• Aucun résultat trouvé

Théorème de Lagrange (accroissements finis)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Théorème de Lagrange (accroissements finis)"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

Théorème des accroissements finis (Lagrange)

Gregory Loichot 18 juin 2013

Enoncé

Soit une fonctionf :< → <. Si – f est continue sur [a;b],f est dérivable sur ]a;b[,

Alors, il existe un nombrec∈]a;b[ tel que f0(c) = f(b)−f(a)

ba

Rappel

On sait que f(b)−fb−a(a) est la pente de la droite (en faitSa;b(x) qui passe par les points (a;f(a)) et (b;f(b)).

Le théorème signifie donc qu’il existeau moins un point c∈]a;b[ tel que la tangente en ce point c soit parallèle à la séquente Sa;b(x). Ce qui revient encore à dire que la pente de la tangente au point c est la même que celle de Sa;b(x).

Démonstration

Soit la fonction g(x) = f(x) −Sa;b(x). L’idée est de montrer que cette fonction satisfait le théorème de Rolle. Vérifions donc que c’est le cas :

1. g est continue sur [a;b] car, selon l’énoncé, f est continue sur [a: b]

et Sa;b l’est aussi car elle est définie à partir de la fonction f (dans l’équation deSa;b(x) il n’y a que desf).

2. g est dérivable sur ]a;b[ car, selon l’énoncé, f est dérivable sur ]a:b[

et Sa;b l’est aussi car elle est définie à partir de la fonction f (dans l’équation deSa;b(x) il n’y a que desf).

1

(2)

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 0.25

0.5 0.75 1 1.25

1.5 1.75 2 2.25

2.5

f(x)

Séquente 0;2.75 (x) f '(1.3)

c

Figure 1 – Soit la fonction f en violet. La séquenteS0;2.75(x)a une pente de 0.625. La tangente à la fonctionfau pointc= 1.33a aussi une pente de 0.625.

3. Est-ce que g(a) = 0 et g(b) = 0 ? Oui, car g(a) = f(a)Sa;b(a) et g(b) =f(b)Sa;b(b). Rappelons-nous que

Sa;b(x) =f(a) +f(b)−f(a)

ba ·(x−a) Donc

Sa;b(a) =f(a) +f(b)−f(a)

ba ·(a−a) =f(a) Sa;b(b) =f(a) +f(b)−f(a)

ba ·

(b−a) = f(a) +f(b)f(a) =f(b) et donc queSa;b(a) =f(a) etSa;b(b) =f(b). Finalement on a bien que g(a) =f(a)−f(a) = 0 et g(b) =f(b)−f(b) = 0.

La raison pour laquelle nous avons défini g(x) = f(x)Sa;b(x) est princi- palement de satisfaire le point 3 du théorème de Rolle.

Le théorème de Rolle nous dit, si les trois conditions sont remplies (c’est le cas), qu’il existe un nombrec∈]a;b[ tel queg0(c) = 0.

Que vautg0(x) ? Il suffit simplement de dériver notre définition deg(x) : g0(x) =f0(x)−Sa;b0 (x)

2

(3)

Il nous faut calculerSa;b0 (x) :

Sa;b0 (x) =

cte z }| { f(a) +

cte z }| {

f(b)−f(a)

ba ·(x−a)

0

Sa;b0 (x) = 0 z }| {

f0(a) +f(b)f(a)

ba ·(x−a)0= f(b)−f(a) ba Donc on a que

g0(x) =f0(x)−f(b)f(a) ba

Six=c, on a

g0(c) Rolle

z}|{= 0 =f0(c)−f(b)−f(a) ba

f0(c)−f(b)−f(a) ba = 0

f0(c) = f(b)f(a) ba

3

Références

Documents relatifs

Il s’ensuit que P admet au plus trois racines réelles distinctes.. Traitons maintenant le cas où n

Soit f une fonction deux fois dérivable

Enoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction f définie sur un intervalle [a, b].. Enoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction f définie sur

Un exercice classique et sans difficulté majeure pour un résultat qui peut un peu surprendre (on connaît la lenteur de la divergence de 1. ∑ n , celle-là est « pire

Le théorème des accroissements finis montre que la première inégalité persiste dans la région rp qui représente une amélioration pour tout p &gt; 3. La

Supposons que dans le fluide en mouvement il existe un potentiel uniforme Q(#, y, z, t) pour les accélérations. Dans ces conditions, si les tourbillons sont nuls à un instant

Dans les pages qui suivent, nous nous proposons de donner une démonstration très simple, en la généralisant, de la formule qui sert de base à la démonstration de

A l’aide du théorème des accroissements finis, Lagrange 3 lie le sens de variation d’une fonction au signe de sa dérivée.. Théorème