Exercice 1 : Une démonstrations par récurrence

Spé math - Terminale Corrigé DS1

DS1 - Corrigé

Certain calculs intermédiaires sont omis dans ce corrigé. Ils doivent figurer dans une copie !

Exercice 1 : Une démonstrations par récurrence

1. On obtient : u₂ = 5

2,u₃ = 7

3, et u₄ = 9 4.

Attention, tous les détails de ces calculs doivent figurer sur la copie.

2. Montrons, par récurrence surn queu_n = 2n+ 1 n . Initialisation : Pourn = 1, u_n= 3 et 2n+ 1

n = 2×1 + 1 1 = 3 La propriété est donc vraie pour n= 1.

Hérédité : On suppose que pour unn >1fixé, on a : u_n = 2n+ 1 n .

D’après la relation de récurrence définissant la suite(u_n), on : u_n+1 = 3un−4 u_n−1 . Il vient alors : un+1 = 3²ⁿ⁺¹_n −4

2n+1

n −1 =

6n+3−4n n 2n+1−n

n

= 2n+ 3

n+ 1 = 2(n+ 1) + 1 n+ 1 . Ceci prouve l’hérédité et achève la récurrence, on a établi que :

Pour toutn ∈N^∗, u_n= 2n+ 1 n

Exercice 2 : Une suite associée

1. On obtient : u₁ = 9

5,u₂ = 5

3, et u₃ = 11 7.

2. (a) La fonctionf est dérivable sur son ensemble de définition car le dénominateur ne s’y annule pas et on a :

f⁰(x) = 5(x+ 3)−(5x−1)×1

(x+ 3)² = 16

(x+ 3)² >0 On ne déduit que f est strictement croissante sur]−3,+∞[

(b) On calcule f(1) = 5×1−1 1 + 3 = 4

4 = 1.

(c) Montrons, par récurrence sur n que la propriété : P_n :«u_n>1» est vraie pour tout n ∈N.

Initialisation : On a u₀ = 2>1

La propriété est donc vraie pour n= 0.

Hérédité : On suppose que pour unn >0fixé, on a : u_n>1.

On sait que f est strictement croissante sur]−3,+∞[ ainsi f(u_n)> f(1).

On sait aussi que f(u_n) = u_n+1 et f(1) = 1 ainsi u_n+1 >1

Ceci prouve l’hérédité et achève la récurrence. On a établi que : ∀n∈N, u_n>1

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(d) Première solution : par récurrence.

Montrons, par récurrence sur n que la propriété P_n : «u_n+1 < u_n» est vraie pour tout n ∈N.

Initialisation : On a u₁ = 9

5 <2 = u₀. La propriété est donc vraie pour n= 0.

Hérédité : On suppose que pour unn >0fixé, on a : u_n+1 < u_n.

On sait que u_n+1 et u_n sont dans ]−3,+∞[ sur lequel la fonction f est strictement croissante ainsi : f(u_n+1)< f(u_n). Or f(u_n+1) =u_n+2 etf(u_n) = u_n+1.

On a donc u_n+2 < u_n+1.

Ceci prouve l’hérédité et achève la récurrence, on a établi que : (u_n) est décroissante

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Deuxième solution : par une méthode de la différence.

On a u_n+1−u_n= 5u_n−1

un+ 3 −u_n = 5u_n−1−u_n(u_n+ 3)

un+ 3 = 5u_n−1−u²_n−3u_n un+ 3 u_n+1−u_n= −u²_n+ 2u_n−1

u_n+ 3 =−u²_n−2u_n+ 1

u_n+ 3 =−(u_n−1)² u_n+ 3

Sachant que u_n >1, on en déduit que u_n+1−u_n <0 : (u_n) est décroissante 3. On obtient : v₀ = 1,v₁ = 5

4, v₂ = 3

2, et v₃ = 7 4.

4. Remarque : D’après ce qui précède, on sait qu’il faut montrer que(vn)est arithmétique de raison 1 4.

On a, d’une part : vn+1 = 1

u_n+1−1 = 1

5un−1

un+3 −1 = 1

5un−1−un−3 un+3

= 1

4un−4 un+3

= u_n+ 3 4u_n−4. Et d’autre part : v_n+1

4 = 1

un−1+1

4 = 4

4(un−1) + u_n−1

4(un−1) = u_n+ 3 4un−4 On constate que v_n+1 =v_n+1

4 : (v_n) est arithmétique de raison 1 4. 5. On en déduit que v_n =v₀+ n

4 = 1 + n 4 . On sait que v_n= 1

u_n−1 ainsi u_n−1 = 1

v_n puis u_n= 1 v_n + 1.

Il vient alors : u_n= 1

1 + ⁿ₄ + 1 = 4

4 +n + 1 = 8 +n 4 +n. Le terme général de (u_n) est donnée par : u_n= 8 +n

4 +n

Exercice 3 : Deux sommes, 3 points

Les deux questions sont extraites du cours. Voir la solution donnée en classe.

Exercice 4 : Étude d’une suite arithmético-géométrique

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1. On obtient : u₁ = 4

3, u₂ = 26

9 , et u₃ = 106 27 . 2. a.) On a : v_n+1 =a+u_n+1 =a+ 2u_n

3 + 2. On sait que v_n=a+u_n ainsi u_n=v_n−a.

Il vient donc :vn+1 =a+ 2(v_n−a)

3 + 2 = 3a

3 +2v_n−2a

3 + 2 = 2

3vn+a 3+ 2.

b.) Pour que (v_n) soit géométrique, il suffit que a

3 + 2 = 0⇔ a

3 =−2⇔ a =−6 c.) Pour cette valeur de a, on a : v_n+1 = 2

3v_n. La raison de(v_n) est q = 2 3 d.) Sachant que a=−6, v₀ =−6 +u₀ =−6−1 =−7 : v₀ =−7

3. La suite (v_n) est géométrique de raisonq = 2

3 et de premier terme v₀ =−7ainsi : v_n=−7×

2

3

n

4. Sachant queu_n =v_n−a =v_n+ 6, on en déduit l’expression deu_n en fonction den : u_n =−7×

2

3

n

+ 6

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Feuille1DS1Ex 11.2Ex 21.2.(a)2.(b)2.(c)2.(d)Ex 31.2Ex 41.2.(a)2.(b)2.(c)2.(d)3.4.Total1,003,001,001,000,502,001,501,501,501,001,001,001,001,001,001,0020112,5110,511109210,5100,5001,511000006,531010,5011,510,56,5410,5110,50,511006,5513110,50,51,51,5111111117612,510,50,50,50,51108,57110,510,50,50,51,51,51111110,514,58110,50,510,51111110,511913110,51,511,51,510,513,51010,5110,5001,51,50,5010,510,50,5111113100,51,51,5111111115,51212,5110,5001,500,508130,50,5100,50,5110,55,51410,5100,5000100,54,51512,5110,501,511000,500,50,5111611,5100,51,5110,511101712,5100,50,500,510,511110,51811,5100,50,510,5171911,510,50,51100,50,500018,5200,5110,511,5117,5211110,50,50,501,51,5101110,5122212,5100,50,510100018,52310100,50103,52413110,511,5110,511010,5152512,5110,50,511,5110,5110114,52611,510,50,50,51,5107,52713110,50,51,51,510,50,512281310,50,51,511,51,51011110,517291310,50,50,51,511100,50,5113300,50,50,50,50,50,50,50,500,5004,53111100,50,50,5105,53201,5100,50,500,500,504,53310,50,50,50,50,50,50,50,500059,53Moy