V
ALEURA
BSOLUEDéfinition
On considère un axe gradué d’origine O et un point A d’ abscisse a sur cet axe :
On appelle valeur absolue de a , et on note | a | , la distance OA .
Conséquence immédiate
La valeur absolue d’un nombre réel a est toujours de signe positif ou nul.
Ainsi, on peut écrire que : pour tout nombre réel a : | a | = a si a ≥ 0
| a | = − a si a < 0
Exemples
• si l’abscisse du point A est a = − 4,2 alors | a | = 4,2
• si l’abscisse du point B est b = 17092019 alors | b | = 17092019
• si l’abscisse du point C est c =
√
5−2,5 alors | c | = 2,5−√
5 car√
5<2,5 donc√
5−2,5<0Distance entre deux nombres réels
On considère deux nombres réels a et b :
ou
La distance entre les nombres réels a et b est donc | a – b |
En effet : si a < b ( figure de gauche ) alors la distance entre a et b est b – a si b < a ( figure de droite ) alors la distance entre a et b est a – b
dans les 2 cas, comme une distance est positive, on peut résumer ces 2 résultats par | a – b | Exemples
• la distance entre 45 et 12 est : | 45 – 12 | = | 33 | = 33
• la distance entre − 17 et 8 est : | − 17 – 8 | = | − 25 | = 25 ( ou | 8 − ( − 17 ) | = | 25 | = 25 )
• la distance entre 7
5 et 23
11 est :
|
75− 2311|
=|
−3855|
= 3855Valeur absolue et intervalle
Activité
Sur un axe gradué, on considère un segment [ AB ] où l’abscisse de A est – 3 et celle de B est 6.
On place également le point M, milieu du segment [ AB ].
Dire qu’ un nombre réel x appartient à l’intervalle [ – 3 ; 6 ] , c’est aussi dire que la distance qui sépare le point M ( d’abscisse 1,5 ) du point d’abscisse x ne dépasse pas 4,5 .
Les écritures suivantes sont donc équivalentes : x [ – 3 ; 6 ] | x – 1,5 | ≤ 4,5 Propriété
Soient a et r deux nombres réels ( avec r > 0 ) .
Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes : x [ a – r ; a + r ] | x – a | ≤ r a représente le centre de l’intervalle et r représente le rayon de l’intervalle.
Exemples
• x [ 15 – 8 ; 15 + 8 ] | x – 15 | ≤ 8
• x [ 1709 ; 2019 ] | x – 1864 | ≤ 155 ▪ centre de l’intervalle : 2019+1709
2 =1864
▪ rayon de l’intervalle : 2019−1709
2 =155
• x [ – 36 ; 14 ] | x + 11 | ≤ 25 ▪ centre de l’intervalle : 14+ (−36)
2 = −11 , donc | x – a | = | x – ( – 11 ) | = | x + 11 |
▪ rayon de l’intervalle : 14− (−36)
2 = 25
• x ] 8,1 ; 13,5 [ | x – 10,8 | < 2,7
• | x – 9 | ≤ 3,4 x [ 5,6 ; 12,4 ] ▪ 9 + 3,4 = 12,4
▪ 9 – 3,4 = 5,6