Méthodologie : angles et vecteurs
,→ Compétence visée : comprendre et utiliser les coordonnées polaires.
,→ Prérequis : trigonométrie, calcul vectoriel élémentaire.
1 Trouver les coordonnées polaires dans R
2Cadre : R2 muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j).
Théorie : Soit ~u un vecteur unitaire (k~uk = 1). Justier que ~u s'écrit (cos(α),sin(α)) pour un certain angle α
• en utilisant le cercle trigonométrie :
• en utilisant les composantes cartésiennes de~u= (x, y) : Que représente l'angle α? Réponse : α est l'angle entre. . . et~u.
Si on connaît l'angleαpour un vecteur~v, que manque-t-il pour déterminer~v entièrement ?
Donner l'écriture générale d'un vecteur w~ en fonction de son angleα et de sa normekwk~ .
~
w= ( ). (1)
Mise en pratique :
Calculer la norme, l'angle de chacun des vecteurs suivants, puis les écrire sous la forme (1) :
1. ~u= (
√2 2 ,
√2 2 ) :
~u= ( ).
2. ~v = (3,−3)
~v = ( ).
3. w~ = (−3,−3√ 3)
~
w= ( ).
Donner les composantes cartésiennes du vecteur
de norme 2 et d'angle −π6 avec l'axe horizontal (O~i): de norme 5 et d'angle 2π3 avec l'axe horizontal(O~i) : de norme 4 et d'angle 3π2 avec l'axe horizontal(O~i) :
Calcul d'angle entre deux vecteurs.
1. entre ~u et~v : 2. entre ~u et w~ 3. entre~v et w~
2 Projections
Contexte : R2 est muni d'un repère orthonormé (O,~i,~j). Projection orthogonale
1. Donner les composantes polaires ~u = (−3,3) et de ~v = (0, t) suivant le signe det.
2. Calculer la projection orthogonale de ~u sur ~v. On exprimera le résultat en fonction de t.
Projection trace
1. Soient deux vecteurs ~u de norme 12 et d'angle 2π3 , et ~v de norme 2 et d'angle
5π
6 . Donner les composantes cartésiennes de ~uet~v.
~
u= ~v =
2. Faire un schéma (approximatif) de la situation, puis calculer la longueur de la trace de la projection de~u sur~v (orthogonalement à l'axe des abscisses).