1 Trouver les coordonnées polaires dans R

Méthodologie : angles et vecteurs

,→ Compétence visée : comprendre et utiliser les coordonnées polaires.

,→ Prérequis : trigonométrie, calcul vectoriel élémentaire.

1 Trouver les coordonnées polaires dans R

Cadre : R² muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j).

Théorie : Soit ~u un vecteur unitaire (k~uk = 1). Justier que ~u s'écrit (cos(α),sin(α)) pour un certain angle α

• en utilisant le cercle trigonométrie :

• en utilisant les composantes cartésiennes de~u= (x, y) : Que représente l'angle α? Réponse : α est l'angle entre. . . et~u.

Si on connaît l'angleαpour un vecteur~v, que manque-t-il pour déterminer~v entièrement ?

Donner l'écriture générale d'un vecteur w~ en fonction de son angleα et de sa normekwk~ .

~

w= ( ). (1)

Mise en pratique :

Calculer la norme, l'angle de chacun des vecteurs suivants, puis les écrire sous la forme (1) :

1. ~u= (

√2 2 ,

√2 2 ) :

~u= ( ).

2. ~v = (3,−3)

~v = ( ).

3. w~ = (−3,−3√ 3)

~

w= ( ).

Donner les composantes cartésiennes du vecteur

de norme 2 et d'angle ^−π₆ avec l'axe horizontal (O~i): de norme 5 et d'angle ^2π₃ avec l'axe horizontal(O~i) : de norme 4 et d'angle ^3π₂ avec l'axe horizontal(O~i) :

Calcul d'angle entre deux vecteurs.

1. entre ~u et~v : 2. entre ~u et w~ 3. entre~v et w~

2 Projections

Contexte : R² est muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j). Projection orthogonale

1. Donner les composantes polaires ~u = (−3,3) et de ~v = (0, t) suivant le signe det.

2. Calculer la projection orthogonale de ~u sur ~v. On exprimera le résultat en fonction de t.

Projection trace

1. Soient deux vecteurs ~u de norme ¹₂ et d'angle ^2π₃ , et ~v de norme 2 et d'angle

5π

6 . Donner les composantes cartésiennes de ~uet~v.

~

u= ~v =

2. Faire un schéma (approximatif) de la situation, puis calculer la longueur de la trace de la projection de~u sur~v (orthogonalement à l'axe des abscisses).