Modèles prévisionnels de comportement élastique
tridimensionnel pour les bois feuillus et les bois résineux
D. GUITARD, ire
d’Energétique
eF. EL AMRI de
Mécanique
théo/./V./!.L.. Laboratoire
d’Etiergéliqiie
et deMée(iriique théorique
etappliquée, B. P. 8511, h! 541111 Nnucv Cedex
Résumé
Une
banque
de données informatisée,reproduite
ici,comprend
lespropriétés physiques,
masse
volumique
p, et taux d’humidité H, et les propriétésélastiques
tridimensionnelles de 80 bois. Uneanalyse statistique
apermis
d’établir desrégressions multiples significatives
entre cesdeux groupes de
paramètres ;
elle conduit à laproposition
de deux modèlesprévisionnels
de comportementélastique
tridimensionnel l’un pour les bois feuillus et l’autre pour les bois résineux,et permet de
prévoir
de façon satisfaisante la matricecomplète
descomplaisances élastiques
pourun bois dont la masse
volumique
p est connue à un taux d’humidité voisin de 12p. 1(!0.
L’efficacité du modèle bois feuillus est discutée àpartir
de résultatsexpérimentaux
obtenus sur le bois d’unmême hêtre par neuf laboratoires.
Mots clés : Elasticité, anisotropie,
feuillus.
résineux, rnodèlesprévisionnels,
mas.sevolumique.
Introduction
La loi de
comportement élastique,
decomplexité minimale,
apte à rendre compte de certainesspécificités
ducomportement mécanique
du matériaubois, implique
deprendre
en considération la forteanisotropie
de ce matériau. Ceci aconduit, depuis
fort
longtemps (H F namtoN, 1948)
de nombreux chercheurs àdévelopper
des moyensexpérimentaux
variés,complexes
et souventcoûteux,
en vue d’identifier les nombreuses constantesélastiques (9
auminimum)
nécessaires pour rendrecompte
ducomportement élastique
tridimensionnel du boisconsidéré,
lesexpériences
étant à renouveler pour les diverses essences.Les auteurs
présentent ici,
unebanque
dedonnées,
relative à certaines caractéristi- quesélastiques
etphysiques
de bois feuillus et de résineux extraites pour unepart
desources
bibliographiques variées,
et pour certaines directement de travaux de notrelaboratoire
(S EICHEPINE , 1980 ;
BENF ARHAT , 1985).
Un traitement
statistique
confirme la masse volume p commeparamètre physique
fortement
explicatif
de la variabilité totale descaractéristiques élastiques
inter et intraessences.
Les résultats de recherche de
régressions simples
oumultiples,
conduisent à laproposition
de deux modèlesprévisionnels
pour lecomportement mécanique élastique
l’un pour les bois « feuillus » et l’autre pour les bois « résineux ». Le
présent
travailcomplète
l’excellent documentpublié
en 1973 par J.Bodig
et J.R.Goodmann,
enapportant
de nouvelles donnéesbibliographiques,
résultats de campagnesexpérimentales
réalisées en France ces dernières années
(P REZIOSA , 1983).
Les différencesquant
àl’interprétation
des donnéesexpérimentales correspondant
aux termes nondiagonaux
dela matrice
d’élasticité,
ont pourconséquence
une meilleure cohérence interne des modèlesprévisionnels proposés.
1. Les constantes
élastiques : définitions,
notationsLe matériau bois est considéré comme milieu
continu, élastique, macroscopique-
ment
homogène
àsymétrie
matérielleorthotrope cylindrique (G UITARD , 1985)
d’axesprincipaux
suivant les directions radiale(R), tangentielle (T)
etlongitudinale (L) auxquelles correspondent
les coordonnéesspatiales cylindriques (r, 0, z), comptées
àpartir
de l’axe de la grume.Rappelons,
pour des considérations de clarté denotations,
que dans cesystème d’axes,
la loi decomportement élastique permet d’expliciter
parexemple,
les compo- santes e, du tenseur des déformations en fonction descomposantes
uij du tenseur des contraintes à l’aide de neuf constantesélastiques
linéairementindépendantes.
E
rr
S il S I2 S 13
0 0 0 (Trre,><>
S21 Sz j S 23
3 0 0 0 (TOOYu S 31 S 32 5 33
0 0 0 on’{Oz
-
0 0 0
S 44
0 0 Qo1,y
7r 0 0 0 0
S 55
0 azrY
rtv 0 0 0 0
0 S 66
areLa matrice des
complaisances élastiques,
transcrite ici avec une contraction d’indices conventionnelle(G UITARD , 1987),
est une matrice en théoriesymétrique.
Cettepropriété
résulte nécessairement del’hypothèse
d’existence d’unpotentiel élastique
forme
quadratique
définiepositive
des composantes des tenseurs des contraintes.Par tradition,
l’ingénieur
utilise 12grandeurs techniques
pour caractériser le com-portement
élastique
dubois, qui
sont liées aux neufcomplaisances élastiques
par lesrelations suivantes :
a Trois modules
d’Young :
EK Si] ; ET
=S22 EL = S3 , 3
e Trois modules de cisaillement :
G
I¡
=S 4 41 ; 1 Gi_R ! 555! G RI - S 6 6
e Six coefficients de Poisson : V RT
, VTR, VTL, V1.T, VLR, VRL
qui
satisfont aux relations desymétrie
suivantes :ç =
V RT V TR
s>i=VTL V L T
2. Matériels : constitution de la
banque
de donnéesLes tableaux
récapitulatifs reproduits
en annexe, contiennent les éléments actuelle- mentpris
en compte dans labanque
de donnéesinformatisée, disponible
surdisquette
et
exploitable
sur unsystème Apple
II E.Les références
bibliographiques
mentionnées dans ces tableaux ont étéexploitées
avec un soin
particulier qui
apermis
d’éliminer les redondancespossibles
dans lespublications
successives.Pour
chaque
individu(bois) répertorié,
lesparamètres
retenus sont : H : taux d’humidité en % dans les conditions d’essai.p : masse
volumique
eng/cm 3 à
l’humidité H d’essai.S;
i
:
neufcomplaisances élastiques, correspondant
aux définitions ci-dessus.Remarque :
De nombreux auteursprésentent
leurs résultats en faisantapparaître
les
grandeurs techniques élastiques,
nous les avonsexprimées
sous forme decomplai-
sances
élastiques :
Les termes non
diagonaux
de la matrice descomplaisances
sont alors calculés de lafaçon
suivante :a
Lorsque
l’auteurindique
les coefficients de Poisson nécessaires :e..-e..=- + ’ I
e
Lorque
l’auteurn’indique
que l’un des coefficients de Poisson nécessaires :!q. = -, = -
ijCette démarche a pour
conséquence
desymétriser
les matrices d’élasticitéprises
encompte, alors que les résultats
expérimentaux
ne vérifient pas nécessairement cette conditionthéorique.
La
bibliothèque comprend,
toutes essencesconfondues,
un effectif total N = 80individus, qualifiés
chacun par deuxparamètres physiques
et neuf caractèresélastiques.
Cette
population
totalecomprend
deux souspopulations complémentaires,
unepopula-
tion notée « F » de bois feuillus à effectif de 43
individus,
et unepopulation
notée« R » de bois résineux à effectif de 37 individus. Ces individus
appartiennent
ou non àdes
espèces
différentes. Un individupeut
être la moyenne de certain nombre depoints expérimentaux.
3. Traitements
statistiques
Les traitements
statistiques
mis en oeuvrepermettent
de rechercher lesrégressions simples (1 paramètre explicatif X)
oumultiples (2 paramètres explicatifs
X etY)
de lavariable Z, sous forme de lois :
linéaires : Z = A +
B I X
+BY
La
pertinence
desrégressions simples,
estappréciée
par le calcul d’un coefficient de corrélationR!x
défini par :!
[variance résiduelle]
Dans ces conditions,
qu’il s’agisse
d’une loilinéaire,
ou d’une loipuissance,
lescoefficients calculés sont une mesure, définie
positive,
de ladispersion
du nuage depoints étudiés,
autour de la courbe derégression
choisie dans une mêmereprésentation graphique.
La
qualité
desrégressions
linéairesmultiples
estqualifiée
defaçon classique (N
EPVEU
, 1983)
par la donnée du coefficient de corrélationmultiple R, (x, y)
et descoefficients de corrélation
partiels R!.y
etRy z . x . Enfin,
la variabilité d’unparamètre
Xest
qualifiée
par un coefficient de variation CVexprimé
en % :-! 1 !,
variance totale .
AALa variabilité résiduelle d’une variable
Z, expliquée
par unparamètre X,
estqualifiée
par un coefficient de variation résiduelle noté CVRexprimé
en %.-! 1--1
variance résiduelle _ _ .
M4. Résultats
La recherche des corrélations entre les 11 caractères
répertoriés
parindividu,
et laprésentation
desrésultats,
résultent d’une démarcheguidée
par la remarque fondamen- tale suivante :La
caractéristique élastique
depremière
nécessitétechnologique
est le moduled’Young E!,
mesuré suivant la direction dufil
d’un bois de massevolumique
p, au taux d’humidité H.Le tableau 1 illustre la variabilité des
caractéristiques
des bois enprécisant
pour chacun desparamètres :
les valeursminimale,
moyenne etmaximale,
ainsi que les coefficients de variation CV %.Il est fondamental de noter que les bornes maxi et
mini,
observées pour lapopulation
« T.E.C. toutes essences confondues », sont strictement celles de la souspopulation
« F » desfeuillus, laquelle
couvre laplus large plage
de massesvolumiques
p
(0,10
à1,28 g/ CM 3 ).
Pour les données
disponibles,
la variabilité totale despropriétés physiques
etmécaniques
desrésineux, population
« R », est incluse dans celle des « F » et considé- rablementplus
réduite(masses volumiques comprises
entre0,26
et0,59 g/cm 3 ).
En
conséquence,
les commentairesporteront
dans la suite de cet article sur les deuxsous-populations
« R » et « F », uneanalyse plus complète
seraprésentée
dans un mémoire de thèse(E L A MRI ,
àparaître).
4.1. Un modèle
prévisionnel
de comportementélastique
tridimensionnel pour les « boisfeuillus
»Le tableau 2 donne les
caractéristiques élastiques
de bois feuillus sous forme derégressions
linéairesmultiples
à deuxparamètres explicatifs, soit,
lescouples (p, H),
et(p, E!).
Dans les deux cas, les coefficients de corrélations
multiples
sont trèssignificatifs, supérieurs
à R =0,4843
valeur limite au seuil de 1 %. pour un nombre dedegrés
deliberté ici
égal
à N - 2 = 41.L’examen des
régressions
linéairesmultiples
donnant lescaractéristiques élastiques
en fonction des deux
paramètres physiques,
massevolumique
p et taux d’humiditéH,
conduit aux commentaires suivants :La masse
volumique
p est la variablephysique explicative majeure
de la variabilité totale des constantesélastiques.
Lespourcentages
de la variance totaleexpliquée
par p pour les différentes constantesélastiques
sont les suivantes :i !!!!I!.;!,!!!!!-I i 1 C’ 1 co-I ..-.-1 .-.--1 ! ..-.-1 ...-1 !_I -, - <
Le taux d’humidité H donne des coefficients de corrélation
partiels qui
révèlent les tendancesglobales
dans le sensprévisible (G ERHARDS , 1982),
à savoir, une diminutiondes
rigidités
avec accroissement du taux d’humidité. Toutefois les coefficients sont nonsignificatifs.
Labanque
de données ne fait en effet intervenir que des mesures effectuées sur des bois stabilisés à des taux d’humidité,compris
dans une fourchetteétroite
(9
à 14 p.100)
et leplus
souvent voisins de 11,5 p. 100. L’influence de ceparamètre
H ne seraplus
discutée dans cequi
suit.La seconde
partie
du tableau 2permet
d’examiner lapertinence
de la donnéed’une
caractéristique physique
p et d’unecaractéristique élastique E L
pourprévoir
lesautres
caractéristiques élastiques.
La forte corrélation de
E L
à p observée ci-dessus, est bien évidemment confirmée ici, p reste en effet la variableexplicative majeure, exception
faite pour les deux composantes nondiagonales S, 3
etS ij qui
sont mieuxexpliquées
par lecouple (p, E i ,).
Sur les
figures
1 à 9, lespoints représentatifs
dechaque caractéristique élastique
sont
portés
en fonction de la massevolumique.
L’examen de ces nuages depoints, suggère
de discuter l’utilisation de lois derégressions
enpuissance
de p. Dans cebut,
le tableau 3indique
lesrégressions simples,
linéaire etpuissance
de pcorrespondant
àchaque
constanteélastique, exprimées
enprenant
comme massevolumique
de référencep = 0,65 g/ cm&dquo;
valeuracceptable
pour les bois feuillusemployés
industriellement.La discrimination entre la loi linéaire et la loi
puissance
nepeut
sedégager simplement
d’unecomparaison
des coefficients de corrélationsqui
restent très voisinsdans tous les cas.
Les
régressions
linéaires sontbiaisées,
elles conduisent en effet à desprévisions
derigidités négatives,
pour des valeursfaibles,
maisinterpolées
de p. Enconséquence,
lemodèle
prévisionnel
de comportementélastique
retenu est donné par les loispuissances
du tableau 3. Toutes les
grandeurs
dans ce tableau sontindiquées
par des nombres arrondis à 3 chiffressignificatifs.
4.2. Un modèle
prévisionnel
decornportement élastique
tridimensionnel pour les bois résineuxLa
population
« R » bois résineux est caractérisée par uneplage
de masse volumi-que sensiblement réduite
(0,26
à0,59 g/ cm 3 )
enregard
de celle concernant les feuillus.Il
apparaît
sur le tableau 1 que le coefficient de variation de p passe de 45 p. 100 pour les feuillus à 20 p. 100 dans le cas desrésineux,
cette très sensible diminution du coefficient de variation est observable pour toutes lescaractéristiques élastiques réperto-
riées.
Les conclusions et commentaires, pour cette
population
« R »,quant
à l’influence desparamètres physiques
p et H, à travers desrégressions
linéairesmultiples
sontsimilaires à ceux formulés à propos de la
population
« F » et ne seront pasrepris.
Les
points représentatifs
dechaque caractéristique élastique
sontportés
en fonctionde p sur les
figures
n&dquo; 10-18 et le tableau 4indique
lesrégressions simples,
linéaires etpuissances
de p,exprimées
enprenant
une massevolumique p = 0,45 glcm3, valeur
deréférence
acceptable
pour les résineuxemployés
industriellement.Les
qualités
desrégressions
sontsignificatives
au seuil de 1%o,
àl’exception
dumodule de cisaillement
G RT
pourlequel
les coefficients de corrélationindiquent
destests
significatifs
au seuil de 1 p. 100.Les coefficients de corrélation relatifs aux lois linéaires sont,
systématiquement, légèrement supérieurs
à ceux obtenus pour les lois enpuissances.
Deplus,
l’étalement des massesvolumiques représentatives
des boisrésineux,
étant relativementétroit,
l’utilisation de loispuissances
n’est pasjustifiée.
Les modèles de
régressions
linéaires seront retenus pour les résineux.5. Discussion et conclusion
L’esprit
du travailprésenté
ici s’inscrit dans la démarchegénérale
suivie par J. BODIG et J.R. GOODMAN(1973), qui
est de rechercher des modèlesprévisionnels
delois de comportement
élastique
tridimensionnel pour les matériauxbois,
à travers des corrélationsinterespèces.
Il convient desouligner
lescompléments
et différencesqui distinguent
les deuxapproches.
Enpremier lieu,
laprise
encompte
de travauxfrançais
récents a
permis
decompléter
labanque
de données. Pour lesfeuillus,
l’effectif a étéporté
de 22 à43,
tandis que pour lesrésineux,
l’effectif estpassé
de 33 à 37. Un secondpoint
est que les donnéesbibliographiques
sont,ici, exploitées
en termes desneuf
complaisances élastiques S ij
commeindiqué
auparagraphe 2,
depréférence
àl’utilisation des douze
grandeurs techniques qui
ne sont,théoriquement,
pasindépen-
dantes. En
effet,
le choix d’un modèle de loi de comportementmécanique élastique
linéaire, conduit à
l’hypothèse
d’existence d’une densitévolumique
depotentiel
élasti-que, forme
quadratique
définiepositive
descomposantes
parexemple
du tenseur descontraintes. Ceci
implique
lasymétrie
de la matrice descomplaisances élastiques, sij
=sji.
Dans ces
conditions,
les mesures, parexemple,
des deux modulesd’Young E R
etET
et des deux coefficients de Poisson vRT et VTR, donnentquatre
informations chiffrées pour déterminer troisgrandeurs théoriques indépendantes.
Le moded’exploitation
desdonnées, précisé
auparagraphe
n°2,
est ainsiparfaitement justifié.
Il a pour consé- quencemajeure
de fournir desrégressions significatives
entre lescomplaisances
nondiagonales
et la massevolumique.
Cequi
n’est pas le cas lors du traitement direct des coefficients dePoisson,
enparticulier
pour les résineux(B ODIG , 1973).
Les deux modèles
prévisionnels
de loi decomportement élastique proposés
pour lesbois feuillus sur le tableau 3
(lois puissances)
et pour les résineux sur le tableau 4(lois linéaires) permettent
de calculer l’ensemble des termes de la matrice descomplaisances élastiques
pour un bois dont on connaît la massevolumique
p mesurée à un taux d’humidité stabilisé auvoisinage
de 12 p. 100. Sur cestableaux,
un coefficient de variation résiduelle CVR p. 100 pourchaque caractéristique élastique,
illustre lapart
de variabilité duparamètre
nonexpliquée
par la massevolumique.
L’examen de ces CVR doit être fait engardant présent
àl’esprit que
les résultatsexpérimentaux
collectés sontinteressences,
obtenus au moyen de méthodesexpérimentales variées,
par différentsexpérimentateurs.
Lesprévisions proposées
sontparticulièrement
satisfaisantes. Elles conduisent à des incertitudes du même ordre que cellesqui
découleraient d’une campagneexpérimentale.
En effet, dans le cadre du contrat D.G.R.S.T. n° 81-G-1058
(P LUVINAGE G., 1985),
neuf laboratoires ont été associés à une campagne
expérimentale
visant à comparer leurméthodologie
de mesure de la matrice descomplaisances élastiques
en travaillant chacun surplusieurs éprouvettes découpées
dans une même grume de hêtre. Les différents lotsd’éprouvettes prélevées
sur une même grume, échantillonnés par les soins de la Station de Recherches sur la Qualité des Bois du Centre de Recherches forestières de l’INRA(Champenoux),
de telle sorte que l’onpuisse
raisonnablement considérer que l’échantillon moyen étaitidentique
pour tous les laboratoires.Les résultats des essais exécutés par le L.E.M.T.A.
(méthode
du cubeunique), reportés
sur le tableau5,
concernent les valeurs moyennes des constantesélastiques
mesurées sur 25 cubes de masse
volumique
moyenne p =0,676 g/cm 3 (CV
=2,3
p.100).
Les coefficients de variation observés pourchaque caractéristique
sontindiqués.
Sur le même tableau 5 sont
portées
les valeursprévues
par le modèle bois feuillus(lois puissances
tableau3)
pour la massevolumique
considérée, ainsi que lescoefficients
de variations résiduellescorrespondants.
Certaines
rigidités élastiques, particulièrement
suivant les directions transverses aufil du bois sont par défaut en
regard
du modèle. Cecis’explique
enpartie
du fait que la méthode L.E.M.T.A. suppose actuellement la stabilisation d’unfluage primaire
avantl’enregistrement
desélongations (quelques
dizaines desecondes).
Lesélongations
mesu-rées sont donc
majorées
parrapport
à une méthode à vitesse dechargement
constant,en
conséquence
lesrigidités apparentes
sontplus
faibles.Enfin,
les dernièreslignes
du tableau 5indiquent
les valeurs moyennes et les coefficients de variation dechaque
constanteélastique
du même bois de hêtre, calculéessur un effectif de N = 8,
correspondants
aux résultats affichés par les huitéquipes
surdix
qui
ont, en définitive, transmis des conclusionsexpérimentales
dans le cadre du contrat ci-dessus mentionné. Une lecturecomparative
de l’ensemble du tableau montre, d’une part que le modèleprévisionnel proposé
ici pour les boisfeuillus,
fournit une loi decomportement élastique
tridimensionnelle pour le bois de hêtreétudié,
tout à fait satisfaisante ; d’autre part, que lamultiplication
des démarchesexpérimentales (ici
àeffectif de
8)
n’a pas réduit defaçon significative
l’intervalle d’incertitudeprévu
par le modèle.Il convient de noter que les résultats du contrat relatifs au bois de hêtre ne sont pas inclus dans la
banque
de données ayant servi à créer les modèlesprévisionnels.
En conclusion, le traitement
statistique
d’unebanque
de donnéesmécanophysiques,
relatives à 43 bois feuillus et 37 bois résineux.
permet
de proposer deux modèlesprévisionnels
de loi de comportementélastique
en fonction de la massevolumique
p du bois considéré à un taux d’humidité H voisin de 12 p. 100.L’introduction d’un
paramètre supplémentaire,
tel que le modulelongitudinal E,.,
n’améliore pas de
façon significative
lesrégressions multiples.
Les difficultés de mise en oeuvre d’une méthode
expérimentale
pour l’identification de la matrice descomplaisances élastiques
sont telles que les incertitudes sur les résultats obtenus sont du même ordre que celles inhérentes aux modèlesproposés.
Lavoie
expérimentale
ne devrait être choisie que si l’utilisation ultérieure de la matricecomplète
descomplaisances élastiques
estpleinement justifiée.
Dans la
majorité
des cas, l’ensemble descaractéristiques
ducomportement
élasti-que tridimensionnel d’un bois ne sera nécessaire que comme données
matérielles,
dansun
problème
demécanique, généralement
résolu par une méthodeinformatisée,
type méthode aux éléments finis.L’ingénieur
pourra valablement utiliser l’un des modèlesélastiques
de bois standardsproposés
etprendre
encompte
les corrections en massevolumique.
Reçu
le 16juin
1986.Accepté
le 24 décembre 1987.Remerciements
. Une part de la collecte et de l’informatisation de la banque de donnée a été assurée
grâce
àla contribution de Monsieur SOTOMAYOR et de Monsieur FALLOU durant leur stage au L.E.M.T.A.
e Cette recherche relevant de la
Rhéologie
du Bois a été exécutée et a reçu un support financier dans le cadre des activités du G.S.Rhéologie
du Bois n ° 410082 du C.N.R.S., et n’a puse
développer qu’en
étroite collaborationscientifique
avec le C.N.R.F., le C.T.B.A. et le C.T.F.T.Summary
Tridimensional elastic behaviour
predicting
modelsfor
hardwood andsoftwood
Computed
data,including physical properties
such asspecific gravity
p, moisture content H, andanisotropic
elasticproperties
are available, here for 80 different woodspecies.
Statisticalanalyses
showedsignificant multi regressions
whithin these parameters. This leads to theproposal
of two
predicting
models tor the triaxial elastic behaviour for hardwood and softwood. It is thenpossible to predict the complete elastic
compliance
matrix for a certain wood whosespecific gravity
is known, at a ncarly 12 p. 100 moisture content. The efficiency of the hardwood elastic model is discussed
through
experimental resultsgiven
for the same Beech byeight
laboratories.Key words : Elasticity,
anisotropy,
hardwood,softwood, predicting
models,specific
gravity.Références
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