Chapitre 10 : Fonctions de référence (3/3) (La fonction inverse)
I – La fonction inverse 1) Définition
Définition : La fonction inverse f est définie sur ]−∞ ;0[ ∪ ]0;+∞[ par f(x)=1 x
Exemple : Soit f la fonction inverse. Alors f(2) = 1
2 ; f (−3) = 1
−3 = -1
3 ; f(17) = 1
17 ; f(−32) = 1
−32 ; f(0) n' existe pas ! Remarque : ]−∞ ;0[ ∪ ]0;+∞[ se note aussi ℝ* ou ℝ\{0}. Ainsi l’ensemble de définition de la fonction inverse est souvent écrit sous la forme ℝ*.
2) Variations
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ]-∞ ; 0[ et décroissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
Preuve (au programme) : Soit f la fonction inverse.
• Montrons que f est décroissante sur ]0 ; +∞[.
Soient a et b deux nombres réels appartenant à ]0 ; +∞[ tels que 0 < a < b . Alors f (a) = 1
a et f(b) = 1
b et f(b)−f(a) = 1 b−1
a = a−b a×b Or a > 0 et b > 0 donc a×b > 0
et a < b donc a−b < 0 Ainsi f(b)−f(a) = a−b
a×b < 0 et f(b) < f(a) donc la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[.
• Montrons que f est décroissante sur ]-∞ ; 0[.
Soient a et b deux nombres réels appartenant à ]-∞ ; 0[ tels que a < b < 0 . Alors f (a) = 1
a et f(b) = 1
b et f(b)−f(a) = 1 b−1
a = a−b a×b Or a < 0 et b < 0 donc a×b > 0
et a < b donc a−b < 0 Ainsi f(b)−f(a) = a−b
a×b < 0 et f(b) < f(a) donc la fonction inverse est décroissante sur ]-∞ ; 0[.
Attention : La fonction inverse n’est pas décroissante sur ℝ * = ]−∞ ;0[ ∪ ]0;+∞[ En effet, par exemple pour a = −2 et b = 4 on a :
a < b car (−2 < 4) et f(a) < f(b) car 1
−2 < 1 4
3) Représentation graphique et tableau de signes - Dans un repère (O ; I, J), la courbe d’équation
y=1
x de la fonction inverse est une hyperbole de sommet O.
- Dans un repère orthogonal, la courbe d’équation y=1
x de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine O. On dit que la fonction est impaire.
Tableau de signes
x -∞ 0 +∞
1
x - +
Tableau de variations
x -∞ 0 +∞
1 x
Remarque : Pour signifier que 0 est une valeur interdite (car on ne peut pas calculer f(0) l’image de 0 par la fonction inverse), on utilise une double-barre dans les tableaux.
Définition (imparité) : Une fonction f définie sur Df est dite impaire si quelque soit x appartenant à Df on a : f (−x)=−f(x) .
Conséquence (admise) : La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Exemple : La fonction f définie sur ℝ par f (x)=x3+x est impaire En effet, pour tout x dans ℝ, f(−x)=(−x)3+(−x)=−x3– x=−(x3+x)=−f(x)
Rappel : (−x)3=(−x)(−x)(−x)=(x2)(−x)=−x3
Propriétés (admises) : Soit k un réel non nul.
- La solution de 1
x=k est x=1
k (rmq : il n’y a pas de solution lorsque k=0 ) - L’ensemble des solutions de 1x⩽k est :
• [1
k ;0 [ si k<0 ;
• ]−∞ ;0[∪[1
k ;+∞[ si k>0 .
Conseil : Il ne faut pas apprendre ces propriétés mais savoir les retrouver à l’aide de la courbe représentative de la fonction inverse (essayez de le faire pour différentes valeurs de k !)
Exemple : - La solution de 1
x=7 est x=1 7 - L’ensemble des solutions de 1
x⩽7 est ]−∞ ;0[∪[1 7 ;+∞[ - L’ensemble des solutions de 1
x⩽−4 est [−1 4 ;0 [
II – Résolution d’équations et d’inéquations quotients
Les expressions algébriques comportant des quotients utilisent en réalité la fonction inverse. On traduit cela par la condition « le dénominateur ne doit pas être nul, car on ne peut pas diviser par 0 ». Mathématiquement on dirait : « la fonction inverse n’est pas définie en 0 donc le dénominateur ne doit pas être nul ».
La résolution d’équations ou d’inéquations quotients est similaire à la résolution d’équations ou d’inéquations produits.
1) Equations quotients
Propriétés (admise) : Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
Exemples :
Je détaille le premier exemple au-delà du raisonnable pour la
compréhension, le deuxième exemple comporte la rédaction suffisante.
a) Résoudre dans ℝ l’équation suivante : 2x+1 3x+7=0
- On cherche quand le numérateur est nul : 2x+1=0 ⟺ x=-1
2 (la solution potentielle est -12 , il faut cependant vérifier que le dénominateur n’est pas nul quand x=-12 )
- On cherche quand le dénominateur est nul : 3x+7=0 ⟺ x=-7 3 .
- Or -12≠-73 donc lorsque x=-12 le dénominateur n’est pas nul.
- Finalement la solution est -12 . S={ -12 }
b) Résoudre dans ℝ l’équation suivante : −2+8x
−x−12=0
−2+8x=0 ⟺ x=2 8=1
4 et −x−12=0 ⟺ x= 12
−1=−12 Or 1
4≠−12 donc la solution est 1
4 . S={1 4 }
2) Inéquations quotients
Propriétés (admises) : Soient a et b deux nombres réels non nuls.
• a
b>0 si et seulement si a et b ont le même signe
• a
b<0 si et seulement si a et b ont des signes contraires
Méthode : Pour résoudre une inéquation quotient, il faut donc connaître les signes du numérateur et du dénominateur, l’outil le plus adapté est donc le tableau de signes !
Exemples :
Je détaille le premier exemple au-delà du raisonnable pour la
compréhension, le deuxième exemple comporte la rédaction suffisante.
a) Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante : 2x+1 3x+7⩾0
- Je cherche le signe du numérateur 2x+1 , pour cela je me demande quand est-ce que 2x+1 est positif. Pour le savoir, je résous 2x+1⩾0 :
2x+1⩾0 ⟺ x⩾-1 2
donc 2x+1 est positif pour x plus grand que -1 2
et nécessairement 2x+1 est négatif pour x plus petit que -1 2
- Je cherche le signe du dénominateur 3x+7 , pour cela je me demande quand est- ce que 3x+7 est négatif. Pour le savoir, je résous 3x+7⩽0 :
3x+7⩽0 ⟺ x⩽-7 3
donc 3x+7 est négatif pour x plus petit que -7 3
et nécessairement 3x+7 est positif pour x plus grand que -7 3 . - On remplit le tableau de signes :
x -∞ -7
3 -1
2 +∞
2x+1 - - 0 + 3x+7 - 0 + + 2x+1
3x+7 + - 0 +
S = ]−∞;-7
3 [∪[ -1 2 ;+∞[
b) Résoudre dans ℝ l’inéquation suivante : −2−x+8−12x <0
−2+8x⩾0 ⟺ x⩾2 8=1
4 et −x−12⩾0 ⟺ x⩽ 12
−1=−12 x -∞ −12 1
4 +∞
−2+8x - - 0 +
−x−12 + 0 - -
−2+8x
−x−12 - + 0 - S = ]−∞;-12 [∪]1
4 ;+∞[
Valeur interdite, car sinon le dénominateur vaut 0. Il ne faut donc pas la garder dans l’ensemble des solutions.
