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(1)TD 1 du cours d’Analyse III, 2e partie 3ème BM 25 Février 2011 1

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(1)

TD 1 du cours d’Analyse III, 2e partie 3ème BM

25 Février 2011

1. On se place dansD0(R). Déterminer la distribution suivante (simplifier au maximum l’expression)

ex0+exδ0+ cos(x)Dδ0.

2. Déterminer les distributions u de D0(R) qui vérifient les équations suivantes : (a) xu= 0, (b) x2u=x2.

3. On considère l’équation dans D0(R) suivante : D2u+u=δ0.

(a) Vérifier que la distribution usin(x)χ]0,+∞[(x) est une solution particulière de cette équation.

(b) On sait que les solutions de cette équation sont les distributions u ∈ D0(R) s’écrivant sous la forme

u=c1ucos(x)+c2usin(x)+usin(x)χ]0,+∞[(x), c1, c2 ∈C.

Parmi celles-ci, quelles sont celles dont l’intervalle ]− ∞,0[est un ouvert d’an- nulation ?

4. On pose

u(ϕ) =− lim

ε→0+

Z

|x|≥ε

ϕ(x)

x2 dx−2ϕ(0) ε

, ϕ∈ D(R).

Montrer queu définit une distribution dansR(partie finie de1/x2) et que, si f(x) = ln|x|, on a

u=D2uf.

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