Dk = X2k n=3 23n+1 3n+1 4n Exercice 2 Soit uune suite telle que 8n >0

PHEC1 devoir à la maison 1 2004-2005 Exercice 1

Calculer les sommes suivantes :

A_n= Xn

p=2

1 3

p

; B_n = Xn+1

k=3

2^k

3^k+2; C_N = XN

n=1

5 2ⁿ+ 2 3²ⁿ ; D_k = X2k

n=3

2³ⁿ⁺¹ 3ⁿ⁺¹ 4ⁿ

Exercice 2

Soit uune suite telle que 8n >0; 3u_n+1 2u_n= 1:

Calculer Pn k=0

u_k:

Exercice 3

Soit ula suite dé…nie par 8n2N; 3u_n+2 5u_n+1+ 2u_n= 0 avec u₀ = 2 et u₁ = 3:

Calculer

2004P

k=2

u_k

Exercice 4

Véri…er rapidement les égalités suivantes : 1

k(k+ 1) = 1 k

1

k+ 1; 1

k(k+ 1)(k+ 2) = 1 2

1 k

2

k+ 1 + 1 k+ 2 ; 1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) = 1 6

1 k

3

k+ 1 + 3 k+ 2

1 k+ 3

Calculer les sommes suivantes 1. S_n =

Pn k=1

1 k(k+ 1) 2. T_n=

Pn k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2) 3. R_n=

Pn k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3)

Exercice 5

On souhaite déterminer toutes les suitesw_n véri…ant

(E) : 8n>0; w_n+2 2w_n+1+w_n = 3n 1

1. Montrer qu’il existe un, et un seul, couple de réels (a; b) tel que la suite u_n =an³ +bn² satisfait à (E):

2. On considère la suite z dé…nie par 8n >0; z_n =w_n u_n; où w est une suite satisfaisant à (E) et u est la suite dé…nie à la question précédente.

Montrer que 8n >0; z_n+2 2z_n+1+z_n = 0: En déduire la forme de la suitez puis celle de w:

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