L E G RAND
R OCHAT
Questions résolues. Solutions du problème d’arithmétique proposé à la page 356 du deuxième volume des Annales
Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 3 (1812-1813), p. 98-103
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98 QUESTIONS
m’assure
qu’ayant perdu
de vue la communication queje
lui en avaisfaite
il n’apublié
cette méthode sous son nom, que parcequ’il
acru , en
effet ,
ne la devoirqu’à
ses propresréflexions ;
et , si maintenantje
mepermets
deréclamer ,
c’estuniquement
afinqu’on
ne croie pas que
j’ai voulu
moi-mème déroberquelque
chose àM. Bret.
Agréez,
etc.Briancon , le y juillet
1812.QUESTIONS RÉSOLUES.
Solutions du problème d’arithmétique proposé à la
page 356 du deuxième volume des Annales ;
Par MM. LE GRAND
etROCHAT, professeurs de mathéma-
tiques à St-Brieux ,
etDUBAIN , élève du lycée d’Angers.
ENONCÉ.
Deuxsuites, composées
chacune de n nombresPositifs
et
inégaux,
étantdonnées ;
commentfaut-il disposer
entre eux lesnombres de ces deux
suites,
pour que la somme desproduits
destermes de la
première
par les termescorrespondans
de laseconde.
soit la
plus grande
ou laplus petite possible ?
Comment
faut-il disposer
entre eux les nombres de ces deuxsuites,
pour que la somme desquotiens
des termes de lapremière
par leurs
correspondans
dans laseconde,
soitla plus grande
ou laplus petite possible ?
R É S O L U E S. 99
Les solutions de ce
problème ,
fournies parMM.
LeGrand ,
Rochat et
Dubain ,
étant lesmêmes , quant
aufond 3
et nepré-
sentant que
quelques légères
différences derédaction ,
il va en êtrerendu
compte
dans un même article.Soient
AI , A2 , A3 ,
....Ag ,... Ah ,
....An
les nombres de lapremière suite, rangés
par ordre degrandeur,
duplus grand
au
plus petit ;
et supposons que ceux de laseconde, rangés
commeils
doivent être,
pour donner lieu aumaximum , minimum soient BI , B2,
I.er
CAS.
Pour la sommedes produits.
Puisque
maximum
est un il faut que , les nombres de la
première
suiteminimum
conservant
toujours
le mêmeordre ,
lapermutation
entre eux dedeux
quelconques des
termes de la seconde suite donne un résultatt moindre
que leprécédent ; c’est-à-dire , qu’en écrivant
moindre
que précéd ent ; c’est-à-d ire , qu’en écrivantplus grand
on doit avoir
ou , en
substituant ,
etsupprimant ,
depart
etd’autre ,
les termescommuns
ou, en
transposant
etdécomposant ,
I00
QUESTIONS
ou, parce que, par
l’hypothèse , Ag-Ah
estpositif ,
Ainsi les termes de la
première
suite allant endécroissant ,
dumaximum
premier au
dernier 3
il faut pour le que les termes deminimum
décroissant dn
la seconde aillent en
croissant , du premier
au dernier.II.me CAS. Pour la somme des
quotiens.
,Tout
étant d’ailleurs comme dans le casprécédent ,
soitposé
puisque
cettequantité
estsupposée un maximum, minimum
si l’on poseon
devra
avoirce
qui donnera,
en substituant etsupprimant,
depart
etd’autre,
les termes communs ,
ou
RÉSOLUES.
I0Iou , en
transposant
etdécomposant
ou , parce que
Ag-Ah
estsupposé positif,
Ainsi,
les termes de lapremière
suite allant endécroissant ,
dupremier
audernier ,
il faut pour lemaximum
minimum que ceux de la se-croissant
conde aillent en
décroissant ,
dupremier
au dernier.Ce
qui précède
renferme la solutioncomplette
duproblème proposé ;
mais M. Le Grand
s’est ,
en outre ,occupé
duproblème indiqué
dans la note, et
qui
consiste àsavoir ,
dans le cas où l’on donneraitsimplement
les 2n nombresqui
doivent composer les deuxsuites ,
comment on devrait les
répartir
dans ces deux suites pour obtenir le ma- ximum ou leminimu ,
soit de la somme desproduits
soit de la sommedes
quotiens.
Il observe 1.° que, pour avoir le maximum de la somme desproduits
ou le mininum de la somme desquotiens,
ilfaut, après
avoir
disposé
les 2nnombres ,
par ordre degrandeur,
duplus petit
auplus grand placer
le second sous lepremiers
lequatrième
sous letroisième ,
le sixième sous lecinquième ,
et ainsi desuite ;
2.° que , pouravoir ,
aucontraire ,
le minimum de la somme desproduits
ou le maximum de
la
somme desquotiens ,
ilfaut , après
avoirTom. III
I4
I02
QUESTIONS
disposé
les 2nnombres ,
par ordre degrandeur ,
duplus- grand
auplus petit , placer
le dernier sous lepremier.,
l’avant-dernier sousle
second,
le(2n-2)me
sous letroisième ,
le(2n-3)me
sous lequatrième
, et ainsi de suite.M. Le Grand remarque encore i.° que, si l’on a m suites de n nombres
chacune,
etqu’il
soitquestion
dedisposer
les nombresqui
composent
chacuned’elles ,
de manière que la somme desproduits
des termes
correspondans
dans les in suites soit unmaximum,
ilfaudra
encore, comme dans le cas de deux suitesseulement,
rangerles termes de
chaque suite ,
par ordre degrandeur ,
dupremier
au
dernier ,
de manièrequ’ils
aillent en croissant ou endécroissant ,
dans toutes les
suites ;
2.° que , si l’on a seulement mn nombresqu’il
soitquestion
departager
en m suites de n termeschacune ,
de manière à ce que la somme des
produits
des termescorrespondans
de ces m suites soit un
maximum ;
ilfaudra , après
avoirdisposé
ces
mn nombres par ordre degrandeur, du- plus petit
auplus grand ,
former lapremière
suite avec cesnombres , pris
de n en n ,a
partir
dupremier,
former la seconde avec cesnombres, pris
den en n, à
partir
duseconde
former la troisième avec cesnombres,,
pris-
de n en n , àpartir
dutroisième ,
et ainsi de suite.Les
principes qui
viennent d’êtredéveloppés peuvent
souvent êtreappliqués
avecavantage ;
nous allons le prouver par unexemple.
Soient
c , c’ , c" ,
trois droiteset ell
troisangles donnés ,
dont la somme soit deux
angles droits,
et telsconséquemment
que la moitié d’aucun ne soit unangle obtus ,
et proposons-nous de déter- miner dequelle
manière on doitaccoupler
ces troisangles
avec lestrois
droites ,
pour que la fonctionsoit un maximum ?
RÉSOLUES.
I03. En
introduisant
lesdemi-angles ,
au lieu desangles même y
ontransforme facilement cette fonction en celle-ci
or , pour que cette
quantité
soit unmaximum ,
il faut évidem-ment que
soit un
maximum,
etqu’en
outresoit un minimum.
Ces deux conditions se trouveront, a la
fois , satisfaites, d’après
ce
qui précède,
si c2 ,c’2 ,
c"2 allant encroissant, Tang.I 203B2 , Tang.I 203B2’ , Tang.I 2
03B2" vont au contraire endécroissant ;
ou,plus simplement, si , c, CI ,
c" allant encroissant, 03B2 , f31, 03B2"
vont en décroissant.Ce
serait le contraire si la fonction
proposée
devait être un minimum.La
question
que nous venons de traiter est celle dont s’estoccupé
M. Bidone à la page 38o du deuxième volume de ce recueil. On voit que
l’application
desprincipes développés
ci-dessus en fournitune