EPFL 27 avril 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 23
L'exercice 3 est à rendre le 4 mai au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C. Les espaces vectoriels considérés sont de dimension nie si cela n'est pas précisé.
Exercice 1. Soit V =R2 muni du produit scalaire euclidien.
1. Donner un exemple d'opérateur de V non auto-adjoint et normal.
2. Donner un exemple d'opérateur de V ni auto-adjoint, ni normal.
Exercice 2. Soit V unR-espace vectoriel de dimension 2, muni d'un produit scalaire. Suppo- sons queT ∈L(V)est normal. Montrer que si B est une base orthonormale deV et siT n'est pas auto-adjoint, alors [T]B =
a −b b a
, où a, b∈R, b6= 0.
Exercice 3. 1. Soit T ∈ L(V) tel que T∗T = −T. Montrer que T est auto-adjoint et que Spec(T)⊆ {0,−1}.
2. Soit A ∈ Mat(n, n;R) ⊆ Mat(n, n;C) une matrice antisymétrique, c'est-à-dire telle que A=−At. SoitB =iA. Montrer que TB ∈L(Cn)est auto-adjoint. En déduire que toutes les valeurs propres deTA∈L(Cn) sont imaginaires pures.
3. SoientA, B des matrices réelles symétriques. Montrer queTA+iBest normal si et seulement si A etB commutent.
Exercice 4. Soit T ∈L(V) un opérateur normal. Montrer que : 1. ker(T) = ker(T∗) et Im(T) = Im(T∗);
2. T∗◦Tk =Tk◦T∗ pour tout entier positifk, et en déduire que T ◦(T∗)k = (T∗)k◦T est aussi valable ;
3. Tk est normal pour tout entier positif k;
4. ker(T) = ker(Tk) etIm(T) = Im(Tk) pour tout entier positifk.
Les trois derniers exercices sont des exercices supplémentaires sur le Théorème 9.1 du poly- copié... L'exercice 7 est moins dicile que le 6 est peut-être résolu en utilisant le résultat du 6.1.
Exercice 5. Soit ϕ∈(Fn)]. L'espace vectoriel Fn est muni du produit scalaire standard.
1. Montrer qu'il existe a1, . . . , an ∈ F tels que ϕ(x1, . . . , xn) = Pn i=1aixi pour tout(x1, . . . , xn)∈Fn.
2. Trouver le vecteur v ∈ Fn tel que ϕ(x1, . . . , xn) = h(x1, . . . , xn), vi pour tout(x1, . . . , xn)∈Fn. Ce vecteur existe et est unique d'après le Théorème 9.1 !
Exercice 6. 1. Soient a < b ∈ R. On considère l'espace vectoriel V := P(R) muni du produit scalaire déni par hp, qi = Rb
a p(x)q(x)dx pour tout p, q ∈ P(R). En utilisant la même méthode que dans l'exercice 4 de la série 20, montrer que l'application linéaire δ:V →V],δ(p) = h·, pi (dénie au début du chapitre 9) n'est pas un isomorphisme (pas surjective).
2. Si W :=Pn(R)muni du même produit scalaire hp, qi=Rb
ap(x)q(x)dx, alors l'application δ : W → W], δ(p) = h·, pi est un isomorphisme car W est de dimension nie (voir le cours). Quel argument de la preuve de la question précédente ne marche pas ici ? En déduire que pour tout α ∈ R, le polynôme pα ∈ Pn(R) satisfaisant q(α) = hq, pαi pour tout q∈Pn(R) est de degré au moins n−1.
Exercice 7. Soit V le R-espace vectoriel P(R) , muni du produit scalaire hp, qi = R1 0 pq = R1
0 p(x)q(x)dx. Soit D ∈ L(V) l'opérateur diérentiel, déni comme suit : pour tout p ∈ V, D(p)est donné par
D(p) =p0.
Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas d'opérateur D∗ ∈ L(V) tel que hD(p), qi=hp, D∗(q)i pour tout p, q ∈P(R).
1. Supposons que D∗ existe. Calculer hp, D(q) +D∗(q)i pour p, q ∈V.
2. Considérer p∈P(R), q(x) =x et déduire une contradiction au résultat de l'exercice 6.1.
