposé des différentes notions liées aux mots

de

_Christoffel,

l’étude de la somme et de la

_{multiplication}

sont

présentées sous forme

_{d’algorithmes}

_permettant de connaître au

mieux le mécanisme de ces _opérations.

ABSTRACT. The

_slope

of a finite sequence of 0 and 1 can be

de-fined as the number of 1 divided

by

the number of 0 and it is

possible

to

_generalize

this definition to infinite _sequences.

Con-sidering

the link between Christoffel words

_(or

characteristic

se-quences)

and continued

_fractions,

we

_study

the behaviour of such words when

_adding

their

_slopes,

or

_multiplying

them

_by

a _positive

integer.

After an outline of the different notions around Christoffel

words,

the sum and

product

are introduced as

_algorithms

per-mitting

to understand the mechanism of these _operations as well as

_possible.

On se _propose de construire des

algorithmes

donnant le mot de

Christof-fel

_primitif

dont la

_pente

est la somme de celles de deux autres mots de

Christoffel

_donnés,

ou bien le

produit

de celle d’un mot _par un entier. Les

algorithmes

présentés

ici concernent surtout

_l’aspect

_théorique

des mots de

Christoffel,

sans aucune recherche de

performance.

Concernant

l’addition,

on construit

d’abord,

_par une

_procédure

d’addition naïve des mots de

Christoffel,

un

premier

mot de

Lyndon

dont la pente est effectivement la

somme des _pentes

données, puis

une suite strictement croissante de mots de

_Lyndon

dont le dernier terme

_(ou

la

_limite)

est le mot de Christoffel recherché. La

_{multiplication}

par un entier consiste à construire _{pas à pas} le résultat en faisant intervenir des intervalles non standard et des matrices de transformations

_planes.

Ces

_algorithmes

sont fondés sur certaines

propriétés

et observations

_qui

sont résumées

_ci-après

et

_{développées}

dans cet article sans les _{preuves :} nous _renvoyons le lecteur à

[10]

_pour

l’exposé complet

de ces notions.

Les mots de

_Lyndon

_peuvent

être construits sur des

alphabets

de

_plus

de deux

_lettres,

ce sont les mots

_qui

_pour l’ordre

_{lexicographique}

sont

supérieurs

à leurs suffixes. Pour une

_pente

donnée,

il existe un

_unique

mot

de

_Lyndon

maximal _pour l’ordre

_{lexicographique,}

c’est le mot de Christoffel de ladite

_pente.

_Depuis

Bernoulli

₍₁₇₇₂₎

et Christoffel

_(1875),

les mots de Christoffel ont été étudiés récemment

_(voir

_{[1], [2], [3], [5], [8]),}

ceux de

pente

quadratique

ayant

fait

_l’objet

d’une attention

_{particulière.}

On _peut facilement _passer d’un mot de Christoffel à la fraction continue de sa _{pente :}

l’idée est donc d’utiliser les mots de Christoffel _{pour permettre} un nouvel

éclairage

de l’addition des fractions continues.

Les mots de Christoffel

qu’on

définit ci-dessous par récurrence sont des éléments de

_{{0, 1}*,}

où

_{~0, 1}*}

_désigne

l’ensemble des mots sur

l’alphabet

f 0, 11 .

On trouvera une

_{description complète}

de ces

_mots,

introduits

dif-férement,

dans

_{[11, [2], [8]}

et d’autres résultats dans

_[3].

Si

_f

est un mot de

{O, 1} *,

on note

_fo

le nombre de 0 de

_f

et

_{f 1}

le nombre de

_{1 ;}

_{p( f )}

=

f 1 / f o

est la _pente de

_{f ;}

On

_{peut représenter}

un mot sur le réseau des

_points

à coordonnées entières du

_plan,

en

_partant

de

_{l’origine :}

0

_correspond

à un

pas horizontal vers la

_droite,

1 un _pas vers le

_haut,

et ainsi la

_pente

du mot

_prend

tout son sens. On entend _par déterminant d’un

couple

de mots

(f,g)

l’entier

_det(f,g)

=

fog, - 1190.

On

dispose

des

propriétés

habituelles

du

_{déterminant,}

en

remplaçant

l’addition _par la concaténation. Enfin

_{f g}

représente

la concaténation de

_f

_{et g ;}

_{f n}

_{= f f ... f , n}

_{fois ;}

si

_f

_{=uv, u est}

un

préfixe

de

f

et v en est un suffixe.

Les mots de Christoffel sont définis comme suit : les mots 0 et 1 sont

des mots de

_Christoffel,

_puis

si

_f

_{et g}

sont deux mots de Christoffel tels que

det( f, g)

= 1 alors

f g

est un mot de Christoffel et tous sont obtenus de

cette manière.

_{Réciproquement,}

il existe une

_{unique façon}

d’écrire un mot

de Christoffel

_f

différent de 0 et 1 sous la forme

f

= où

(fy,

fâ)

est

un

_couple

de mots de Christoffel de déterminant 1 : cette écriture

_s’appelle

la factorisation standard. La notion de factorisation standard existe aussi pour les mots de

_Lyndon,

en

_prenant

fy

de

longueur minimale ;

si de

plus

cette factorisation minimise le

_{déterminant,}

on

parlera

de factorisation de

Christoffel.

L’ordre de IE8 induit via les

_pentes

un ordre sur l’ensemble des mots de

Christoffel,

ordre

_qui

coïncide avec l’ordre

lexicographique :

si on consi-dère deux mots de Christoffel

_f

_g,

_{( f , g)}

détermine un intervalle de

IIB,

et

_lorsque

_{det ( f, g)}

= 1 _on

parlera

d’intervalle standard.

_Lorsque

_{(f, 9)}

est

standard,

[p(/), p(g)]

est un intervalle de

Farey.

Si h est un mot de Christof-fel _appartenant à l’intervalle standard

_{( f, g)}

alors h s’écrit de manière

_unique

avec

f

_{et g}

où

_f

_{et g}

_peuvent être considérés comme des lettres.

Récipro-quement si k est un mot de Christoffel et si dans k on

_remplace

0 _par

_f

et 1 _{par g} on obtient un nouveau mot de Christoffel

_appartenant

à

_(f,g).

De manière

_générale

on _peut définir la notion de substitution standard de

l’intervalle standard

_{( f , g)}

vers l’intervalle standard

(h,1~) :

_l’image

d’un

mot est obtenue en substituant h à

_f

et k

_{à g ;}

il est clair

_qu’on

obtient un

mot de Christoffel. Si k est

_l’image

de h

appartenant

à l’intervalle standard

( f, 9)

par la substitution standard

envoyant

( f, g)

sur

(u, v)

on dira que

p(k)

est

_l’image

de la

_pente

de h et que la fraction continue de

_p(k)

est

_l’image

de celle de

_p(h)

_par

_{( f ~}

_v).

Ces différentes notions sont

_reprises

dans

_[10]

en construisant les mots de Christoffel de manière

_{indépendante}

_{géométriquement puis}

en utilisant la récurrence.

1. MOTS RÉDUCTIBLES

On considère

_{(figure 1)}

le chemin du mot 011 et on divise le _pas de la

grille

par 4. Ensuite on dessine le chemin

_joignant

les extrémités de 011 en

passant

au

plus

_près

de sa

_pente

sans la rencontrer : on obtient alors le mot

010110110111. Le théorème suivant donne des conditions _pour

_qu’un

mot

quelconque

soit le résultat d’une telle

_opération.

Figure

1 : division du pas de la

grille

par 4.

Théorème 1.

_{Soient s, t, u}

et v

_quatre

mots de

_Christoffel

_primitifs

non

vides tels _{que st} = _~uv. On _pose n =

det(s, t).

Alors :

(1) det(u, v) = det(s,t)

= n.

Notation et

_{terminologie.}

Si

_f

= uv = st on dit _que

f

est "réductible"

et on _pose

f ;n

= _m.

Preuve. On pose

f -

st = _uv = u2,vt _en

_supposant

que u est

plus

court

que s et

qu’ainsi v

est

plus

long

que t.

D’après

la méthode

permettant

de retrouver une fraction continue à

partir

de son mot de

_Christoffel,

uw

appartient

à l’intervalle standard

_{(u, U8)}

et wt à

_(t7’

_t).

Ainsi il existe deux mots de Christoffel

_primitifs

u’ et

_t’,

_{respectivement}

suffixe et

_préfixe

de _w,

maximaux _pour la

_longueur,

tels _que uw soit dans

(u, u’)

et wt dans

_(t’,

_{t) .}

Démonstration de

_{( 1 ) .}

Le mot w ne

_peut

finir _par uu’ car

(u,

uu’)

est standard et contiendrait uw, et cela contredirait le caractère maximal de u’ . Ainsi w finit _par u’u’ donc commence

par u’

car uw est de Christoffel. Pour les mêmes

_{raisons, w}

finit _par t’ .

Donc,

t’,

préfixe

maximal de w, commence _par u’ et u’ finit _par

_t’,

d’où

u’ =

t’,

_{et on}

pose alors m = u’ = t’.

Ainsi,

_uw

appartient

à l’intervalle

standard

_{(u, m)}

et wt à

_{(m, t),}

ce

_qui

signifie

_{que w est} de la forme

mi

et

alors :

. , , .",: ., ...,,-,

Finalement,

det(u, v) = det(s, t)

= n.

Démonstration de

_(2).

_Quitte

à

_changer

les

_notations,

on

_peut

main-tenant supposer que m n’est ni un suffixe de u ni un

préfixe

de t. Montrons alors _{que u} =

mq et v = _m8.

Tout

_d’abord,

on constate que la

_pente

de m est la même _que celle de

_{f :}

det( f, m)

=

det(uwt, rn)

=

det(u, m)

+

_{det(t, m)}

= 1 - 1 = 0.

Démonstration de

_(2).

Nous sommes alors dans la situation de la

_figure.

Il est donc clair _que

l’aire du

_{parallélogramme}

induit _{par u et t est} la même que celle du

standard. On constate d’autre _{part que} m = _{ut et} l’unicité de la

factorisa-tion standard _permet d’obtenir u =

m’Y et t =

m8.

Ainsi,

f

est de la forme

m’Ymvm8,

et :

d’où v = n - 1 ce

_qui

termine la démonstration.

Corollaire 1. S’oit u un mot de

Lyndon

dont la

factorisation

de

Christof

fel

est u =

f g

où

f

et g

sont des mots de

_Christoffel

_primitifs

tels _que

det ( f , g)

= n &#x3E; 1. Alors u est un mot réductible.

Preuve. Le mot u ne

_peut

être un mot de Christoffel car

det(f, g) =

n &#x3E; 1. On ne _peut avoir simultanément

_f

= 0

et g

=

1,

supposons donc que

f

soit

différent de 0

_alors,

comme

f

est le

_{plus petit}

mot de

_Lyndon

minimisant

le

_{déterminant,}

_{det ( f , g)}

= 1 _or

det ( f , g) _

donc 1

_{d’où g}

E

_{( f , f a ) .}

_Finalement,

g #

1 _{et par} un raisonnement

analogue,

1 : si 1

alors f

e

_{(g,~, g)}

donc

_{f - g}

ce

_qui

est

_{absurde ;}

donc

_{det( f ,}

= 1 _et

ainsi

_{(f, g,)}

est standard donc h =

f g,y

est un mot de Christoffel et ainsi

u =

f g

=

hgc5

d’où u est réductible par le

précédent

théorème.

Mots réductibles

_{généralisés.}

On souhaite trouver le mot de Christoffel

primitif

m de même _{pente que} le mot

_f

=

aibick

où

(a, c)

_{est un} intervalle

standard et b = _ac. La

pente

de m est liée à la fraction continue de

_{m :}

on _peut utiliser

_{l’algorithme}

d’Euclide.

Mais si i et k sont strictement

_supérieurs

à

_1,

on reconnait dans

_f

le

mot réductible

abic

_que l’on _peut

_remplacer

_par

_b~+l,

et on recommence

l’opération

autant de fois

_qu’il

le faut

_jusqu’à

obtenir i et

sinon. Si k = i alors _m

= b,

sinon dans le _cas où k _&#x3E; t _on

pose

a

contraire, a’ =a,

c’ =

b,

b’ =

l ,

k’

=j+k-1 puis

on recommence avec le nouveau Le mot

_f

est de

_Lyndon,

à

_chaque

_étape

on obtient un mot de

_Lyndon

strictement

_supérieur

à celui

de

_{l’étape précédente, Chaque}

mot de

_Lyndon

est

_majoré

_par m

qui

est

le mot de

_Lyndon

maximal de la bonne

pente.

On a construit une suite strictement croissante et

_majorée

de mots de

_Lyndon,

et on obtient alors le

mot m recherché au bout d’un nombre fini

d’étapes.

Considérons

_l’exemple

de

_f

= 0001111 =

02(01)113 :

0011 _est

réductible,

on le

remplace

_par

0101,on

obtient 0010111 où

0(Ol)21,

réductible,

est

rem-placé

par 010101 et alors 0101011 est le mot de Christoffel

primitif

de même pente que

f .

Cet

algorithme

est

plus rapide

que

l’algorithme

d’Euclide,

car

pour ce dernier tout se _passe comme si on

partait

_{systématiquement}

de

a

Nous

_appellerons

les mots de la forme "mots réductibles

généra-lisés".

2. FORMULES DE RÉCURRENCE POUR LES MOTS DE LYNDON Soit

_f

un mot de

_Lyndon

de

_pente

r rationnelle. On _propose ici un

algorithme

permettant,

à

_partir

de

_{f ,}

de construire le mot de Christoffel

primitif cp

de

_pente

r. Tout

d’abord,

soit

(a, c)

un intervalle

_standard,

on

pose b = _ac. Soit

£C(a, c)

l’ensemble des _mots de

Lyndon

s’écrivant _à l’aide

de a _{et c,} c’est-à-dire

_l’image

de l’ensemble des mots de

_Lyndon

sur

tO, 11

par la substitution 0 H _a, 1 e _{c, et où} l’on

_remplace

l’occurrence ac _par

b. Enfin si

_f

est un mot de

Lyndon

de

{0,1}*

on

_désignera

_par

_{f =}

_f7

_{f 8}

la factorisation de Christoffel. On considère donc

_{l’application P}

de

_{£(a, c)}

dans

_{£ (a, c)}

telle _{que :}

~

_L’image

_{par $}

d’un _mot de Christoffel _est le _mot de Christoffel

_primitif

de même _pente.

L’image

par P

du mot réductible

_{généralisé}

ailJick est

le mot de Chris-toffel obtenu en

remplaçant

0 _{par a et} 1 _par c dans le mot de Christoffel

primitif

de

_pente

~ Puis _par

_récurrence,

_l’image

_{par $}

_{du mot de}

_Lyndon

_f

_{en fonction}

de

_f7

et

_J8

est :

Théorème 2. Soit

_f

un mot de

_Lyndon.

Alors est le mot de

Christof-fel

primitif

de même

_pente

_que

_{f .}

Preuve. En

_premier

lieu

_{puisque (D}

_n’agit

sur les _{mots que par}

_permutation

de

_paquets

de 1 et de

_0,

il est aisé de voir

_{que 4l}

conserve les

_pentes.

Avant

de

_poursuivre

la

_{démonstration,}

faisons une _remarque sur l’utilisation des

arbres _pour

_représenter

les mots de Christoffel ou de

Lyndon.

On écrit le

mot de

_Lyndon

_f

de la manière suivante :

f

=

01~

(Ol)~11~1022 (O1)~21~2...OZn (01)1-

1~n

avec éventuellement des

_{ip, jp}

ou

_kp

nuls. On factorise

f

_puis

fq,

f~,

_fqq,

etc, autant de fois _que

_possible

et il est clair

_{qu’à chaque}

factorisation on

ne _coupe de

_paquet

_Oip(01)jp1kp

_que

_lorsqu’il

constitue le mot à factoriser.

En

_effet,

ce sont les extrémités du chemin

_{géométrique}

de tels

_paquets

_qui

minimisent la distance du chemin du mot à factoriser à sa

_pente.

On obtient

Ainsi

_chaque

extrémité de l’arbre est soit un mot de

_Christoffel,

soit

un mot réductible

_{généralisé,}

donc on obtient en factorisant le moins loin

possible :

où mi, m2 et mn sont des mots de Christoffel

primitifs

ou réductibles

généralisés.

On

_appellera

cet arbre

_A(f).

Il est clair

_{qu’appliquer -*}

à

_f

induit dans un

_premier

_temps

la

construc-tion de

_{,A( f ).}

D’autre

part,

soit u un mot de

_{(q, 61 *}

tel _que

_fu

soit un noeud

de

_{~4(/) :}

si alors les deux sous-arbres

_{correspondants}

à

Ary

et

_fu8

sont

_échangés,

car c’est le deuxième

point

de la récurrence dans la définition de I&#x3E;

_qui

intervient. Cela a _pour

_conséquence

de réordonner

,A( f ).

Supposons

donc que

A( f )

soit ordonné.

On _prouve le théorème _{par récurrence} sur la

_longueur

de

_{f .}

Si

_f

est le

mot

_0,

1 ou même

_01,

il

_n’y

a rien _{à prouver.} On _suppose donc _que si

f

est

un mot de

_Lyndon

de

_longueur

au moins

égale

à

_3,

_{alors g}

est un mot de

Lyndon

de

_longueur

strictement inférieure à celle de

_f

_implique

_que

_lF(g)

est le mot de Christoffel de même

_pente

_{que g.} Donc en

_particulier

et

sont des mots de Christoffel de même

_pente

_que

_{respectivement}

_f.y

et

fâ, puis

par suite est un mot de

_Lyndon

de même

_pente

Si la factorisation de Christoffel de

~Yo

donne deux mots de

_Christoffel,

alors on

applique

le corollaire

_1,

donc est le mot de Christoffel de même

_pente

_que

_{f .}

Sinon l’un des deux n’étant _pas de

_Christoffel,

il sera strictement inférieur à son

_image

_par

_ib,

donc &#x3E; On recommence

le raisonnement avec

~Y1

= On obtient ainsi de

proche

en

_proche

une suite strictement croissante de mots de

_Lyndon

_f

_~Yo

Wi

~Y2

... où Cette suite est

majorée

par

le mot de Christoffel de même

_pente

_que

_{f :}

donc il existe un entier k tel

que

Wk

est ce mot de

_Christoffel,

et ainsi

_{Wk =}

La _preuve est alors

complète.

Algorithme

non récursif. La démonstration

précédente

_permet

d’explici-ter un

_algorithme

itératif calculant

(D(f) :

il suffit de construire

.A( f ),

de

permuter les sous-arbres là où c’est

_{nécessaire, puis}

de

_proche

en

proche

de

_remplacer

les mots réductibles

_{généralisés}

par leur mot de Christoffel. Considérons _pour cela

_l’exemple

suivant.

Ce

_qui

donne le

_premier

arbre de factorisation

_ci-après.

Puis on substitue

les mots de Christoffel aux mots réductibles :

On obtient le second arbre suivant

V ..L ..L ..L

Voici maintenant le dessin

_{correspondant}

à cet

_exemple.

Le

_remplacement

des différents mots réductibles

_{généralisés}

se traduit _par une rectification

du chemin

_{correspondant}

au mot de

_Lyndon

de

_{départ :}

le mot se

"déplace"

ainsi vers sa _pente d’une ou

plusieurs

_cases,

_marquées

de différentes couleurs

suivant les

_étapes.

La couleur numéro 1

_correspond

au

remplacement

de 0011 _par 0101

_puis

on a substitué 01010101 à 00101011

(couleur

numéro

2) ;

ensuite 0101010101101011 à 0101010101010111

_(couleur

numéro

_{3) ;}

enfin les couleurs 4 et 5

_{correspondent}

aux deux dernières substitutions

effectuées.

Figure

2 : calcul du mot de Christoffel

Le résultat est le mot 0101010101010101011.

3. ADDITION DES MOTS DE CHRISTOFFEL

Le but

_qu’on

se fixe est de

_comprendre

comment se traduit l’addition des

nombres en termes de mots de Christoffel. On se fonde sur une

interpréta-tion naturelle de cette addition _pour construire

_{l’algorithme.}

3.1. Etude

_{préliminaire.}

L’idée de base visualisée sur la

_figure

3 est _que,

si les deux _pentes

_{correspondant}

aux deux nombres à additionner sont

don-nées par

l’hypothénuse

de deux

_{triangles rectangles}

de même base

_d,

alors la somme de ces

_pentes

est donnée _par le

_{triangle rectangle}

de base d dont

Figure

3 : addition des _pentes.

Il est donc

_permis

de _penser

_qu’on

_peut,

à

_partir

de deux mots de

_Christoffel,

construire facilement un mot dont la

_pente

est la somme de leur

_pente,

et

ayant

de bonnes

_{propriétés.}

On veut donc additionner deux mots de Christoffel : choisissons-les

_finis,

en considérant des

_pentes

rationnelles

positives.

Quitte

à réduire les

nom-bres concernés au même

_{dénominateur,}

on

_peut

_supposer

_qu’il

est

_identique

pour les deux. On considère

l’application :

où

_{f Q9 g}

est construit _{par récurrence} comme suit :

dès lors

_{que f’}

et

_g’

sont des suffixes de

_f

_{et g}

_{commençant par} 0.

On construit alors les mots de Christoffel _{pi et p2}

_{correspondant}

aux deux _{pentes ; ~p1} et _{p2 sont} finis mais non nécessairement

_primitifs.

Ils ont

bien entendu le même nombre de 0. On _{pose cr} =

cpl EB p2 et on

désigne

_par cp le mot de Christoffel de même

_pente

et de même

_longueur

_que ~. Le but

que l’on se fixe est de construire à

_partir

de un mot

_{plus proche}

de _p. Le mot o’ est bien celui recherché : _pour

_chaque

0 de _{cp1 et p2} on additionne

les 1

_qui

suivent

_{(figure 4)}

et ainsi on retrouve la bonne _pente, car les aires

proche

de _p.

Figure

4 : addition. 001001001 C 0010100101 = 0011010101011.

Le but est donc d’étudier les

_propriétés

de o- afin de construire un

_algorithme

corrigeant

or en

_respectant

ces

_{propriétés,}

et ce de la

façon

la

plus

naturelle

possible.

Montrons d’abord _que,

_{géométriquement,}

_pour

_chaque

colonne

d’une unité de la

_grille,

il _y a au

plus

une case de différence en hauteur

entre le chemin

_{correspondant}

à cr et celui lié _{à p.}

Lemme 1. Soient

_{a’, cp’}

des

_préfixes

de _{a, ’P} tels _que les

_suffixes

correspon-dants commencent

_{par D,}

et tels _que

_a§

= Alors 0

p(c,o’) - p(~’)

2/D,

D étant le nombre de 0 de a’ et

Preuve. Soient

_cpi

et

_cp2

les

_préfixes

de _{cpl et W2}

_ayant

le même nombre de 0 que cr’ ou dont les suffixes

correspondants

commencent aussi _par

0 : alors il est clair Comme _{cpl et p2} sont des mots de

Christoffel,

les

pentes

de

_cpl

et

_cp2

sont

_{respectivement}

inférieures à celles

de _pi et _{p2 :}

_ainsi,

_par définition de _(D, la

_pente

de a’ est inférieure à celle de

_cp’

ce

_qui

_prouve la

_première

inégalité.

S’agissant

de la seconde

_inégalité,

si on utilise le fait _que,

géométrique-ment, entre une _pente donnée et le chemin

_{représentant}

son mot de Christof-fel

_primitif,

ne _peut tenir une case entière de la

grille :

donc,

en additionnant :

La seconde

_inégalité

est alors

_prouvée.

3.2. Correction des erreurs. Le mot cr

_peut

être

_interprété

comme étant

le _{mot Sp} entaché d’erreurs et nous allons utiliser les

algorithmes

_exposés

dans les

_paragraphes

_précédents

_pour les

_corriger.

Lemme 2. Soient

_f

_{et g} deux mots de

_Lyndon,

alors

_f

EB _{g est} un mot de

Lyndon.

Preuve. On _remarquera d’abord _que, si u est l’itéré d’un mot de

_{Lyndon v}

et si u’ est un suffixe de u alors soit u’ est itéré de v et u’ u, soit ce n’est

pas le cas et u u’.

On pose s =

f

(B g, S =

SlS2 et on _{suppose que}

f EB

_{g =}

f a

0

gb

où

pgcd(a, b) -

1. Si S2 commence _{par 1} alors S2 &#x3E; s car s commence _{par 0.} On

peut

donc _{supposer que} S2 commence _{par 0. En}

_{conséquence,}

_{s 1} =

fi

et _{s2 -}

_{f 2 ®}

_{g2, où}

_{f a -}

_{f 1 f 2}

et

gb

=

9192,

f 2

et 92 commencent par

0,

(fi)o

Premier cas. Soit

_f2,

soit _{92 est} un itéré

_{respectivement}

de

f

ou _g.

Comme 0 est

_commutative,

_{supposons que}

_{f 2}

= Ainsi

puisque

a et b sont

_premiers

_{entre eux, 92} n’est pas un itéré

de g

et on

_peut

alors _{poser :}

où k est éventuellement vide

_(on

sait par ailleurs _{que 92} commence _par

0).

Soit enfin F le

_préfixe

de

_{f °~~}

tel _que

Fo

=

ko.

Ainsi :

Il

_apparaît

alors _que

_{1 EB}

_g

_{f2 +}

_g2, Soit S 82.

Second cas. Ni

f2,

ni ₉₂ ne sont des itérés

_{respectivement}

de

_f

et _g.

On _{suppose que} le

_préfixe

maximal pour le nombre de 0 commun à

_f

et

_f2

contient moins de _{0 que} celui commun

_{à g}

_{et g2.} De manière

analogue

au

premier

cas, on

_peut

_{poser :}

où Ji et k sont éventuellement

_{vides ;}

Il _apparaît encore _que

_{1 EB}

_g

_{12 EB}

_gz, Soit S _S2. Dans tous les cas,

1 EB 9

est donc un mot de

_Lyndon.

Ainsi Q est un mot de

_Lyndon,

et on utilise les

_algorithmes

_précédents

pour le

corriger.

3.3. Lien entre la

_{multiplication}

par 2 et

l’algorithme

d’addition. On note

_{2 f}

le mot de Christoffel dont la _pente est le double de celle de

_{f .}

Lorsqu’on

calcule

_{f g,}

la factorisation standard en

f

et g conserve un sens de

_façon

évidente : en

_effet,

= On

corrige

et

ce

_qui

donne

2 f

et

_{2g :}

si

_{(2 f , 2g)}

est standard alors

_{2( f g)}

E

_{(2 f , 2g)}

donc

_{2 f}

et

_{2g apparaissent}

dans

_{l’algorithme}

de correction des erreurs : cela

signifie

que

1 EB

f

et 9 EB 9

ont été

_corrigés

sans interférence entre les deux mots.

De

_même,

dans le cas où

_{(2 f, 2g)}

n’est _pas

_standard,

_{«2f 2g):2),y}

et

( (2/2~)~)~

doivent

_apparaître

dans

_{l’algorithme,}

donc

_2f

et

_2g

aussi. La

seule interférence entre

_{2 f}

et

_2g

est alors le calcul de

_{(2f 2g):2.}

On cherche des formules de récurrence à l’aide de gb.

. si

f

_{ou g} a un nombre

_pair

de 0 alors

(2 f, 2g)

est standard :

e _sinon

_{(2 f , 2g)}

_est réductible :

Ainsi on retrouve les formules du lemme.

3.4. Conclusion : cas des réels. Les mots de Christoffel

_{correspondant}

aux _pentes irrationnelles sont infinis.

_Malgré

_tout, la formule de récurrence

permettant

de définir

_{f ®g,}

où

_f

_{et g}

sont deux mots de Christoffel de _pente

irrationnelle,

reste valable mais il n’est évidement pas

possible

d’obtenir le mot

_corrigé

en un _temps fini. Il faut donc

_tronquer

_f

_{EB 9} de sorte _que

le

_préfixe

restant soit un mot de

_Lyndon,

et on obtiendra une valeur _par

défaut, puis,

pour obtenir une valeur _par

_excès,

sachant _que là où on _coupe

il

_peut

_y avoir une _erreur, on

_ajoute

où ri et r2

désignent

les

pentes

de

_f

_{et g.}

Si

_n/â

est le rationnel obtenu par

défaut,

la différence entre les deux valeurs obtenues est de l’ordre de

_1/d

donc tend vers 0

_lorsque

la

_longueur

4. MULTIPLICATION D’UN MOT DE CHRISTOFFEL PAR UN ENTIER A

_partir

d’un intervalle standard

_auquel

_appartient

un mot de

_Christoffel,

on cherche un autre intervalle standard le

_{plus petit possible}

contenant le

mot de Christoffel dont la

_pente

est un

multiple

entier de celle du mot donné. Plus

_{généralement,}

on établit un

algorithme

_permettant

de calculer ce

multiple,

en utilisant à la fois les mots de Christoffel et les fractions

continues.

Il existe

_déjà

des

_algorithmes

_permettant

de tels calculs : voir notamment

(4~, ~6~, [9]

et

_[14].

Nous _proposons un nouvel

algorithme

_qui

_peut

être

con-sidéré comme un

algorithme

de

multiplication

tant des fractions continues

que des mots de Christoffel.

4.1. Etude de

_quelques

cas

particuliers.

Lorsqu’un

mot de Christoffel g a _{pour pente n} fois celle d’un autre mot de Christoffel

_f

on dit

_qu’on

a

multiplié f

_par n et on

_{note g}

=

n f .

On connaît des formules

simples

permettant

de calculer

_{2 f}

et

_{3 f}

_{par récurrence à}

_partir

de

_{f .}

Nous avons

vu dans le

paragraphe

précédent

les formules de

multiplication

_par 2 :

où

_{( f , g)}

est un intervalle standard.

Dans le cas de la

multiplication

_par 3 on obtient des formules similaires :

pour

plus

de détails voir

[9] ;

multiplier

par 4 revient à

multiplier

deux fois

par

2 ;

pour la

multiplication

par un nombre

premier

_p

supérieur

ou

égal

à

5,

on ne

dispose

_{pas de} formule de récurrence

générale

car on ne

_parvient

pas à trouver d’intervalle standard

dépendant explicitement

de

p f

et pg :

considérer par

exemple

5 x

_{[1; 3, 1, ..., 1, ...~ ]}

_(voir

_~9~).

4.2. Fractions continues à

_{grands quotients}

_partiels.

Dans le cas des

fractions continues dont les

_quotients

_partiels

sont suffisamment

_grands,

on

peut

obtenir un

algorithme s’apparentant

aux formules de récurrence

ci-dessus. Soit

_{( f,}

_g)

un intervalle standard et soit u e

_{( f , g)}

dont

_l’image

de la fraction continue _par

_{( f}

~

_{0, g H}

1)

est

_[a;

_b,

_...].

_Supposons

_que a et b soient

_supérieurs

strictement à un nombre

_premier

_p

_impair,

_par

lequel

on veut

_multiplier

u. Posons h =

f ga

et k =

( f ga)bg :

alors

_l’image

de la

fraction continue de h _par

_{( f}

_{0, g}

~

₁₎

est

_[a]

et celle de k est

_{[a; b] .}

On cherche deux entiers c et d tels que et

(( f ga)dg)o

soient divisibles _par p :

(p(fgC),pg)

et

(p(fga),p((fga)dg)

sont alors deux intervalles standard

qui

contiennent

_{ph, pk,}

et surtout pu. Les entiers c et d

correspondent

à

une suite _que nous allons maintenant définir.

On

_multiplie

x =

~ao; al, a2, ...~ ]

par p. Soit

(un)

la suite définie par

uo =

0, puis

si

congru

à -(an -

Un-1)-1

modulo p

(ainsi

U1 =

(mod p), etc.),

sinon

Un = oo, Un+l = 0 et ainsi de suite. On constate immédiatement que

(un)

est

_majorée

_{par p}

_qui

est inférieur aux

_{quotients partiels}

de x.

Théorème 3. Soient

_{fo =}

_0,

_go =

1,

et

fn,

gn les mots de

Christoffel,

correspondant respectivement

à

_[ao;

...,

a2n-2]

et

[ao;

..., Alors :

On

_{multiplie x}

=

~ao;

al,

a2, ...]

par p, on obtient

l’algorithme

qui

suit.

e Initialisation.

m étant le mot de Christoffel de

_p/al,

et s la substitution

e Boucle. Tant _que les

_quotients

partiels

de la fraction continue de x ne

sont pas

épuisés,

connaissant

_pin,

_{pgn, où}

_fn

_correspond

à

_[ao;

al, ...,

a2n-21

et _{gn à}

_[ao;

_al, ...,

1 a2n-il,

on calcule les termes de

(un)

et on effectue en même _temps les

opérations

suivantes.

-

Si 2.d2n-1 = _oo alors

p divise

(9n)o

et :

où m est le mot de Christoffel associé a et s la

sub--

Sinon,

on calcule

Le résultat est le dernier mot de Christoffel

_obtenu,

et on sait retrouver la fraction continue

_{correspondante}

en cas de besoin. Il reste à trouver

une méthode

_permettant

de calculer et c’est

l’objet

du

_paragraphe

suivant.

4.3. Fractions continues à

_petits

_quotients

_partiels.

_{L’algorithme}

précédent

est

_{inopérant lorsque}

les

_{quotients partiels}

sont inférieurs aux

termes

_{correspondants}

de la suite

_(un).

On va donc maintenant _exposer

une méthode

_permettant

de

_prendre

le relais

_quand

un tel cas se

_produit,

et surtout de

_calculer,

avec les notations du

paragraphe

précédent,

p(fgC)

et

Base

_{théorique :}

intervalles non standard.

_Lorsque

(pf, pg)

n’est _pas

stan-dard,

p( f g)

ne

_peut

s’exprimer

à l’aide de

_{p f}

_{et pg.} Néanmoins

appartient

à un intervalle standard contenu dans

_{(p f , pg) .}

Soient

_{f, 9}

deux mots de Christoffel : on

_peut

construire une suite de

mots de Christoffel dont

_f

est le

_premier

_{terme, g}

le

_dernier,

et dont deux termes consécutifs forment un intervalle standard.

Proposition

1. Soient

_f

_g deux mots de

_Christoffel

non vides et non

simultanément

_{égaux respectivement}

à 0 et 1. Alors il existe un mot de

Christoffel

noté

_{M (f , g)}

et deux entiers naturels

_{d1(f, g), d2 ( f, g)}

tels que :

La suite ainsi

_définie

est notée

_{8(f, g) ;}

celle des intervalles standard

sous-jacents

est

_désignée

_par

_{I(f, g),}

et

_(M(f,

_g)y,

_{p(f, g)8)}

s’écrit

_{(y( f, g), 6(f, g)).}

La substitutions standard

_qui

envoie

sur

(0,1)

est notée

_{E (f,g)}

Preuve. Si h est un mot de Christoffel non

vide,

différent de 0 ou

1,

(h,y,

h)

et

_{(h, h8)}

sont deux intervalles standard

_{contigus ;}

la suite

_(f8i)

est une suite croissante dont le dernier terme

vaut 1 et

_(g,,.-)

est décroissante de dernier terme 0 : comme 0

f

_g 1 il existe alors deux entiers naturels

_io

et

_jo

tels _que

d’où E

_g,jo)

et

g,jo

E

(f8io,

ce

_qui

_signifie

en

_particulier

que

_{l’occurrence g,,j,,}

apparaît

dans

_f8iO

et

_{qu’inversement,}

_apparaît

dans g,y;o .

Ceci n’est

_possible

_que si

9,jo : ainsi,

On en déduit l’existence et l’unicité de _/1,

_dl

et

_{d2 ;}

_Supposons

maintenant

que &#x3E;

f :

alors il existe i tel que E

_(f8i,f8i+l),

ce

qui

est

impossible

car

~,( f, g).y

est un

préfixe

d’un suffixe de et Il en va

de même si on _suppose

_{que g &#x3E;}

donc

Ec( f, g),y

f

_{et g}

ce

_qui

achève la démonstration.

Exemples.

On utilise maintenant ces résultats

lorsque

f

_{et g}

sont les

_multiples

des bornes d’un intervalle standard.

4.4.

_Algorithme

de

_{multiplication.}

Soit m un mot de Christoffel

ap-partenant

à un intervalle standard

( f, g)

_{et q} un entier

_plus

_grand

_que 3.

On veut savoir

_quel

intervalle standard de

_{I (q f , qg)}

contient qrra et

quelle

est

_l’image

de la fraction continue de _{qm par} la substitution

_qui

envoie cet intervalle sur

(0, 1).

On considère la

_{multiplication}

_par un nombre

_premier

_p.

Supposons

_que

p ne divise ni

_fo

ni _{go :} donc

_{(p f )o}

=

f o,

(pg)o

= 90 ~

(P.Î ) 1

=

pf 1

_et

(po) 1

=

pgl. Soit u

l’image

de m _par

( f ~

0, g H

1)

et v

l’image

de _pm

par la substitution

envoyant

l’intervalle standard

_{(z, z’)}

de

_{I(pf, pg)}

_auquel

appartient

pm sur

(0, 1).

Multiplier

m _{par p} revient à substituer

pf

à 0 et

pg à 1 dans u : on obtient ainsi un mot de même _{pente que pm,} mais

_qui

n’est _pas de Christoffel

_puisque

_{(p f , pg)}

n’est _pas standard. Cela revient à effectuer le calcul suivant

_(voir

_[2]

et

_{[8]) :}

Comme _pm E

_{(z, z’),}

il existe une

permutation

de 0 et de 1 _permettant de

faire

_apparaître

le mot de Christoffel _pm écrit avec z et z’ : on

_remplace

alors z _par 0 et z’ _par 1. On obtient v et le calcul est le suivant

_(pour

les

La fraction continue de u est connue et est courte : il suffit donc de trouver

(z,

z’)

pour obtenir v en

_multipliant

_par la matrice des déterminants

ci-dessus,

qu’on

note

_M(z,

_{z’) ;}

d’autre

_{part :}

Le bon intervalle est donc celui _pour

_lequel

les v, et vo obtenus sont

simul-tanément

_positifs.

Il faut donc tester tous les intervalles de

_{l (p 1, pg).}

Si maintenant _p divise mo on

_peut

suivre l’évolution du calcul

_précédent

pour

s’apercevoir

que p =

pgcd(vo, vi )

dans le _cas où _vo et _VI sont _non

nuls,

et que p est

égal

à l’un si l’autre est nul.

_{L’explication}

en est _{que si} on

substitue dans m le mot

_{p f}

à

_{f ,}

_{pg à g et}

_qu’on

réordonne de manière à obtenir un mot de

_{Christoffel, puisque p}

divise _mo,

_{(p f ) 1}

et

_{(pg) 1,}

le résultat

sera l’itéré _p fois de _{pm ;} vo = 0 ou _{vl =} 0

implique

det (pm,

z’ )

- 0 _ou

det (z, pm)

= 0 donc

pm = z’ ou _pm = _z. On voit alors

qu’il

est

possible

de

généraliser l’algorithme

à la

_{multiplication}

_par des nombres non

_premiers.

L’algorithme

est _pour l’essentiel celui

_adapté

aux

grands

quotients

par-tiels : ce

_qui

change,

c’est

qu’on

_peut

calculer et

Ainsi la

_phase

d’initialisation est la

_{même ;}

_puis

si on _suppose

qu’on

connaît

pin

et pgn on calcule et _Pgn+l de la même manière. On cherche alors

quand

c’est nécessaire et Si U2n-l = 0 ou

u2n = 0 c’est évident : _supposons alors _que tel n’est _pas le cas.

. Si _{U2n-1 est} non nul et différent de l’infini : on calcule et pour

chaque

intervalle

(z, z’)

de

I(Pfn,P9n)

on calcule :

ainsi est

_l’image

du mot de Christoffel de

_pente

_V1/VO

_par

0

. De

_même,

_{si U2n} est non nul et différent de l’infini : on calcule

et _pour

_chaque

intervalle

_{(z, z’)}

de

ainsi est

_l’image

du mot de Christoffel de

_pente

_{vl /vo}

par

(0

-~

Bien entendu à

_chaque

fois

_{vl /vo}

est comme

_{prévu l’unique couple}

d’entiers

Puis si _{~2.~_1} ou on

remplace

dans les

expressions

ci-dessus U2n-1 par ou _{par a2n+1~}

On entre maintenant dans le détail de

_{l’algorithme.}

Posent

_problème

le

passage d’une fraction continue à son mot de Christoffel

_puis

les calculs successifs des coefficients des matrices

_M(z,

_z’).

Calcul des déterminants. Le calcul du déterminant d’un

_couple

de mots de Christoffel fait intervenir les réduites des fractions continues

correspon-dantes donc ne doit _{pas être} calculé de

_{façon intrinsèque.}

Le calcul se fait

par récurrence et n’utilise que des additions et des

_{multiplications :}

on évite ainsi de

_manipuler

des nombres

_trop

_grands

_puisqu’ils

sont

_majorés

_par le résultat.

Soit

_{( f, g)}

un

couple

de mots de Christoffel dont on veut calculer le

déter-minant :

_f

E

_{16’Î(f,g), &#x3E;(f,g))}

_{et g}

E

(~,(f,g),b(f,g)) :

alors

_l’image

de

_f

par

(-y( f, g)

H

_0,

/-l(f, g)

~

1)

et

_l’image

_{de g}

_par

_g)

~

_0,

_{t5(f, g)}

~

₁₎

existent,

et d’autre

_{part :}

det (f , g)

=

+det(18,g,)

+det(18,g8).

Ces _quatre déterminants

_peuvent

à leur tour se

décomposer

de la même manière et on finit _par obtenir :

Pour ce

_qui

concerne le calcul des coefficients de la matrice

M(z,

z’)

il

est

_possible

de

_{simplifier l’algorithme :}

en effet il existe i tel _{que z} =

(pf)8i

finalement :

D’autre part :

On considère les mots de Christoffel les

_{images V.}

et de

_f

et _g,

respective-ment par les substitutions standard

_{(-y(pf, (pf)8i)}

-+

_0,

_{J1(pf, (pf)8i)}

H

₁₎

et

_{(~C((pg),y; , Pg) ~}

_1).

Les deux

_égalités

ci-dessus

puis

on utilisera :

Il est donc nécessaire de calculer et _{par récurrence.} On a

déjà

obtenu :

Puis on doit considérer les deux cas suivants.

· Si les fractions continues de et ont un nombre de quo-tients

_{partiels respectivement pair}

et

_impair

alors écrivons

_(pf)5i-1

=

- , ...x

-. Si maintenant les fractions continues de et

_(Pg),j-l

ont un

nombre de

_quotients

_partiels

_{respectivement impair}

et

_pair,

. , - ~ ~, ~ , .h .

d’où cette fois :

L’algorithme

est le suivant :

e Initialisation. _i

_{= j}

=

0,

det(pf,pf)

=

det (pg, pg) -

0,

cpo =

eo =

1 ;

det (p f , pg)

= p.

e _{Boucle. Aux}

_{étapes i et j,}

_{soient a} et b les derniers

_quotients

_partiels

des fractions continues de

_fji-

1 et

-

Si les fractions continues de

_foi-1

et _g7j-l

_possèdent

un nombre

respectivement impair

et

_pair

de

_{quotients partiels :}

-

Si les fractions continues de

_fji-1

et

_gyi-,

_possèdent

un nombre

respectivement pair

et

_impair

de

_{quotients partiels :}

et

1 ’i 1 1 1 1 - 1 1 1

Il faut ici

_souligner

le fait que les deux cas cités ci-dessus

_regroupent

en

fait les

_quatre

suivants : le nombre de

_quotients

_partiels

des fractions

continues de

_f

_{et g}

est

_{respectivement pair}

et

_{impair ; impair}

et

_{pair ;}

-,

les deux sont

_{pairs ;}

les deux sont

_impairs.

On a _{pu regrouper} en deux

cas, suivant le

résultat, puisque

les

parités

des

longueurs

des deux fractions continues sont

_{indépendantes.}

Ainsi :

BIBLIOGRAPHIE

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Éric LAURIER

Lycée L. de Vinci

115 route des Petits-Ponts 93290 Tremblay, France