Exercice 1 - Intégrales doubles

(1)

Exercice 1 - Intégrales doubles

Calculer les intégrales doubles suivantes.

a. . .

1 1

0 0

d d

x y

I xy x y

= =

=

∫ ∫

(

^.

)

^. ^. ^. ² ¹ ² ¹

1 1 1 1

0 0 0 0

0 0

1 1 1

d d d d

2 2 2 2 4

x y x x

x y

I ⁼ x ⁼ y y x ⁼ x x ⁼ y y

= = = =

   

= = × =  ×  = × =

   

∫ ∫ ∫ ∫

b. . .

1 1

0 0

e d d^xy

x y

I x x y

= =

=

∫ ∫

( ) ⁽ ⁾ ⁽ ^{) (} ⁾

. . . .

1

1 1 1 1

0 0 0 0

0

e d d e d e 1 d e 1 1 0 e 2

xy y

x y x x

xy x

x y x x

y

I x y x x x x

x

= = = = =

= = = =

=

 

= =   = − = − − − = −

 

∫ ∫ ∫ ∫

c. . .

2 2

0 0

e^{x y}d d

x y

I xy ⁺ x y

= =

=

∫ ∫

( )

. . . .

2 2 2 2 2 2

0 0 e e d d 0 e 0 e d d 0 e d 0 e d

x y x y x y

I ⁼ ⁼ x y x y ⁼ x ⁼ y y x ⁼ x x ⁼ y y

= = = = = =

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

∫

×

∫

Ces deux intégrales sont égales (même fonction, mêmes bornes, seul le nom de la variable diffère).

On trouve leur valeur commune en effectuant une intégration par parties :

u = x et v’ = e^x ; u’ = 1 et v = e^x. ² . ² ² . ² ² ² ² ²

0 0

0xe d^x x=xe^x − 0e d^x x=2e −  e^x =2e − + = +e 1 e 1

∫ ∫

^d’où

(

^e² ¹

)

² ^e⁴ ^2e² ¹

I = + = + +

d.

( )

^. ^.

2 3

3

1 1

1 d d

y x

x y

I x y

x y

= −

= =

=

∫ ∫

+

( )

^. ^.

( )

^.

3

2 2

3

1 1 1

1 d d d

y x

x y x

I y x J x x

x y

= −

= = =

 

 

=

∫ ∫

 +  =

∫

( ) ( )

^.

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

3 2 2 2 2

1

1 1 1 1 1 1

d 2 2 3 2 1 18 2 1

y x

y

J x y

x y x y x x x x

= −

=

 

= = −  = − + = − +

+  +  + − + +

∫

( )

^.

( )

2 2

1 2

1

1 1 1 1 2 1 1 1

18 d 2 1 18 6 18 4 18 36

2 1

x x

x

I x x

x x

= =

   

 

=

∫

 + −  = − + −  = − − + + =

e. I =

∫∫

cos cos .x y x yd d. ^avec^x^≥⁰^,^y^≥⁰^,^x^{+ ≤}^y ₂^π

Cette intégrale double se décompose en deux intégrales simples comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )

cos . cos . . cos . .

2 2 2

0 0^x d d 0 d

x y x

I x y y x x J x x

π π− π

= = =

 

=   =

 

∫ ∫ ∫

( )

²₀ ^cos

( )

^.^d ^sin

( )

²₀ ^sin ^cos

( )

2

x x

J x y y y y x x

π− π−

=

π

 

= =  =  − =

 

∫

^.

On obtient alors : ²₀^cos²

( )

^. ²₀

(

^cos

( ) )

^. ^sin

^{( )}

²

0

1 1 2

d 2 1 d

2 2 2 4

x x

I x x x x x x

π π π

= =

  π

= = + =  +  =

 

∫ ∫

f. ^I ⁼

∫∫ (

^x⁺^y

)

^{sin sin .}^x ^{y x y}^{d d}^. ^{sur [0 ;}^π^]^×^{[0 ;}^π^]

(2)

( ) ( ) ( ) ( )

.sin .sin . . .sin .sin . . ₁ ₂

0 0 d d 0 0 d d

x y x y

I ^π ^π x x y x y ^π ^π y x y x y I I

= = = =

=

∫ ∫

+

∫ ∫

= +

Or on note que les deux expressions en x et y sont identiques (échanger les notations x et y dans l’une donne l’écriture de l’autre) donc : I1 = I2 et ainsi I = 2I1.

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ^{( )} ^{( )}

.sin .sin . . .sin . sin . . .sin . sin .

0 0 0 0 0 0

2 d d 2 d d 2 d d

x y x y x y

I ^π ^π x x y x y ^π x x ^π y y x ^π x x x ^π y y

= = = = = =

=

∫ ∫

=

∫ ∫

=

∫

×

∫

Pour la première : intégrons par parties : u = x et v’ = sin(x) ; u’ = 1 et v = -cos(x), donc

( ) ( ) ( )

.cos cos . sin

0 0 d 0

x x x x x

π π

− π− − = π +  = π

 

∫

 

La deuxième intégrale vaut :

∫

_y^π₌₀^sin

( )

^y ^.^d^y⁼^⁻^cos

( )

^y ^₀^π ⁼² D’où : I = 4π g. ¹ ² ^cos

( )

^. ^.

0 0

d d

x y

x xy y x

=π

=

= =

∫ ∫

^.

( ) ( )

cos . . sin . sin . cos cos cos

1 2 1 1 1

2 0

0 0 0 0 0

2 2 2

d d d d 0

2 2 2

y x

x x x

y y

x y x x x

x xy y x xy x x x x

=π =

= = =π =

= = = = = =

 

  π  π   π 

       

=    =   = −   = −  + =

      π   π    π

 

 

∫ ∫ ∫ ∫

Exercice 2 -

Calculer l’intégrale double de la fonction d’expression f (x, y) = x + 2y sur le domaine fermé limité par les courbes y = 2x² et y = 1 + x². points d’intersection des deux courbes : 2x² = 1 + x² donne x = ±1.

Pour x ∈ [-1 ; 1], x² ≤ 1 et donc 2x² ≤ 1 + x². L’intégrale cherchée est donc

( )

( ) ( )

( )

. . .

. .

2 2

1 1 1 2 1

2

1 2 1

1 3 2 4 3 4

1

2 3 4 5 1

1 2 3 4

1

2 d d d

1 2 2 4 d

1 2 3 d 2 3

2 3 4 5

1 2 1 3 1 2 1 3 4 6 32

1 1 2

2 3 4 5 2 3 4 5 3 5 15

+ +

=

=− = =−

=−

=− −

   

=  +  =  + 

= + + + + − +

 

= + + − − = + + − − 

 

   

= + + − −  − − + − − + = + − =

   

∫ ∫ ∫

∫

x x

y x

x y x x

x

I x y y x xy y x

x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

Exercice 3 -

On considère une pièce plate homogène en forme de triangle rectangle iso- cèle OAB de côtés perpendiculaires de longueur L, dont on souhaite obtenir le moment d’inertie Ix par rapport à l’axe (Ox) – voir figure.

Pour ce type de pièce, ce moment d’inertie se calcule par : I_x =

∫∫

y².dS^où l’élément de surface considéré est un rectangle de dimensions dx et dy (dS

= dx × dy) et où y est la distance entre cet élément et l’axe (Ox).

1) Montrer que, dans notre repère, la droite (AB) a pour équation y= − +x L.

La pente de cette droite vaut ^B ^A

B A

y y 1

x x

− = = −

− −

L

L et son ordonnée à l’origine vaut L.

2) Par une intégrale double, trouver alors l’expression de Ix en fonction de L.

(3)

Pour que l’élément de surface couvre l’intégralité du triangle, on peut faire varier x de 0 à L et, pour un x donné, faire varier y de 0 à –x + L. Cela donne :

( )

. . . .

3

2 3 2 2 3

0 0 0 0 0

d d d 1 3 3 d

3 3

x x x

x y x x

I y y x y x x x x x

− + − +

= = = =

 

= =   = − + −

 

∫ ∫ ∫ ∫

L L L L L

L L L

2 3 4 4

3 2 4 4 4

0

1 1 3

3 3

3 2 3 4 3 2 4

L

L L L L L L L

   

=  − + −  =  − + − 

   

x x x

x

4 x 12 I = L

Exercice 4 - Intégrales triples

Calculer les intégrales triples suivantes.

a. ¹ ² ³ . . . . .

1 2 3 d d d

x y z

I ⁼ ⁼ ⁼ x y z x y z

=− =− =−

=

∫ ∫ ∫

( ) ( ( ) )

. . . .

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 d d d 1 2 3 d d d 1 d 2 d 3 d

x y z x y z x y z

I ⁼ ⁼ x y ⁼ z z x y ⁼ x ⁼ y ⁼ z z y x ⁼ x x ⁼ y y ⁼ z z

=− =− =− =− =− =− =− =− =−

=

∫ ∫ ∫

=

∫ ∫ ∫

=

∫

×

∫

×

∫

nous avons trois intégrations de fonctions impaires avec des bornes symétriques par rapport à l’origine. Ces trois intégrales sont nulles et I = 0

b. ¹ ² ³ ² ³. . .

1 2 3 d d d

x y z

I ⁼ ⁼ ⁼ x z x y z

=− =− =−

=

∫ ∫ ∫

. .

1 2 3

2 3

1 d 2d 3 d

x y z

I ⁼ x x ⁼ y ⁼ z z

=− =− =−

=

∫

×

∫

×

∫

. Nous notons que l’intégrale sur z est nulle car portant sur une fonction impaire avec des bornes symétriques par rapport à l’origine. I = 0

c. ^I⁼

∫

_r^a₌^.cos₀ ^{( )}^θ

∫ ∫

_θ²₌^π₀ _ϕ^π₌₀^r^.sin

( )

³^{ϕ ϕ θ}^.^{d d d}^. ^. ^r

(

^.cos( ) ^.

)

^. ^sin

^{( )}

^. ² ^.cos^{( )}^. ^cos

^{( )}

²^cos

^{( )}

^.

2 2 2

2

0 0 0 0 0

0 0

3 1 1

d d 3 d d d

2 3 2 3 3

a a

r

r a

I r r

π

π θ π π θ π

θ ϕ θ θ

θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ

= = = = =

          

 

=

∫ ∫

×

∫

=

∫

  × −  =

∫

× − − 

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ( ) ) ^{( )}

cos cos cos cos

cos . cos . sin

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

0 0

0

2 2 1 1 2 1

2 2 2

d 2 1 d

2 3 6 6 2 3

a a a a

I θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

π π π

=

= − ⇔ = +

  π

= × = + =  +  =

 

∫ ∫

d. I =

∫∫∫

z x y z.d d d. . ^avec^x^≥⁰^,^y^≥⁰^,^z^≥⁰^,^x^{+ + ≤}^y ^z ¹

Cette intégrale triple s’écrit sous la forme de trois intégrales simples :

.d .d .d .d ; .d .d .d ; .d

xyz yz yz z z

x y z x y z y z

I z z y x I x I z z y I y I z z

     

=

∫ ∫ ∫

    =

∫

=

∫ ∫

  =

∫

=

∫

On a ⁰^{≤ ≤ − +}^z ¹

(

^x ^y

)

^{, d’où :}

( ) ( )

( )

( ) ( ⁽ ^{) (} ⁾ )

.

2 1

1 2 2

0

1 1

d 1 1 2

2 2 2

x y x y

z z

z

I z z z x y x y x y

− + − +

= =

 

= =  = − + = − + + +

 

∫

(

² ²

) (

²

⁽ ^{) (} ⁾

²

)

1 1

1 2 2 2 2 1 1

2 2

Iz = − x− y+ +x xy+y = y + y x− + −x

Comme ⁰^{≤ − +}¹

(

^x ^y

)

, on obtient y≤ −1 x. y décrit toutes les valeurs de 0 à 1 - x, d’où :

( ) ( )

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

. .

3 1

1 1 2 2 2 2

0 0

0

1 1

d 2 1 1 d 1 1

2 2 3

x

x x

yz y z y

y

I I y y y x x y y y x y x

− − −

= =

=

 

= = + − + − =  + − + − 

 

∫ ∫

(

¹

) ( ) ( ) ( )

³ ³ ³ ¹ ³

1 1 1

2 3 6

yz

x x

I x x

 −  −

 

=  − − + − =

(4)

Comme x est positif et 0≤ ≤ −y 1 x c’est à dire 0 1≤ −x , x varie de 0 à 1, d’où :

( )

. .

1 1 1

2 3 2 3 4

0 0

0

1 1 3 1 1 3 1 1

d 1 3 3 d 1 1

6 6 2 4 6 2 4 24

xyz yz

x x

x

I I x x x x x x x x x

= =

=

   

=

∫

=

∫

− + − =  − + −  =  − + − = Une version sensiblement plus simple :

. . . .

d d d d d d d d

zxy xy xy y y

z x y z x y x y

I z y x z z I z I y x I x I y

     

 

=

∫ ∫ ∫

    =

∫

=

∫ ∫

  =

∫

=

∫

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. .

. . .

1 1

0 0

1 2 2

1 1 2

0 0

0

2 2 3 4 1

1 1 1

2 3

0 0 0

0

d 1

1 1

d 1 d 1 1

2 2 2

1 1 1 2 1 1 2 1

d d 2 d

2 2 2 2 3 4 2 2 3

y x z x z

y y

x z

x z x z

xy y

x x

x

z z z

zxy xy

z z z

I y y x z

z z

I I x x z x x x xz z z z

z z z z

I z I z z z z z z z

= − − − −

=

= − = − = −

= =

=

= = =

= = = − −

− −

 

= = − − = − −  = − − − − =

 

−  

= = = − + =  − +  = − +

 

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

^^_ ₄^^_⁼₂₄¹

Exercice 5 -

Déterminer par une triple intégration le volume d’un cône droit de hauteur H et de rayon à la base R.

x désignera la distance entre le sommet du cône et une section circulaire quelconque, dans laquelle r et θ positionneront un élément de surface.

A la cote x le rayon de la section est égal à : R H x. L’élément de volume est : d³V = dr.r.dθ^.dx Les bornes d’intégrations sont les suivantes : x de 0 à H ; r de 0 à Rx/H ; θ de 0 à 2π.

Ainsi le volume du cône est donné par l’intégrale triple suivante :

. . . .

. .

2 2

0 0 0 0 0 0

2 2 3 2

2

2 0 2

d d d d d d

d 2

2 3 3

R R

H x H x

H H

x r x r

H x

V r r x r r x

R R H R H

x x

H H

π π

= = = = = =

=

 

= =   ×

 

π π

= × π = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

θ θ θ θ

θ θ+dθ

0 x

H R r

dr r+

x

dx x+

H

R

(5)

Exercice 6 -

Calculez par triple intégration le volume intérieur de la sphère de rayon R. On propose la représentation suivante :

L’élément de volume est un parallélépipède rectangle infinitésimal (en rouge sur la figure) défini par trois paramètres : une « longitude » ϕ, une « latitude » θ et une « altitude » r.

Il sera indispensable d’écrire en fonction de r, dr, θ^, dθ^,ϕ^{et d}ϕ, les dimensions de ce parallélépipède.

Ensuite, on réfléchira aux bornes à donner à cha- cune de ces trois variables afin que ces éléments remplissent la boule, ni plus, ni moins.

( ) ( )

. . . .cos . cos . . .

3 2

dV =dr rdθr θ ϕd =r θ d d dr θ ϕ L’intégrale s’écrit donc comme suit :

( )

.cos . . .

2 2

3 2

0 0 0 0 0

2

d 2 d d d

r r

θ ϕ θ ϕ

ϕ θ ϕ

θ

θ θ ϕ

π π

= = π = = π

= =

= =−π = = = =

=

∫ ∫ ∫

^R =

∫ ∫ ∫

^R

V V

( ) ( ) [ ] ( )

. cos . sin .

2 3 3

2 2

2 2 3

0 0

0 0 0 0

2 d d d 2 2 1 0 2 4

3 3 3

r

r r r

θ ϕ

θ θ ϕ θ ϕ

=π = π

= π π

= = =

 

= × × =   ×  × = − π = π

 

∫ ∫ ∫

R R

V R R

Exercice 7 -

Le moment d’inertie d’une section S par rapport à un axe D est le nombre _D ².d

S

I =

∫

a S

où a est la distance entre l’axe D et la section élémentaire dS consi- dérée.

Calculer le moment d’inertie d’un disque de rayon R par rapport à un axe dans le plan du disque et contenant son centre.

Choisissons le repère indiqué par la figure ci-contre et calculons le moment d’inertie du disque par rapport à l’axe (Ox). Utilisons les coordonnées polaires. r prend toutes les valeurs de 0 à R. Pour r fixé,

θ prend toutes les valeurs de 0 à 2π et a² = r²sin²θ. dS vaut ici r.dr.dθ , aire du rectangle élémentaire.

( ) ( )

^cos

( )

^sin

( )

. .sin . . . sin . .

2 2 4 2 4 2 4

2 3 2 3 2

0 0 0 0 0 0

1 2 2

d d d d d d

4 2 4 2 4 4

D

S r r

I a S r r r r

θ θ θ

θ θ θ θ θ

π π π π

= = = = =

−   π

= = = × = × = × −  =

 

∫ ∫ ∫

^R

∫

^R

∫

^R

∫

^R ^R

Exercice 8 - Changement de variables

Calculer l’intégrale de la fonction d’expression f (x, y) = (x + y)² sur le disque D centré à l’origine et de rayon 1 (on effectuera un changement de variables en coordonnées polaires).

L’avantage des coordonnées polaires réside en une écriture aisée des bornes d’intégration (disque cen- tré sur l’origine). Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :

x = r.cos t et y = r.sin t.

On a vu en cours que la matrice jacobienne donnait dx.dy = r.dr.dt.

f (x, y) = (x + y)² = x² + y² + 2xy = r² + 2r²cost.sint = r²(1 + sin(2t)). L’intégrale est alors :

(6)

( ( ) )

( ) ⁽ ^{( )} ⁾

( )

sin . . . sin .

cos

1 2 3 1 3 2

0 0 0 0

2

0

1 2 d d d 1 2 d

1 2 1 1 1

2 0

4 2 4 2 2 2

r t r t

I r t t r r r t t

t t

π π

= = = =

π

= + = × +

      π

= × −  = × π −  − − =

   

 

 

∫ ∫ ∫ ∫

Exercice 9 - Changement de variables

Calculer l’intégrale de la fonction d’expression f (x, y, z) = (x² + y²)|z| sur un domaine tridimensionnel : la boule B centrée à l’origine et de rayon 1. On utilisera pour cela les coordonnées sphériques r, ϕ , θ^{, dé-} crites dans cet ordre (« altitude, longitude, latitude »), en précisant que ^x⁼^r^.cos

( ) ( )

^θ ^.cos ^ϕ ^,

( ) ( )

.cos .sin

y=r θ ϕ et ^z⁼^r^.sin

( )

^θ

La matrice jacobienne est :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

cos .cos .cos .sin .sin .cos

cos .sin .cos .cos .sin .sin

sin 0 .cos

r r

r

θ ϕ θ ϕ θ ϕ

θ θ

 − − 

 

= − 

 

 

J

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

det ² cos ³ .cos ² ² cos sin ² sin ² ² cos sin ² cos ² ² cos ³ .sin ²

² cos ³ ² cos sin ² ² cos

r r r r

r r r

θ ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ

θ θ θ θ

= + + +

= + =

J

Ainsi, dx.dy.dz = ^r^{² cos}

( )

^θ ^.^{d d d}^r^. ^{ϕ θ}^. et l’intégrale cherchée est :

( ) ^{( )} ^{( )} ^{( )}

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )

. . . cos . sin . cos . . .

. sin .cos .

sin .cos . *

. . .

. cos

1 2

2 2 2 3 2 2

0 0

2

1 5 2 2 3

0 0

2 6 1

2 2 3

0 0

0 2 3

0

4 0

d d d d d d

d d d

2 d

6

1 1

2 2 4 d

6 4

6

B r

r

x y z x y z r r r

r r r

u u

ϕ θ

θ

θ θ θ θ ϕ

ϕ θ θ θ

θ θ θ θ

π π

= = =−π π π

= = =−π

π π

= π

+ =

= × ×

 

=  × ×

 

 

= × π× −  ′

 

π  

= −  

∫∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

2

6

=π

* la fonction |sin|.cos³ est paire et on re- cherche son intégrale sur un intervalle de type [-a ; a], centré en zéro. Cette intégrale vaut donc le double de celle de la fonction sur [0 ; a] (ici, faire attention au signe de la fonction lorsqu’on retire la valeur absolue)

Exercice 1 - Intégrales doubles