MAT-22257 : Examen Final

MAT-22257 : Examen Final

Jeudi 19 avril 2007 — de 14h30 `a 17h30

Directives :

• toute documentation est INTERDITE.

• A moins de sp´ecifications contraires, vous devez` toujours pleinement justifiervos r´eponses.

Cependant, vous pouvez donner des d´efinitions en extension de toute application bijective dont le domaine est N, et dans ce cas, vous n’avez pas `a d´emontrer qu’il s’agit effectivement d’une application bijective.

Question 1 (15 points)

En classe, nous avons vu le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme : Soient A et B, deux ensembles non-vides. Alors,

∃ application injective f :A−→B ssi ∃ application surjective g :B −→A.

D´emontrez que : ∃ application injective f :A−→B =⇒ ∃ application surjective g :B −→A.

Question 2 (16 points)

Soit ρ la relation sur Z d´efinie par ρ:={i, j |j⁴ =i : %i, j&}. D´emontrez que ρest une relation a) injective ;

b) surjective ;

Question 3 (14 points)

(A) D´emontrez que Z×Z est d´enombrable en construisant une application bijective.

(B) D´emontrez que l’ensemble de toutes les relations surZ est un ensemble non d´enombrable.

(Rappelons qu’une relation sur Z est par d´efinition un sous-ensemble de Z×Z.) (C) D´emontrez que l’ensemble Z^Z est un ensemble non d´enombrable.

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Question 4 (40 points)

Calculez b0, b1, b2, b3 et b4 et trouvez le terme g´en´eral de la suite %bn&n∈N si sa d´efinition par r´ecurrence est

(i)





b0 = 5 b1 = 0

bn = −bn−1 + 6bn−2 ∀n:N−{0,1}

(ii)





b0 = 13/3 b1 = 11/3

bn = bn−2 + 2ⁿ ∀n:N−{0,1}

(iii)





b0 = 0 b1 = 2

bn = 4bn−1 − 4bn−2 + 2ⁿ⁺¹ ∀n:N−{0,1}

%indice :la r´eponse est-elle bn= 2ⁿn² ∀n:N?&

Question 5 (15 points) (Aucune justification n’est demand´ee pour ce num´ero.)

Etant donn´e le graphe´ G=%S, A& suivant :

!"#$

%&'(1 ^!!!"#$%&'(5^""

!"#$

%&'(6

## $$!!!!!!!!!!!!!!! !"#$%&'(2

%%"""""""""""""""

##

&&!!!!!!!!!!!!!!!

''!"#$

%&'(3

(( ))!"#$%&'(4** ++

a) Donnez la matrice de la relationA.

b) Dites lesquelles des propri´et´es suivantes poss`ede la relation A : r´eflexivit´e, irr´eflexivit´e, sym´etrie, antisym´etrie, asym´etrie, transitivit´e, ´equivalence, totalit´e, surjectivit´e, d´eterminisme, injectivit´e, fonction, application, application bijective, ordre partiel, ordre partiel strict, ordre total.

c) Tracez le graphe K =%S, A⁺&.

d) Est-ce que A⁺ est une relation r´eflexive ? sym´etrique ? transitive ? d’´equivalence ? e) Mˆeme question qu’en d) pour la relation A^∗.

Bonne chance et bon ´et´e.

Fran¸cois Laviolette

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