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Distance entre deux nombres réels Définition V A

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

V

ALEUR

A

BSOLUE

Définition

On considère un axe gradué d’origine O et un point A d’ abscisse a sur cet axe :

On appelle valeur absolue de a , et on note | a | , la distance OA .

Conséquence immédiate

La valeur absolue d’un nombre réel a est toujours de signe positif ou nul.

Ainsi, on peut écrire que : pour tout nombre réel a : | a | = a si a ≥ 0

| a | = − a si a < 0

Exemples

• si l’abscisse du point A est a = − 4,2 alors | a | = 4,2

• si l’abscisse du point B est b = 17092019 alors | b | = 17092019

• si l’abscisse du point C est c =

52,5 alors | c | = 2,5

5 car

5<2,5 donc

52,5<0

Distance entre deux nombres réels

On considère deux nombres réels a et b :

ou

La distance entre les nombres réels a et b est donc | a – b |

En effet : si a < b ( figure de gauche ) alors la distance entre a et b est b – a si b < a ( figure de droite ) alors la distance entre a et b est a – b

dans les 2 cas, comme une distance est positive, on peut résumer ces 2 résultats par | a – b | Exemples

• la distance entre 45 et 12 est : | 45 – 12 | = | 33 | = 33

• la distance entre − 17 et 8 est : | − 17 – 8 | = | − 25 | = 25 ( ou | 8 − ( − 17 ) | = | 25 | = 25 )

• la distance entre 7

5 et 23

11 est :

|

75 2311

|

=

|

3855

|

= 3855

(2)

Valeur absolue et intervalle

Activité

Sur un axe gradué, on considère un segment [ AB ] où l’abscisse de A est – 3 et celle de B est 6.

On place également le point M, milieu du segment [ AB ].

Dire qu’ un nombre réel x appartient à l’intervalle [ – 3 ; 6 ] , c’est aussi dire que la distance qui sépare le point M ( d’abscisse 1,5 ) du point d’abscisse x ne dépasse pas 4,5 .

Les écritures suivantes sont donc équivalentes : x  [ – 3 ; 6 ]  | x – 1,5 | ≤ 4,5 Propriété

Soient a et r deux nombres réels ( avec r > 0 ) .

Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : x  [ a – r ; a + r ]  | x – a | ≤ r a représente le centre de l’intervalle et r représente le rayon de l’intervalle.

Exemples

• x  [ 15 – 8 ; 15 + 8 ]  | x – 15 | ≤ 8

• x  [ 1709 ; 2019 ]  | x – 1864 | ≤ 155 ▪ centre de l’intervalle : 2019+1709

2 =1864

▪ rayon de l’intervalle : 2019−1709

2 =155

• x  [ – 36 ; 14 ]  | x + 11 | ≤ 25 ▪ centre de l’intervalle : 14+ (−36)

2 = −11 , donc | x – a | = | x – ( – 11 ) | = | x + 11 |

▪ rayon de l’intervalle : 14− (−36)

2 = 25

• x  ] 8,1 ; 13,5 [  | x – 10,8 | < 2,7

• | x – 9 | ≤ 3,4  x  [ 5,6 ; 12,4 ] ▪ 9 + 3,4 = 12,4

▪ 9 – 3,4 = 5,6

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