Cours 4

Cours 4

Rappels de cinématique

1. Introduction

Dans les réactions nucléaires on a besoin de connaître les énergies, les vitesses (ou les impulsions) des différents noyaux (ou particules) qui interviennent. Pour ce faire le physicien expérimentateur doit définir un système de référence ; le plus naturel est celui dit du "laboratoire" noté par la suite L.

Deux lois fondamentales de la mécanique régissent les chocs :

 La conservation de l'énergie totale (Energie cinétique + Energie de masse)

 La conservation de l'impulsion Appelons

P 

le vecteur impulsion. La conservation de l'impulsion entraîne



 ^{P }

^incident

^{ P }

^{final .}

Dans une réaction à 2 corps  +    +  supposons que la particule  soit au repos dans le système L du laboratoire. La position de  sera prise comme origine du système L et l'axe des x sera fixé par la direction du faisceau incident.

Si on construit un repère droit tel que le plan (x,y) contiens l'impulsion

P 

³

de la particule , alors la conservation de l'impulsion entraîne que

P 

4

soit dans ce plan. Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit "plan de réaction".

Pour les prévisions théoriques, un autre système de référence, noté G par la suite, permet de simplifier ces calculs: le système dit du "centre de masse":

Le système du centre de masse est un référentiel pour lequel la somme des quantités de mouvement des particules de la voie  +  d'entrée (ou de la voie de sortie  + ) est nulle.

Le système du centre de masse se déplace dans le laboratoire selon l'axe des x, avec une vitesse constante: la vitesse du centre de masse. Les 2 systèmes sont des systèmes de référence Galiléens. En effet:

On appelle système de référence Galiléen (ou inertiel), tout système par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos, ou initialement en mouvement à une vitesse constante conserve cette vitesse.

Le mouvement d’une particule libre dans un système de référence donné est entièrement défini si l’on connaît sa masse, sa vitesse et sa direction. Après une interaction (choc élastique ou inélastique, désintégration en vol ou à repos, matérialisation), on peut calculer n paramètres en fonction des paramètres initiaux, des lois de conservation de l’énergie et des projections des quantités de mouvement et si l’on se donne des paramètres manquants.

Par exemple, dans un choc élastique proton-proton, les énergies et directions initiales étant connues, si l’on se donne la direction d’un proton diffusé on pourra calculer son énergie, la direction et l’énergie du deuxième proton diffusé.

Le but de ce cours est d’établir des relations générales entre les différentes grandeurs décrivant le mouvement des particules, et nous permettre ainsi de prévoir :

- les conditions énergétiques de production des particules par les différents types d’interactions possibles.

- leurs caractéristiques mécaniques qui détermineront la méthode expérimentale de détection et de mesure des sections efficaces, dont la connaissance est nécessaire pour établir les lois de force.

Ce cours est utile pour comprendre la production et l’utilisation des particules nucléaires et est nécessaire pour la résolution des problèmes expérimentaux.

Dans ce qui suit traiterons le cas général des particules relativistes. Nous déduiront également les formules dans le cas non relativiste.

Définitions

Les résultats expérimentaux sont obtenus dans le système de référence lié au laboratoire (L).

L’interprétation théorique des résultats se fait le plus simplement dans le système du centre de masse (G).

Les résultats expérimentaux devront donc être transposés dans le système G pour interprétation.

Le système G a l’avantage supplémentaire de permettre une simplification des calculs de cinématique, la résolution des équations de conservation étant souvent très fastidieuse dans le système L.

Avant la réaction

Après la réaction

y

x x

y

Système L Système G

1 2 1 2

x x

y y

3

4 4

3

2. Caractéristiques d'une particule dans les 2 systèmes Dans tout ce qui suit, c représente la vitesse de la lumière dans le vide (c=3·10⁸ m/s).

Une particule dans le système du laboratoire (L) M : masse au repos (en unité d'énergie MeV), M=mc² v : vitesse

c

 v



1 2

1 γ β

 

E : énergie cinétique

W = E + M : énergie totale, E et M sont exprimées dans la même unité (MeV).

Pour éviter d'avoir c dans l'expression de l'impulsion (qui en soit s'exprime en MeV/c) on l'utilise sous la forme P=pc.

P = impulsion (en MeV),

P  M 

 : angle par rapport à l'axe des x compté positivement dans le sens trigonométrique.

Une particule dans le système du centre de masse (G) M : masse au repos

v

: vitesse

c

 v



1 2

1

 

 

E

: énergie cinétique

M E

W  

: énergie totale, E et M sont exprimées dans la même unité (MeV)

P

₌

p c

impulsion (en MeV)



_: angle par rapport à l'axe des x compté positivement dans le sens trigonométrique.

Mouvement de G par rapport à L V : vitesse

c Β  V

1 2

1 Γ Β

 

3. Rappel des principales formules en relativité restreinte pour une particule

Pour que toutes les grandeurs soient dans la même unité (MeV) on utilisera P=pc.



^M



P M

M E

M

W 

 







 2

2 2

1

W P M

P P M

E

ME E

W

β M 

 







 2 2

2 2 2

1 2

Wβ M

β ME Mβ

E M

W

P  

 







 

1 2 2 2

2 2

Deux relations importantes en cinématique sont:

2 2

2

P M

W  

_et

P  W 

Pour une particule la quantité

W

²

 P

² _est un invariant relativiste, sa valeur est la même dans tous les repères galiléens.

Dans le cas où il y a plusieurs particules l'invariant est:( W )² ( P )²

i i

i i





^ mais

attention cette quantité n'est pas en général égale à ( M )²

i i



.

4. Transformations de Lorentz pour une particule

a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systèmes L et G :

1 B2

Vt x x



 

1 B² t V x x



 

2 2

1 B

c t Vx

t 

 

²

2

1 B

c x t V

t 

 

y y 

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systèmes L et G

Système L Système G

 cos vt

x 

 sin vt y 

avec



angle entre Ox et l'impulsion



cos t

v x 



sin t v y 

avec ^ angle entre Ox _et l'impulsion

2

2

1

) cos(

1 cos

B

t V t

v B

t V vt x

x 

 



 

  

θ) β (

Β

V θ)

( v

t c

x V

V v

B ) x c

t V ( B

t V θ)

( t

v t

v x vx

cos 1

cos 2 )

1 (

) cos(

1 2 2 2

1 cos cos



 



 







 





 

θ ) β (

Β

B θ )

( v

) c x

t V (

B θ )

( t

v t

y t

v y v

_y

cos 1

1 sin

1 sin sin

2

2

2



 



 





 

Comme

x y

v tg   v

, on obtient : ) Κ (θ

θ) ( tgθ Γ

 

cos sin 1

où K  B/



V /v

c) Relations entre les énergies et les impulsions dans les systèmes L et G :

En partant des expressions de v_x et v_y calculées ci-dessus on a:

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

)) cos(

1 (

) ( sin )

cos(

2













 















 

 

 c

v v

c

v

_{x y}

d'où : γΓ( βB (θ))

γ β 1 cos

1 1

2  

 

Nous obtenons alors pour l'énergie en L en fonction de l’énergie en G : p Β)

Γ(W θ))

Β ( β WΓ(

θ)) Β (

β Γ(

Mγ Mγ

W   1 cos  1 cos   _x

Pour le calcul de l'impulsion on utilise les relations: P = MW

x x x

x x

x v

V Γ v

v γ β M

Γ(

)γ (θ β

Β

V M v

Mv γ

cp    



 

 1 cos( ))

cos

1



. On en déduit :

Β) W Γ( p

) ) θ β (

Γ( Β p

p

_x



_x

 

_x



1 cos

De même pour la projection suivant l'axe y :

y y

y y

y γΓ( βΒ (θ)) Mv γ cp

θ) β (

Β v Β γ M

Mv

cp   



 

 1 cos

cos 1

1 ²

, soit

p

^y

 p

^y

. Ces expressions peuvent être mémorisées sous une forme matricielle:

 

 



 



 



 

 

 





x

p

x

W Γ

ΓB

ΓB Γ

p W

y

y

p

p 

ou dans l'autre sens:



 







 







 



 





x px

W Γ

ΓB

ΓB Γ

p W

y

y p

p 

avec 1 2

1 B Γ  

5. Cinématique à deux corps 5.1. Système à 2 particules

Dans le cas général une réaction nucléaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux). Dans la plupart des cas l'un des 2 noyaux (cible) est au repos.

Dans le cas présent nous traiterons le cas où les 2 "objets" sont en mouvement.

Energie totale W_t W₁ W₂  Γ(W₁  p_1xΒ W₂  p_2xΒ)

par définition de G,

p

_1x

 p

_2x

 0

_alors: W_t  Γ^W_t Vitesse du centre de gravité

t x

x x

x p Γ(p W Β p W Β) ΓΒW

p₁  ₂  ₁  ₁  ₂  ₂ 

parce que p_1x  p_2x  0 ; de plus en utilisant l'expression de l'énergie totale ci-dessus, on obtient :

x x

W p B p¹  ²



5.2. Retour sur l'invariant relativiste L'invariant

( W )

²

( P )

²

i i

i i



 ^

est très utile pour calculer simplement les constantes cinématiques entre un système de référence et un autre système.

Par exemple pour un système à deux particules :

Dans le laboratoire on a:

(W

₁

 W

₂

)

²

 (P

₁

 P

₂

)

²

 K

(une certaine valeur).

Dans le système du centre de masse

 ^{P   0}



( W

₁

 W

₂

)

²

 W

_t²

 K

_.

Pour le cas d'une cible au repos : 0 2 2 1 1 1 2 , W M , W M E

P    

2 2

1 2

1 2

2 2

1 W 2WW P W_t

W     soit ^{2 1}

2 2 2

1

2 M M 2M W

W_t    _,

ou encore ^{2 1}

2 2 1

2 (M M ) 2M E

W_t   

5.3. Réaction  +    + 

Considérons la réaction  +    + , le noyau 2 étant au repos dans le laboratoire. L'axe des x est pris suivant la direction du faisceau.

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donnée par:

Wt p M

W

β W γ M

M

γ β

B M 1

2 1

1 1 2

1 1

1 1

1   

 .

Dans la voie de sortie, nous avons :

2 3 2

3 3

3

3 W W M

P 



 

2 4 2

4 4

2 4

4 W β W M

P   

Par définition du centre de gravité, P³  P⁴ . De plus, W_t W³ W⁴

t t

ΓW

) M Γ (M

W W

M M

W W

2 2

2 4 2

3 2

2 2

4 2

3 2

3



 



 

3 2

3 2

4 2 2

2 3 2

4 2

4 2 2 W W

ΓW

) M Γ (M

W W

M M

W W _t

t t

t

t    

 

 

Si M3  M1 et M4  M2 _{on a:} P₃  P₁.

5.4. Q de réaction (ou chaleur de réaction)

Cette quantité ne dépend que des masses (et de l'état d'excitation du noyau de recul). Elle est définie par:

Q = M₁ + M₂ – (M₃ +M₄) Les réactions peuvent être élastiques

2 4

1 3

M M

M M





, d'où Q=0.

Sinon, les réactions sont dites inélastiques.

Si Q > 0 la réaction est dite exo-énergétique. Une partie de l'énergie de la voie d'entrée est transformée en énergie cinétique.

Si Q < 0 la réaction est dite endo-énergétique. Une partie de l'énergie de la voie d'entrée est transformée en masse. Il faut donc une énergie cinétique incidente minimum appelée "énergie seuil" pour produire cette masse.

Pour le cas où la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire:

4 4

4

3 3

3

2 2

1 1

1

M E

W

M E

W

M W

M E

W















et W¹ W² W³ W⁴  Q  E³  E⁴  E¹ (conservation de l'énergie totale)

Si on projette dans le système L les impulsions sur les axes x et y, on a (conservation de l'impulsion):

4 4

3 3

4 4

3 3

1

sin sin

0

cos cos









P P

P P

P









soit

3 3

4 4

3 3

1 4

4

sin sin

cos cos









P P

P P

P







et après élévation au carré et sommation:

3 3

1 2

3 2

1 2

4

P P 2 P P cos 

P   

En utilisant la valeur de Q ci-dessus E4  Q  E3  E1_et P₄²  E₄²  2M₄E_4. En identifiant les termes des 2 équations donnant P₄, on obtient l'équation générale :

3 0 3 cos 2 3

2 3 1 2 1

2 2 1 4) ( 3

2 3 3) 1

( 4 2 1 3) 1

( 4

2  2Q M  E  E  E M  M  E  E M  M  E  M E E  M E  

Q

Tables de Masse

Sauf pour les noyaux légers, les masses ne sont pas données en unité d'énergie (MeV).

Il existe des tables dites de "défauts de masses atomiques" (souvent en keV, ex: Wapstra et al.).

La masse est alors donnée par:

M(MeV)=931.5016*A 0.511*Z + (M-A) avec (M-A) défaut de masse (à multiplier par 10^-3 si en keV).

5.5. Seuil de réaction

Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux, la masse totale après la réaction peut être supérieure à celle avant la réaction. Dans ce cas, la réaction ne peut se produire que si l'énergie incidente dépasse une énergie seuil E_s.

Par définition cette énergie E_s est définie comme étant l'énergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le système du centre de masse.

) (

)

(M₁ M₂ m M₁ M₂ Q

W

W_t   _t         (m : la masse "produite")

2 1

1 2

1 W M W

W

W_t   





L'énergie seuil est l'énergie cinétique minimum de la particule 1 pour laquelle la réaction aura lieu :

E

_s

 W

1

 M

1

 Γ(M

1

 M

2

 m)  W

2

 M

1 ₍₁₎

En supposant que la particule 2 possède une impulsion P₂:

2 2 2

2

2 2

2 2

1 2

1

) P (P

) W (W

W W

) P (P

W

W Γ Β

s s

s s

t

t







 



 

 

. (2) En remplaçant P_i par

W

ⁱ²

 M

ⁱ² dans (2) et  dans (1), on obtient la relation

0 )

2 ( )) (

2 ( 4

4M₂²E_s²  E_s E₂M₁M₂  a E₂  M₂  M₁E₂  a ²  avec

)]

( 2

[ Q M

₁

M

₂

Q

a   

Si la particule 2 est au repos

2

2 1

2

)]

( 2 [

M

M M

Q

E_s  Q  

.

5.6. Energie dans le laboratoire des particules émises au seuil

Au seuil les particules sont émises sans vitesse dans le système G, par contre elles en ont une dans le laboratoire. Pour une particule n:

)) cos(

1 _{n n}

n

n W Γ( β

W    

Au seuil de réaction, nous avons Wⁿ  Mⁿ et _n  0 d'où : W_ns  M_nΓ

et

E

_ns

 M

_n

(Γ  1 )

En utilisant la valeur de E_s calculée ci-dessus et

M M Q W Γ W

^s





 

2 1

2

, d'où Q

M M

Q E

E Q

M M

Q M

W M

W Q

M M

W

Γ W^{s s s}







 











 

 



 



2 1

2 2

1

2 2

1 2

1

2 1

1

on obtient

Q M

M

Q E

M E

E_{ns n} ^s







 

2 1

2

5.7. Transformation des sections efficaces différentielles

La section efficace totale d'un processus, quantité indépendante du référentiel, est:



 _ ^ _

          

 d d

d d d

d d d

tot

( ) sin( )

) ) sin(

(

_d

d()

et _d d ( )

sont les sections efficaces différentielles par unité d'angle solide dans L et G. Ces quantités sont indépendantes de l’angle .

















d d d

d

) sin(

) sin(

) (

)

( 

Κ θ

θ tgθ Γ

 

cos sin 1

(1) où KB/ et 1 ( ) ) ) (

sin( 2



 

tg tg

 

(2) En remplaçant (1) dans (2), on obtient la relation :

) ( sin )

) (cos(

) sin(

) ( 1

) ) (

sin( 2 2  2 2 





 







 

 

tg

tg _{(cos( ) ) sin ( )}

) sin(

)

sin( ₂  _{2 2} 



 _{   }

(3)

En différentiant l'expression de tg , nous obtenons : θ))

Κ ( Γ(

θ) Κ) (

θ) ( Γ (

dθ θ d

cos 1

sin

cos ^{2 2}

2





 

(4) ^{( 2(cos( ) )2 sin2( ))3/2}

)) cos(

1 ( )

sin(

) sin(

) (

) (



































 

 d

d d

d

5.8. Cas particuliers

Désintégration d'une particule en vol

Dans ce cas particulier, la voie d'entrée est composée d'une seule particule.











 

 β

W p W

p Β p

t x

x 2

1

Des relations générales, nous déduisons : ¹

1

1

M M

W W

W

_t

W

^t



^t

  

 









Pour la voie de sortie, les 2 particules satisfont aux relations dans le système G:

1

2 4 2

3 2

1 2

4 2

3 2

3

2 2 M

M M

M W

M M

W W

t

t

 

 

 

²

3 2 3

3

1

W

 M

 

1

2 3 2

4 2

1 2

3 2

4 2

4

2 2 M

M M

M W

M M

W W

t

t

 

 

 

²

4 2 4

4

1

W

 M

 

et dans le laboratoire

θ )) β (

β γ(

W

W

₃



₃

1 

₃

cos

₃

)) cos(

1

(

_{4 4}

4

4

 W     

W

β) θ )

β (

β θ )

β ( )

tg(θ 

 

3 3

2 3

3

3 cos

1 sin

, 



⁴ 







³

Désintégration en 2 corps d'une particule au repos

La particule (unique) de la voie d'entrée est au repos  B = 0 = 1  = 1

1

1 M

W W

W_t  _t   Pour la voie de sortie:

1

2 4 2

3 2

1 3

3 2M

M M

W M

W    

²

3 2 3

3

1

W

 M

 

1

2 3 2

4 2

1 4

4 2M

M M

W M

W  



 ²

4 2 4

4 1

W

 M

  Dans le référentiel du laboratoire

1

2 4 2

3 1

3 3

3 2

) (

M

M M

M M W

E  







1

2 3 2

4 1

4 4

4 2

) (

M

M M

M M W

E  







) ) (

cos(

) ) sin(

(

_n

n n

n

tg

tg 



   



³ 



³



₄ 







₃

Les deux particules de la voie de sortie sont émises en opposition, toutes les directions d'émission sont équiprobables.

6. Approximation classique

Pour E << M on peut traiter les calculs de cinématique dans l'approximation classique.

Exemples

1. En négligeant

E

² devant 2EM, l'impulsion P  2ME ,

E β Mc

Mc

P  2  2 2

, on retrouve 2

2 1Mv E  _.

2. Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu: c

v M M

E

M E

M W

B W ¹

2 1

1

1 1

2 1

1 1





 

 



Si on néglige les énergies cinétiques devant les masses,

c v M M

B M

¹

2 1

1

 

et _{1 2} ¹

1

v

M M

V M

 

V v

v   





₁

1 soit ¹

2 1

2

1

v

M M

v M

 

3. Nous avons d'autre part obtenu la relation générale

0 cos

2 2

2 ) (

2 ) (

2 ) (

2 _{4 1 3 1 4 1 3 3 3 4 1}² _{1 1 3}² _{3 3 3}

2  Q M  E  E  E M M E  E M  M  E  M E E  M E  

Q

En négligeant

QE

_i

, E

_i²

, Q

² on arrive à:

) 1

( )

2 cos(

) 1

(

4 1 1

3 3

3 1 1 4

4 3

3

M

E M E

M E M M

M E M

Q      

En mécanique classique, on peut ajouter les vitesses. Une particule de vitesse

v

dans le système G aura dans le système L la vitesse v  v V , soit la construction géométrique:

Construction géométrique

Dans le système G, l'impulsion p₃ (donc v₃), à un module constant et tourne avec ³. Son extrémité décrit un cercle centré sur le centre de masse. Par la construction ci-dessus, l'extrémité de v₃ dans le laboratoire pointe sur un autre cercle, de même rayon que le précédent, mais dont le centre est translaté de V.

v

3

v

3

En pointillé les vitesses dans le laboratoire.

Cercle de gauche: système G.

v

V

v

Si



³ peut toujours varier entre 0 et 180°, il peut ne pas en être de même pour

3, dans certains cas il peut y avoir un angle limite.

a) Si M₁ < M₂ alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu décalés.

Pour 3=180°, on à 3=180° ; il n'y a pas d'angle limite.

b) Si M₁ > M₂ alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont très décalés.

La limite en



³ _{et 3} est donnée lorsque le cercle de droite est tangenté par v₃.

On a:

V v₃

lim

sin3  où

3 lim

v

3

V v₃

1 1

2 3 3

3 lim

3   

v K tg



v

Dans le cas d'une réaction élastique

1 lim 2

sin 3 donc

1, 3

1

3 M

θ M v

v , p

p   

Exemple: ¹²C + ¹H pour E_incident = 100 MeV on a: 0° < 3 < 4.8°