1.1 Valeurs propres et vecteurs propres

(1)

Plan du cours

Plan

1. Introduction-D´efinitions

2. Notions générales sur la stabilité 3. Système dynamique unidimensionnel 4. Système dynamique bidimensionnel

5. Syst`eme `a plus de deux dimensions – Chaos Plan du chapitre

Table des mati` eres

1 Analyse lin´eaire 1

1.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . 1 1.2 Classification des points fixes . . . 2

2 Dynamique qualitative 3

2.1 D´efinitions . . . 3 2.2 Dynamique asymptotique . . . 3

3 Effets des termes non lin´eaires 4

3.1 Bifurcation de Hopf . . . 4 3.2 Bifurcations globales de cycles . . . 5

4 Syst`emes conservatifs 6

4.1 Syst`emes hamiltoniens . . . 6 4.2 Pendule . . . 7 4.3 Pendule amorti . . . 7

5 Oscillations nonlin´eaires 8

5.1 Existence/non existence d’orbite fermée . . . 8 5.2 Oscillateurs non linéaires . . . 8 5.3 Oscillateurs faiblement non linéaires . . . 10

1 Analyse lin´ eaire

1.1 Valeurs propres et vecteurs propres

Stabilit´e lin´eaire

Lin´earisons le syst`eme bidimensionnel : x˙₁

˙ x₂

=

f₁(x₁, x₂) f₂(x₁, x₂)

autour d’un point fixexe: η˙₁

˙ η₂

=



 _∂f

1

∂x₁

x_e

_∂f

1

∂x₂

x_e

_∂f

2

∂x₁

x_e

_∂f

2

∂x₂

x_e



 η₁

η₂

La stabilité linéaire est donnée par l’étude de lamatrice jacobienne _∂f

i

∂x_i

i,j

. Dans la suite on noteraLl’op´erateur lin´eaire etLla matrice jacobienne.

(2)

1.2 Classification des points fixes

Valeurs propres

– La stabilit´e du point fixe d´epend des valeurs propres deL.

– Elles sont solutions de det (L−λI) = 0

– CommeLest un opérateur réel, ses valeurs propres complexes sont complexes conjuguées et leurs modes propres associés complexes conjugués.

– La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice jacobienne et le produit à son déterminant.

Classification

Illustration

(3)

2 Dynamique qualitative

2.1 D´ efinitions

Portrait de phase

– Unicit´e d’une trajectoire.

– Les trajectoires ne se coupent jamais.

– Tracer les “nullclines” aident a d´ecrire la dynamique

– Tracer lesvariétés stables, trajectoire atteignant un point stable àt= 0 décrite pourt→ −∞

et lesvariétés instables, trajectoire rejoignant un point stable àt= 0 décrite pourt→ ∞et les

Ensembles limite et attracteurs

On s’intéresse au régime permanent atteint après extinction durégime transitoire.

– Un point est dit non errant si les trajectoires initialis´ee dans son voisinage y reviennent.

L’ensemble des points non errants pris en t→ ±∞forme unensemble limite.

– On d´efinit l’ entrant (le sortant) d’un ensemble limite comme ´etant l’ensemble des points qui s’accumulent sur lui pour t→ ∞(t→ −∞).

– Si un ensemble limite contient son sortant alors c’est unattracteur.

– Son entrant, si non vide, est alors le bassin d’attraction.

2.2 Dynamique asymptotique

Dynamique asymptotique

(4)

En deux dimensions, les ensembles non-errants qui d´ecrivent la dynamique asymptotique sont limit´es :

– les points fixes – les cycles limites

– les connexions-cols (boucles homoclines ou h´et´eroclines)

3 Effets des termes non lin´ eaires

Bifurcations

– Il y a bifurcation si la partie r´eelle d’une valeur propre traverse l’axe des ordonn´ees,i.e.devient positive.

– En dimension deux, les valeurs propres sont soit toutes les deux r´eelles, soit complexes conjugu´ees.

– Le cas des valeurs propres réelles distinctes se ramène au cas à une dimension car une des deux valeurs réelles restera négative.

– Dans le cas des valeurs propres réelles complexes conjuguées qui traversent simultanément l’axe des ordonnées, on a une bifurcation de Hopf.

3.1 Bifurcation de Hopf

Bifurcation de Hopf supercritique La forme normale est :

˙

x1=σx1+ωx2−(g₁⁰x1+g⁰⁰₁x2) x²₁+x²₂ +. . . ,

˙

x2=−ωx1+σx2−(−g₁⁰⁰x1+g⁰₁x2) x²₁+x²₂ +. . . , que l’on peut mettre sous forme complexe :

z=x1+i x2, g1=g⁰₁+i g₁⁰⁰, z˙= (σ−iω)z−g1|z|²z.

En notantz(t) =ρ(t)e^{i φ(t)}, il vient :

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ². Sig⁰>0, c’est une bifurcation de Hopf supercritique.

(5)

Cycle limite

– La bifurcation de Hopf supercritique d´estabilise un point fixe en un cycle limite.

– L’amplitude des oscillations varie comme la racine carrée de l’écart au seuilµ^1/2∝(r−rc)^1/2. – La période des oscillations à la bifurcation est celle donnée par la partie imaginaire de la

valeur propre au seuil + termes∝µ.

Bifurcation de Hopf sous-critique

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ².

Si g⁰ < 0, il manque des termes nonlinéaires d’ordre plus élevé nécessaires à la saturation de l’instabilité.

˙

ρ=σ ρ−g⁰ρ³−g5ρ⁵, φ˙=−ω−g⁰⁰ρ².

La bifurcation est souscritique. On passe d’un point fixe + cycle limite instable + cycle limite stable `a un seul cycle limite stable.

3.2 Bifurcations globales de cycles

Bifurcation noeud-col d’un cycle

˙

ρ=rρ+ρ³−ρ⁵, φ˙ =ω+bρ².

0> r > rc

r=rc

r < rc

– Pour r < rc=−1/4, un point fixe stable.

– Pour r=rc, Un point fixe stable + un cycle limite semi-stable.

– Pourr > rc=−1/4, un point fixe stable et coexistence de 2 cycles limites stable et instable.

(6)

Bifurcation de période infinie Considérons le système suivant :

˙

ρ=ρ(1−ρ²), φ˙=r−sinφ.

r >1 r <1

– Pour r >1, pr´esence d’un cycle limite stable.

– Pourr= 1, La p´eriode du cycle limite devient infinieT ∝(r−rc)^−1/2avec la pr´esence d’un point semi-stable.

– Apparition d’un couple de points fixes stable/instable.

Bifurcation homocline Peut ˆetre en TP.

Stabilité structurelle Théorème de Peixoto :

– Seuls sont structurellement stables (robustes) les points fixes et cycles limites non marginaux.

– Les boucles homoclines, h´et´eroclines sont structurellement instables

4 Syst` emes conservatifs

4.1 Syst` emes hamiltoniens

Syst`emes m´ecaniques

– Généralement les systèmes mécaniques conservatifs peuvent se mettre sous une forme hamiltonienne. À deux dimensions on a alors :

d dt

p q

= −^∂H_∂q,

∂H

∂p

! ,

o`uH =H(p, q) est le hamiltonien du syst`eme.

– Le hamiltonien est un invariant du système. En physique, le hamiltonien est souvent l’énergie du système.

Advection

– Pour un ´ecoulement incompressible bidimensionnel :

divu=∇·u= 0 =⇒ u=−∂yψ, v=∂xψ, o`uψest la fonction courant de l’´ecoulement bidimensionnel.

– Autre exemple : la position d’un point matériel advecté par l’écoulement est régit par :

˙

x=u=−∂yψ, y˙ =v=∂xψ.

(7)

4.2 Pendule

Equation du mouvement´

– On consid`ere un pendule de massem, de longueurldans le champ de gravit´eg.

Le théorème du moment cinétique nous conduit à : θ¨+g

l sinθ= 0

– Pour des faibles amplitudes (approximation linéaire), le système se réduit à : θ¨+g

lθ= 0

dont les solutions sont des fonctions harmoniques de p´eriode ω=p g/l.

– Dans la suite, on adimensionne le temps par 1/ωet on se contentera d’´etudier : ¨θ+^g_l sinθ= 0.

Formulation hamiltonienne

– R´e´ecrivons ¨θ+^g_lsinθ= 0 sous la forme : d dt

θ ν

= ν,

−sinθ

,

Le système est donc hamiltonien pourH = ^ν₂²−cosθ.E=H est l’énergie du système, c’est uninvariant.

– Les points fixes sont (θ, ν) = (kπ,0).

– Pour le point fixe (0,0) la matrice jacobienne vaut : 0 1

−1 0

,

Oscillations

– Dans la limite des petites oscillations au voisinage de (0,0), E= 1

2ν²+1 2θ²−1

. On a des oscillations au voisinage du minimum d’´energie. Leur rayon dans l’espace des phase vaut ν²+θ²= 2(E+ 1).

– C’est un cas particulier d’un théorème plus général qui dit qu’autour d’unpoint fixe isolé correspondant à un minimum local d’une quantité conservée, toutes les trajectoires sont fermées.

– Le fait de parler d’un voisinage n’implique pas que l’on soit dans une dynamique lin´eaire ! ! Stabilit´e structurelle

– Lorsque l’on perturbe de fa¸con conservative un syst`eme dynamique conservatif, ses centres sont structurellement stables.

– Le fait de rester conservatif est fondamental car sinon ce serait le théorème plus général de Peixoto qui s’appliquerait et les centres ne seraient pas robustes (exemple du pendule amorti).

4.3 Pendule amorti

voir reproductions

(8)

5 Oscillations nonlin´ eaires

5.1 Existence/non existence d’orbite ferm´ ee

Crit`ere de non existence – Syst`eme gradient :

˙

x=−∇V.

Le long d’une orbite ferm´ee, la variation deV vaut :

∆V = I

C

∇V ·dl= 0 = Z T

t₀

∇V ·xdt˙ =− Z T

t₀

|x|˙ ²dt, donc l’orbite fermée se réduit à un point fixe.

– Existence d’une fonctionnelle de Lyapunov : s’il existe une fonction définie positive qui décroˆıt au cours du temps, alors le point où la fonction s’annule est un point fixe stable et il n’existe pas d’orbite périodique.

– En pratique ces crit`eres sont peu exploitables.

Existence d’orbite fermée : Théorème de Poincaré-Bendixon Supposons que

1. R est un domaine ferm´e born´e duplan,

2. ˙x=f(x) est un champ de vecteur continˆument diff´erentiable dans un ouvert contenantR, 3. R ne contient aucun point fixe,

4. et il existe un trajectoire C confinée dans R (qui se trouve dans R à l’instant initial et y reste jusqu’à t→+∞,

alorsC est une orbite fermée, ouCva converger vers une orbite fermée (ne se réduisant pas à un point fixe).

Le théorème de Poincaré-Bendixon ne concerne que la dynamique dans le plan. C’est un résultat théorique très important car il exclue tout phénomène chaotique dans le plan.

5.2 Oscillateurs non lin´ eaires

Syst`emes de Li´enard

L’´equation diff´erentielle du second ordre :

¨

x+f(x) ˙x+g(x) = 0 estl’équation de Liénard où

– −g(x) joue le rˆole d’une force nonlin´eaire de rappel.

– −f(x) ˙xest une force d’amortissement nonlin´eaire.

Théorème de Liénard

Supposons que les fonctionsf etg v´erifient :

– f(x) etg(x) sont continˆument diff´erentiables pour toutx; – g(−x) =−g(x),g est un fonction impaire ;

– g(x)>0 pour toutx >0 ;

– f(−x) =f(x),f est un fonction paire ; – La fonction impaire F(x) =Rx

0 f(u)du – exactement une seule racine positivex=a, – est n´egative pour 0< x < a,

– est positive and non d´ecroissante pourx > aet – F(x)→ ∞quand x→ ∞

alors le syst`eme `a un unique cycle limite autour de l’origine dans l’espace des phases.

(9)

Oscillations de relaxation

– Consid´erons l’oscillateur de van der Pol :

¨

x+µ(x²−1) ˙x+x= 0.

– Pourµ >0, on a un syst`eme de Li´enard : on a donc des oscillations autour de l’origine (point fixe instable).

– Dans le casµ→ ∞on a des oscillations de relaxation, successions de mouvements lents puis tr`es rapides.

Variation de µ

Solutions de l’´equation de van der Pol pour µ= 0.1, µ= 1, µ= 10.

Analyse de vdP On peut ´ecrire :

¨

x+µ(x²−1) ˙x= d dt

˙ x+µ

x³ 3 −x

.

Pour :

F(x) =x³

3 −x, w= ˙x+µF(x), il vient :

˙

w= ¨x+µ(x²−1) ˙x=−x.

L’oscillateur de van der Pol peut donc se r´e´ecrire :

˙

x=w−µF(x),

˙ w=−x.

Prenons la limiteµ−>∞:

˙

x=w−µF(x),

˙ w=−x.

(10)

Afin de garder des variables d’ordre 1 quandµ→ ∞, posonsw=µy.

˙

x=µ[y−F(x)],

˙ y=−1

µx.

– Au premier ordre en µ, La dynamique de x est rapide et consiste en une relaxation vers F⁻¹(y) tel quey=F(x), doncx(t) estasservi `a y(t).

– La dynamique dey(t) est lente.

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5 2

−3 −2 −1 0 1 2 3

y=F(x)

rapide

lent

rapide

Echelles de temps´

Dans ce probl`eme on a donc deux ´echelles de temps :

– ´Echelle de temps rapide : dynamique de x(t) sur l’´echelle de tempsO(µ⁻¹)1.

– ´Echelle de temps lente : dynamique dey(t) sur l’´echelle de tempsO(µ)1 .

5.3 Oscillateurs faiblement non lin´ eaires

D´efinition et exemples

– On définit les oscillateurs faiblement nonlinéaires les systèmes décrit par des équations de la forme :

¨

x+x+h(x,x) = 0,˙

o`uh(x,x) est un fonction suffisamment diff´˙ erentiable et1 un petit param`etre.

– Les équations différent de celle de l’oscillateur harmonique par un terme négligeable au premier ordre.

– Exemples d’oscillateurs faiblement nonlin´eaires :

¨

x+x+(x²−1) ˙x= 0, oscillateur de van der Pol,

¨

x+x+x³= 0, oscillateur de Duffing, D´eveloppements perturbatifs

– Consid´erons l’oscillateur faiblement nonlin´eaire suivant :

¨

x+ 2x˙+x= 0, x(0) = 0, x(0) = 1,˙ dont on peut calculer la solution exacte :

x(t;) = e^−tsin √

1−²t

√1−² .

(11)

– On va chercher un solution sous la forme d’un d´eveloppement en perturbations : x=x0(t) +x1(t) +²x2(t) +³x3(t) +. . .

R´esolution ordre par ordre – Ordre z´ero :

¨

x₀+x₀= 0, x₀(0) = 0, x˙₀(0) = 1, se r´esout :x₀(t) = sint

– Ordre 1 :

¨

x₁+x₁+ 2 ˙x₀= 0, x₁(0) = 0, x˙₁(0) = 0,

¨

x1+x1=−2 cost, x1(0) = 0, x˙1(0) = 0,

se résout en sommant une solution de l’équation homogène avec une solution particulière (variation de la constante) :

x^h₁(t) =s₁sint+c₁cost, x^p₁(t) =S1(t) sint+C1(t) cost, Finalement : x1=−tsint car le for¸cage estr´esonnant.

Terme s´eculaire

– La solution `a l’ordre¹vaut donc :

x(t;) = sint−tsint+O(²).

– On retrouve bien le d´eveloppement `a l’ordre 1 de la solution exacte : x(t;) = e^−tsin √

1−²t

√1−² .

– Du fait du for¸cagerésonnant, la solution comporte un terme séculaire qui croˆıt indéfiniment.

– La solution trouvée est le début d’un développement en sérieconvergentde la solution exacte.

Pour tdonn´e, il faut que soit assez petit pour que l’approximation soit bonne.

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 10 20 30 40 50

solution ”perturbative”

solution exacte

x(t)

t =.1

La solution est erronée dès quetO(1). Il nous faudrait une sérieinfinie pour corriger cette dérive.

La véritable solution évolue en fait sur deux échelles de temps : – une échelle de temps rapide :t=O(1),

– une ´echelle de temps lente :t=O(1/).

(12)

D´eveloppements en ´echelles (de temps) multiples Comment trouver une solution qui :

– Donne pour un1 fixé une solution valable pour tout t, – ne nécessite pas de calculer beaucoup (un infinité) de termes.

En s’aidant de l’observation révélant la présence de deux échelles de temps, on introduit une dépendanceexplicite selon deux tempst=t0(temps rapide) ett=⁻¹t1 (temps lent) :

x(t;) =x₀(t₀, t₁) +x₁(t₀, t₁) +O(²) Par conséquent la dérivation en temps s’écrit :

˙ x= dx

dt = ∂x

∂t₀

∂t0

∂t + ∂x

∂t₁

∂t1

∂t = ∂x

∂t₀ +∂x

∂t₁

Application au cas de l’oscillateur amorti – `A l’ordre z´eroO(⁰) :

∂t₀t₀x0+x0= 0, qui se r´esout en :

x0=A(t1)e^it⁰+ c.c.,

o`uA(t₁) est l’amplitude complexe de l’oscillation, “constante” sur le temps rapidet₀, mais d´epend du temps lentt₁.

– `A l’ordre 1, O(¹) :

∂_t₀_t₀x₁+x₁=−(2∂_t₀_t₁x₀+ 2∂_t₀x₀). Elimination des r´´ esonances

– Explicitons l’équation à résoudre sous forme d’unoscillateur forcé par le second membre :

∂t₀t₀x1+x1=−(2∂t₀t₁x0+ 2∂t₀x0) =−(2i∂t₁A+ 2iA)e^it⁰+ c.c.,

– Les termes proportionnelseît⁰ ete^−it⁰ peuvent être vu comme desfor¸cages résonnants qui vont donc induire une réponsex1résonnante qui va diverger en tempst0.

– Afin de pouvoir garder un développement cohérent, il est nécessaire quex1 reste borné.

– On posera donc comme condition de solvabilité, l’élimination des résonances qui se traduit parl’équation d’amplitude :

2i∂_t₁A+ 2iA= 0, qui se r´esout en :A(t₁) =a e^−t¹ o`u aest une constante.

Satisfaction des conditions initiales

Les conditions initiales doivent ˆetre satisfaites `a tous les ordres.

– La condition x(0) = 0 se traduit par :

x0(0) = 0, x1(0) = 0, soit a+ c.c. = 0.

– La condition ˙x= 1 se traduit par :

∂t₀x0= 1, ∂t₁x0+∂t₀x1= 0, soit : ia+ c.c. = 1.

– Il vienta=−i/2 d’o`u :

x0=−ie^it⁰^−t¹

2 + c.c. =e^−t¹sint0

(13)

La solution approch´eeasymptotique (en opposition `a convergente) vaut donc : x(t;) =e^−t¹sint0+O() =e^−tsint+O().

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 10 20 30 40 50

exact asympt.

=.1

Oscillateur de Duffing L’oscillateur de Duffing

¨

x+x+x³= 0, est un oscillateur nonlin´eaire conservatif.

En effet, il conserve l’´energie :

E=x˙² 2 +x²

2 +x⁴ 4 .

On applique la méthode des développements asymptotiques multi-échelles en temps en cher- chant une solution de la forme

x(t;) =x0(t0, t1) +x1(t0, t1) +O(²) – `A l’ordre z´eroO(⁰) :

∂t₀t₀x0+x0= 0,

qui se résout en : x₀ =A(t₁)eît⁰+ c.c., où A(t₁) est l’amplitude complexe de l’oscillation,

“constante” sur le temps rapide t₀, mais d´epend du temps lentt₁. – `A l’ordre 1, O(¹) :

∂t₀t₀x1+x1=− 2∂t₀t₁x0+x³₀

=−h

2i∂_t₁Ae^it⁰+ c.c.

+ Ae^it⁰+ c.c.³i

=−

2i∂_t₁Ae^it⁰+ c.c.

+ A³e^3it⁰+ 3A²e^2it⁰A^∗e^−it⁰+ c.c.

=−

2i∂t₁Ae^it⁰+ c.c.

+ A³e^3it⁰+ 3|A|²Ae^it⁰+ c.c.

Elimination des r´´ esonances nonlin´eaires (Duffing)

– Lacondition de solvabilitése traduit par l’élimination des résonances conduisant àl’équation d’amplitude :

2i∂t₁A+ 3|A|²A= 0, soit ∂t₁A= 3i 2|A|²A.

– On résout l’équation d’amplitudeA=Reîφ en séparant moduleetphase: (∂_t₁R+iR∂_t₁φ)eîφ =3i

2R³eîφ – En séparant partie réelle et partie imaginaire, il vient :

∂t₁R= 0, ∂t₁φ=3 2R².

(14)

Fr´equence d´ependant de l’amplitude

Le système : ∂t₁R = 0, ∂t₁φ = ³₂R². se résout facilement :R = â₂ = const., φ =

3

2R²t1+φ0=^3a₈²t1+φ0.

La solution g´en´erale au premier ordre est donc : x₀(t₀, t₁) =acos(t₀+3a²

8 t₁+φ₀), et la solution approch´ee s’´ecrit donc :

x(t;) =acos(t+3a²

8 t+φ0) +O().

On note que la fr´equence croˆıt avec l’amplitude : l’oscillateur de Duffing peut ˆetre vu comme un ressort dont la “raideur”k(x) = 1 +x²augmente avec l’amplitude (contrairement au pendule).