Correction Ex 68 p 290 Fonction exponentielle
Soit f la fonction définie sur ] -∞ ; 0] par f(x) = ex + 1 – x – 3 .
1. Variations de f.
f est dérivable sur ] -∞ ; 0] et f ' (x) = 1 × ex + 1 – 1 = ex + 1 – 1.
Je résous ex + 1 – 1 > 0.
ex + 1 – 1 > 0 ⇔ ex + 1 > 1 ⇔ ln(ex + 1) > ln(1) ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > - 1 f est donc décroissante sur ] -∞ ; - 1] et croissante sur ] - 1 ; 0]
2. a) Sur [ - 3 ; - 1 ], la fonction f est décroissante.
f( - 3) = e- 3 + 1 – ( - 3) – 3 = e- 2 > 0
f( - 1) = e- 1 + 1 – ( - 1) – 3 = 1 – 2 = - 1 < 0.
On passe d'une valeur positive à une valeur négative donc l'équation ex + 1 – x – 3 = 0 admet une solution dans [ - 3 ; - 1 ].
b)
x -3 -2,9 -2,8 -2,7 -2,6
f(x) 0,1353 0,0496 -0,0347 -0,1173 -0,1981
x -2,9 -2,89 -2,88 -2,87 -2,86 -2,85 -2,84 -2,83
f(x) 0,0496 0,0411 0,0326 0,0241 0,0157 0,0072 -0,0012 -0,0096
donc - 2,842 < α < - 2,841.
x -2,85 -2,849 -2,848 -2,847 -2,846 -2,845 -2,844 -2,843 -2,842 -2,841 -2,84
f(x) 0,0072 0,0064 0,0056 0,0047 0,0039 0,0030 0,0022 0,0013 0,0005 -0,0003 -0,0012
